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正确率80.0%已知抛物线$$x^{2}=1 2 y$$的焦点为$${{F}}$$，过焦点$${{F}}$$的直线$$y=k x+m ( k > 0 )$$与抛物线相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$$| A B |=3 6$$，则$${{k}{=}{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']正确率80.0%下列关于抛物线$$y^{2}=4 x$$的图象描述正确的是$${{(}{)}}$$
A.开口向右，焦点为$$( 1， 0 )$$
B.开口向上，焦点为$$( 0， \frac{1} {1 6} )$$
C.开口向上，焦点为$$( 0， 1 )$$
D.开口向右，焦点为$$( {\frac{1} {1 6}}， 0 )$$
3、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线$${{l}}$$与$${{x}}$$轴的交点为$${{M}}$$，点$${{P}}$$在抛物线上，且$$| P M |=\sqrt{2} | P F |$$，则$${{△}{P}{M}{F}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{2}}$$
4、['抛物线的简单几何性质']正确率40.0%过抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=1 2 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$相较于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，则$$4 | M F |+| N F |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$${{2}{7}}$$
5、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=8 x$$的焦点为$${{F}}$$，点$${{M}}$$在$${{C}}$$上，若$${{M}}$$到直线$${{x}{=}{−}{3}}$$的距离为$${{6}}$$，则$$| M F |=( \textsubscript{\Pi} )$$
A.$${{7}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{4}}$$
6、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$$x^{2}=4 y$$上一点$${{A}}$$的纵坐标为$${{2}}$$，则点$${{A}}$$到抛物线焦点的距离为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知点$${{P}}$$在直线$$y=x-1$$上，点$${{Q}}$$在曲线$$x^{2}=2 y$$上，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {4}$$
B.$$\frac{1} {8}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
8、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，$$M ( x_{0}， y_{0} )$$是$${{C}}$$上一点，$$| M F |=\frac{4} {3} x_{0}$$，则$$x_{0}=( \begin{array} {c} {} \\ {} \\ \end{array} )$$
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
9、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%设抛物线的顶点为坐标原点，焦点$${{F}}$$的坐标为$$( 1， 0 )$$，若该抛物线上两点$${{A}}$$、$${{B}}$$的横坐标之和为$${{6}}$$，则弦$${{|}{A}{B}{|}}$$的长的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
10、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$x^{2}=6 y$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，$${{P}}$$是$${{l}}$$上一点，$${{Q}}$$是直线$${{P}{F}}$$与$${{C}}$$的一个交点，若$$\overrightarrow{P F}=3 \overrightarrow{Q F}$$，则$$| P F |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$$\frac{5} {2}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
1. 抛物线方程为 $$x^2=12y$$，标准形式为 $$x^2=4py$$，因此 $$4p=12$$，$$p=3$$，焦点 $$F$$ 坐标为 $$(0,3)$$。直线方程为 $$y=kx+3$$（因为过焦点）。与抛物线联立得：
$$x^2=12(kx+3) \Rightarrow x^2-12kx-36=0$$
设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=12k$$，$$x_1x_2=-36$$。
弦长公式：
$$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(12k)^2+144}=36$$
化简得：
$$\sqrt{1+k^2}\cdot 12\sqrt{k^2+1}=36 \Rightarrow 12(1+k^2)=36 \Rightarrow k^2=2$$
因为 $$k>0$$，所以 $$k=\sqrt{2}$$，答案为 B。
2. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的标准形式为 $$y^2=4px$$，因此 $$4p=4$$，$$p=1$$，开口向右，焦点为 $$(1,0)$$，答案为 A。
3. 抛物线 $$y^2=2x$$ 的标准形式为 $$y^2=4px$$，因此 $$4p=2$$，$$p=\frac{1}{2}$$，焦点 $$F$$ 为 $$(\frac{1}{2},0)$$，准线 $$l$$ 为 $$x=-\frac{1}{2}$$，故 $$M$$ 坐标为 $$(-\frac{1}{2},0)$$。
设 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，则 $$y^2=2x$$，且 $$|PM|=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+y^2}$$，$$|PF|=x+\frac{1}{2}$$。
由题意：
$$\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2+2x}=\sqrt{2}(x+\frac{1}{2})$$
平方后化简得：
$$(x+\frac{1}{2})^2+2x=2(x+\frac{1}{2})^2 \Rightarrow 2x=(x+\frac{1}{2})^2$$
解得 $$x=\frac{1}{2}$$，$$y=\pm 1$$。
因此，$$\triangle PMF$$ 的面积为：
$$\frac{1}{2}\times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$$，答案为 B。
4. 抛物线 $$y^2=12x$$ 的标准形式为 $$y^2=4px$$，因此 $$4p=12$$，$$p=3$$，焦点 $$F$$ 为 $$(3,0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-3)$$，与抛物线联立得：
$$k^2(x-3)^2=12x \Rightarrow k^2x^2-(6k^2+12)x+9k^2=0$$
设 $$M(x_1,y_1)$$，$$N(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=6+\frac{12}{k^2}$$，$$x_1x_2=9$$。
由抛物线性质，$$|MF|=x_1+3$$，$$|NF|=x_2+3$$。
因此，$$4|MF|+|NF|=4(x_1+3)+(x_2+3)=4x_1+x_2+15$$。
利用 $$x_1x_2=9$$ 和不等式，最小值为 $$21$$，答案为 C。
5. 抛物线 $$y^2=8x$$ 的标准形式为 $$y^2=4px$$，因此 $$4p=8$$，$$p=2$$，焦点 $$F$$ 为 $$(2,0)$$，准线为 $$x=-2$$。
点 $$M$$ 到直线 $$x=-3$$ 的距离为 $$6$$，即 $$x_M+3=6$$，$$x_M=3$$。
由抛物线定义，$$|MF|=x_M+2=5$$，答案为 C。
6. 抛物线 $$x^2=4y$$ 的标准形式为 $$x^2=4py$$，因此 $$4p=4$$，$$p=1$$，焦点 $$F$$ 为 $$(0,1)$$。
点 $$A$$ 的纵坐标为 $$2$$，代入抛物线得 $$x^2=8$$，$$x=\pm 2\sqrt{2}$$。
点 $$A$$ 到焦点的距离为 $$\sqrt{(2\sqrt{2})^2+(2-1)^2}=3$$，答案为 B。
7. 曲线 $$x^2=2y$$ 是抛物线，设点 $$Q(x,\frac{x^2}{2})$$，点 $$P$$ 在直线 $$y=x-1$$ 上，设 $$P(a,a-1)$$。
距离平方为：
$$|PQ|^2=(x-a)^2+\left(\frac{x^2}{2}-a+1\right)^2$$
最小化距离，通过求导可得最小值为 $$\frac{\sqrt{2}}{4}$$，答案为 D。
8. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的标准形式为 $$y^2=4px$$，因此 $$4p=4$$，$$p=1$$，焦点 $$F$$ 为 $$(1,0)$$。
由抛物线定义，$$|MF|=x_0+1$$，题目给出 $$|MF|=\frac{4}{3}x_0$$，因此：
$$x_0+1=\frac{4}{3}x_0 \Rightarrow x_0=3$$，答案为 C。
9. 抛物线焦点为 $$(1,0)$$，标准方程为 $$y^2=4x$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，且 $$x_1+x_2=6$$。
弦长公式：
$$|AB|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$
利用抛物线性质，最大弦长为 $$8$$，答案为 A。
10. 抛物线 $$x^2=6y$$ 的标准形式为 $$x^2=4py$$，因此 $$4p=6$$，$$p=\frac{3}{2}$$，焦点 $$F$$ 为 $$(0,\frac{3}{2})$$，准线 $$l$$ 为 $$y=-\frac{3}{2}$$。
设 $$P(x,-\frac{3}{2})$$，由向量关系 $$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{QF}$$，得 $$Q$$ 为 $$PF$$ 的四等分点。
计算得 $$|PF|=6$$，答案为 D。