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正确率40.0%设$${{F}}$$为抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( 0 > 0 )$$的焦点，直线$$x-2 y-3 p=0$$交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{O}}$$为坐标原点，若$${{△}{F}{A}{B}}$$的面积为$${{5}{\sqrt {{1}{0}}}}$$，则$${{p}{=}{（}}$$）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
2、['椭圆的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '数量积的性质'， '抛物线的标准方程']正确率19.999999999999996%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{A}{，}{B}}$$分别是椭圆$$C_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \ ( \matrix} a > b > 0 )$$的左，右顶点，抛物线$$E_{\colon} \ y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$与椭圆$${{C}}$$在第一象限交于点$${{P}}$$，点$${{P}}$$在$${{x}}$$轴上的投影为$${{P}^{′}}$$，且有$$\overrightarrow{O P} \cdot\frac{\overrightarrow{O P^{\prime}}} {| \overrightarrow{O P^{\prime}} |}=c \langle$$其中$$c^{2}=a^{2}-b^{2} \， ) \， \，， \， \， \， A P$$的连线与$${{y}}$$轴交于点$${{M}{，}{B}{M}}$$与$${{P}{{P}^{′}}}$$的交点$${{N}}$$恰为$${{P}{{P}^{′}}}$$的中点，则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{1} {3}$$
3、['抛物线的标准方程']正确率60.0%如图是一只杯盏的轴截面，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为$${{3}{{c}{m}}{，}}$$则该杯盏的高度为（）
C
A.$${\frac{2 3} {6}} \mathrm{c m}$$
B.$${\frac{1 3} {4}} \mathrm{c m}$$
C.$${\frac{1 1} {3}} \mathrm{c m}$$
D.$$\frac{7} {2} \mathrm{c m}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的两条渐近线与抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的准线分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点$${，{O}}$$为坐标原点.若双曲线的离心率为$$2， \， \bigtriangleup A O B$$的面积为$${\sqrt {3}{，}}$$则$${{p}{=}}$$（）
C
A.$${{1}}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
5、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%抛物线$$y^{2}=2 x$$的焦点到准线的距离为（）
B
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '利用基本不等式求最值'， '圆锥曲线的最值（范围）问题']正确率40.0%已知$${{A}{，}{B}}$$分别为抛物线$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$上的两个动点，以$${{A}{B}}$$为直径的圆$${{C}}$$经过抛物线的焦点$${{F}{，}}$$且面积为$${{2}{π}{，}}$$若过圆心$${{C}}$$作该抛物线准线$${{l}}$$的垂线$${{C}{D}{，}}$$垂足为$${{D}{，}}$$则$${{|}{C}{D}{|}}$$的最大值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
7、['点到直线的距离'， '抛物线的标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-4 y^{2}=1$$的离心率为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}，$$抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x$$的焦点与双曲线$${{C}}$$的右焦点重合，则抛物线$${{E}}$$上的动点$${{M}}$$到直线$$l_{1} \colon~ x=-1$$和$$l_{2} \colon~ 4 x-3 y+6=0$$的距离之和的最小值为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
8、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知$${{M}}$$是抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=2 p x$$上的任意一点，以$${{M}}$$为圆心的圆与直线$${{x}{=}{−}{1}}$$相切且经过点
，设斜率为$${{1}}$$的直线与抛物线$${{C}}$$交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，则线段$${{P}{Q}}$$的中点的纵坐标为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%过抛物线$$y^{2} \!=\! 2 p x \， ( p \! > \! 0 )$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{m}{(}{m}}$$的斜率为正$${{)}{，}{m}}$$交抛物线于点$$A， ~ B， ~ A$$在第四象限$${{B}}$$在第一象限。$${{m}}$$交其准线于点$${{C}}$$，若$$+ B C \! \mid=\! \sqrt{2} \left\vert B F \! \right\vert，$$且$$| A F | \!=\! \sqrt{2} \!+\! 1，$$则此抛物线的方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$$y^{2} \!=\! \sqrt{2} x$$
B.$$y^{2} \!=\! 2 x$$
C.$$y^{2} \!=\! \sqrt{3} x$$
D.$$y^{2} \!=\! 3 x$$
10、['双曲线的离心率'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 0 x$$的焦点与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为$$\frac{9} {2}$$，那么该双曲线的离心率为（）
A
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
1. 抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。将直线 $$x - 2y - 3p = 0$$ 代入抛物线方程，得到 $$y^2 = 2p(2y + 3p)$$，化简为 $$y^2 - 4py - 6p^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$y_1 + y_2 = 4p$$，$$y_1 y_2 = -6p^2$$。距离 $$F$$ 到直线的距离为 $$\frac{\left|\frac{p}{2} - 0 - 3p\right|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{5p/2}{\sqrt{5}} = \frac{p\sqrt{5}}{2}$$。三角形面积 $$\frac{1}{2} \times AB \times d = 5\sqrt{10}$$，其中 $$AB = \sqrt{1 + 4}|y_1 - y_2| = \sqrt{5} \times \sqrt{(4p)^2 + 24p^2} = \sqrt{5} \times 2p\sqrt{10}$$。代入得 $$\frac{1}{2} \times 2p\sqrt{50} \times \frac{p\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{10}$$，解得 $$p = 2$$。答案为 $$C$$。
3. 设抛物线方程为 $$y = ax^2$$，杯盏高度为 $$h$$。当茶水深度为 3 cm 时，抛物线顶点到水面距离为 3 cm，故 $$h - 3 = a r^2$$，其中 $$r$$ 为杯口半径。由抛物线性质，杯盏高度 $$h = \frac{23}{6}$$ cm。答案为 $$A$$。
5. 抛物线 $$y^2 = 2x$$ 的焦点为 $$(1/2, 0)$$，准线为 $$x = -1/2$$，距离为 $$1$$。答案为 $$B$$。
7. 双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - 4y^2 = 1$$ 的离心率 $$e = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，解得 $$a = \sqrt{3}/2$$，$$c = 1$$。抛物线 $$E: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(1, 0)$$，故 $$p = 2$$。动点 $$M$$ 到直线 $$l_1: x = -1$$ 和 $$l_2: 4x - 3y + 6 = 0$$ 的距离之和的最小值为焦点到 $$l_2$$ 的距离 $$\frac{|4 \times 1 + 6|}{5} = 2$$。答案为 $$B$$。
9. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F(p/2, 0)$$。设直线 $$m$$ 的斜率为 $$k$$，与准线 $$x = -p/2$$ 交于 $$C(-p/2, -pk)$$。由 $$|BC| = \sqrt{2}|BF|$$ 和 $$|AF| = \sqrt{2} + 1$$，解得 $$p = 1$$，抛物线方程为 $$y^2 = 2x$$。答案为 $$B$$。