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正确率60.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$的焦点为$${{F}{，}}$$过点$${{(}{p}{，}{0}{)}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线与抛物线$${{C}}$$在第一象限内的交点为$${{A}{，}}$$若$${{|}{A}{F}{|}{=}{1}{，}}$$则抛物线$${{C}}$$的方程为（）
A
A.$$y^{2}=\frac{4} {3} x$$
B.$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$
C.$${{y}^{2}{=}{3}{x}}$$
D.$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$
2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率60.0%已知$${{A}}$$$${{(}{{3}{，}{2}}{)}}$$，点$${{F}}$$为抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$的焦点，点$${{P}}$$在抛物线上移动，为使$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{F}{|}}$$取得最小值，则点$${{P}}$$的坐标为（）
B
A.$${{(}{{0}{，}{0}}{)}}$$
B.$${{(}{{2}{，}{2}}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
D.$$\left( \frac{1} {2}， 1 \right)$$
3、['椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%设椭圆$$\frac{x^{2}} {m^{2}}+\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 \， ( m > 0， n > 0 )$$的右焦点与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的焦点相同，离心率为$$\frac{1} {2}，$$则此椭圆的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {1 2}+\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4 8}+\frac{y^{2}} {6 4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {6 4}+\frac{y^{2}} {4 8}=1$$
4、['双曲线的离心率'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知点$${{A}}$$是抛物线$$y=\frac{1} {4} x^{2}$$的对称轴与准线的交点，点$${{F}}$$为该抛物线的焦点，点$${{P}}$$在抛物线上，且满足$${{|}{P}{F}{|}{=}{m}{|}{P}{A}{|}}$$，当$${{m}}$$取得最小值时，点$${{P}}$$恰好在以$${{A}{，}{F}}$$为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$
C.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
D.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$
5、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']正确率40.0%抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{M}{（}{p}{，}{0}{）}}$$，倾斜角为45°的直线与抛物线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{F}{|}{+}{|}{B}{F}{|}{=}{{1}{0}}}$$，则抛物线的准线方程为（）
A
A.$${{x}{+}{1}{=}{0}}$$
B.$${{2}{x}{+}{1}{=}{0}}$$
C.$${{2}{x}{+}{3}{=}{0}}$$
D.$${{4}{x}{+}{3}{=}{0}}$$
6、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率80.0%如果抛物线的顶点在原点，对称轴为$${{x}}$$轴，焦点为$${{(}{4}{，}{0}{)}}$$，那么抛物线的方程是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{y}^{2}{=}{−}{{1}{6}}{x}}$$
B.$${{y}^{2}{=}{{1}{2}}{x}}$$
C.$${{y}^{2}{=}{{1}{6}}{x}}$$
D.$${{y}^{2}{=}{−}{{1}{2}}{x}}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%抛物线$$y=\frac{x^{2}} {a}$$的焦点坐标为$${{(}{0}{，}{−}{1}{)}}$$，实数$${{a}}$$的值等于（）
A
A.$${{−}{4}}$$
B.$${{4}}$$
C.$$\frac{1} {4}$$
D.$$- \frac{1} {4}$$
8、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{A}{B}}$$是经过抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$焦点的一条弦，$${{|}{A}{B}{|}{=}{4}}$$，则$${{A}{B}}$$中点$${{C}}$$的横坐标是
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {2}$$
10、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知点$${{A}{（}{−}{2}{，}{1}{）}{，}{{y}^{2}}{=}{−}{4}{x}}$$的焦点是$${{F}{，}{P}}$$是$${{y}^{2}{=}{−}{4}{x}}$$上的点，为使$${{|}{P}{A}{|}{+}{|}{P}{F}{|}}$$取得最小值，则$${{P}}$$点的坐标是（）
A
A.$$( \mathrm{\it~-~} \frac{1} {4}， \mathrm{\it~ 1} )$$
B.$${（{−}{2}{，}{2}{\sqrt {2}}{）}}$$
C.$$( \mathit{-\frac{1} {4}， \mathit{-1}} )$$
D.$${（{−}{2}{，}{−}{2}{\sqrt {2}}{）}}$$
1. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。过点 $$(p, 0)$$ 且垂直于 $$x$$ 轴的直线方程为 $$x = p$$，代入抛物线方程得 $$y^2 = 2p \cdot p = 2p^2$$，即 $$y = \sqrt{2}p$$（第一象限）。因此，点 $$A$$ 的坐标为 $$(p, \sqrt{2}p)$$。
由距离公式 $$|AF| = \sqrt{\left(p - \frac{p}{2}\right)^2 + (\sqrt{2}p - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 + 2p^2} = \sqrt{\frac{p^2}{4} + 2p^2} = \sqrt{\frac{9p^2}{4}} = \frac{3p}{2} = 1$$。
解得 $$p = \frac{2}{3}$$，故抛物线方程为 $$y^2 = \frac{4}{3}x$$，答案为 A。
2. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$。点 $$A(3, 2)$$ 在抛物线外。
由抛物线性质，$$|PF|$$ 等于点 $$P$$ 到准线 $$x = -\frac{1}{2}$$ 的距离。因此，$$|PA| + |PF|$$ 的最小值为点 $$A$$ 到准线的距离 $$3 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{7}{2}$$，此时 $$P$$ 为 $$A$$ 在准线上的垂足与抛物线的交点。
但更简单的方法是注意到当 $$P$$ 在抛物线上且 $$PA$$ 与准线垂直时取得最小值。代入选项验证，点 $$(2, 2)$$ 满足 $$|PA| + |PF| = \sqrt{(2-3)^2 + (2-2)^2} + \left(2 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 1 + \frac{5}{2} = \frac{7}{2}$$，答案为 B。
3. 解析：
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$(2, 0)$$，故椭圆的右焦点也为 $$(2, 0)$$，即 $$c = 2$$。
椭圆的离心率 $$e = \frac{c}{m} = \frac{1}{2}$$，解得 $$m = 4$$。由 $$c^2 = m^2 - n^2$$，得 $$4 = 16 - n^2$$，即 $$n^2 = 12$$。
因此，椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1$$，答案为 B。
4. 解析：
抛物线 $$y = \frac{1}{4}x^2$$ 化为标准形式 $$x^2 = 4y$$，其准线为 $$y = -1$$，焦点为 $$F(0, 1)$$，对称轴为 $$x = 0$$，故点 $$A(0, -1)$$。
设点 $$P(x, y)$$ 在抛物线上，满足 $$|PF| = m|PA|$$，即 $$\sqrt{x^2 + (y - 1)^2} = m\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$$。平方后化简得 $$x^2 + (y - 1)^2 = m^2(x^2 + (y + 1)^2)$$。
利用抛物线方程 $$x^2 = 4y$$ 代入，整理得 $$(1 - m^2)y^2 - (2 + 2m^2)y + (1 - m^2) = 0$$。当 $$m$$ 最小时，判别式为零，解得 $$m = \sqrt{2} - 1$$。
此时点 $$P$$ 在以 $$A$$ 和 $$F$$ 为焦点的双曲线上，双曲线的离心率 $$e = \frac{c}{a}$$，其中 $$2c = |AF| = 2$$，故 $$c = 1$$。由双曲线定义 $$2a = |PF| - |PA| = (\sqrt{2} - 1)|PA| - |PA| = (\sqrt{2} - 2)|PA|$$，但需重新推导。
更简单的方法是直接计算双曲线的离心率。双曲线的焦距 $$2c = 2$$，半长轴 $$a = \sqrt{2} - 1$$，故 $$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$$，答案为 C。
5. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。过点 $$M(p, 0)$$ 且倾斜角为 45° 的直线方程为 $$y = x - p$$。
将直线方程代入抛物线方程得 $$(x - p)^2 = 2px$$，展开为 $$x^2 - 4px + p^2 = 0$$。设两根为 $$x_1, x_2$$，则 $$x_1 + x_2 = 4p$$，$$x_1x_2 = p^2$$。
由抛物线性质，$$|AF| = x_1 + \frac{p}{2}$$，$$|BF| = x_2 + \frac{p}{2}$$，故 $$|AF| + |BF| = x_1 + x_2 + p = 4p + p = 5p = 10$$，解得 $$p = 2$$。
抛物线的准线方程为 $$x = -\frac{p}{2} = -1$$，即 $$x + 1 = 0$$，答案为 A。
6. 解析：
抛物线的顶点在原点，对称轴为 $$x$$ 轴，焦点为 $$(4, 0)$$，故其标准方程为 $$y^2 = 4px$$，其中 $$p = 4$$。
因此，抛物线方程为 $$y^2 = 16x$$，答案为 C。
7. 解析：
抛物线 $$y = \frac{x^2}{a}$$ 化为标准形式 $$x^2 = ay$$，其焦点坐标为 $$\left(0, \frac{a}{4}\right)$$。已知焦点为 $$(0, -1)$$，故 $$\frac{a}{4} = -1$$，解得 $$a = -4$$，答案为 A。
8. 解析：
抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{2}, 0\right)$$。设弦 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k\left(x - \frac{1}{2}\right)$$。
代入抛物线方程得 $$k^2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 2x$$，整理为 $$k^2x^2 - (k^2 + 2)x + \frac{k^2}{4} = 0$$。设两根为 $$x_1, x_2$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{k^2 + 2}{k^2}$$。
由抛物线性质，$$|AB| = x_1 + x_2 + p = \frac{k^2 + 2}{k^2} + 1 = 4$$，解得 $$k^2 = 1$$。
因此，中点 $$C$$ 的横坐标为 $$\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$$，答案为 C。
10. 解析：
抛物线 $$y^2 = -4x$$ 的焦点为 $$F(-1, 0)$$，准线为 $$x = 1$$。点 $$A(-2, 1)$$ 在抛物线外。
由抛物线性质，$$|PF|$$ 等于点 $$P$$ 到准线的距离。因此，$$|PA| + |PF|$$ 的最小值为点 $$A$$ 到准线的距离 $$1 - (-2) = 3$$，此时 $$P$$ 为 $$A$$ 在准线上的垂足与抛物线的交点。
但更简单的方法是代入选项验证，点 $$\left(-\frac{1}{4}, 1\right)$$ 满足 $$|PA| + |PF| = \sqrt{\left(-\frac{1}{4} + 2\right)^2 + (1 - 1)^2} + \left(1 - \left(-\frac{1}{4}\right)\right) = \frac{7}{4} + \frac{5}{4} = 3$$，答案为 A。