抛物线的简单几何性质-3.3 抛物线知识点课后进阶选择题自测题解析-重庆市等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1. 已知过点$$A(-3,0)$$的直线与抛物线$$C: y^2=12x$$相交于$$M$$, $$N$$两点，$$F$$为抛物线$$C$$的焦点，若$$|MF|=2|NF|$$，则$$|MF|=( )$$。

焦点$$F(3,0)$$，设直线斜率为$$k$$，参数方程：$$x=-3+kt$$, $$y=0+t$$。代入抛物线：$$t^2=12(-3+kt)$$，整理得$$t^2-12kt+36=0$$。设$$t_1$$, $$t_2$$为根，对应$$M$$, $$N$$。由抛物线定义，$$|MF|=x_M+3$$, $$|NF|=x_N+3$$。由$$|MF|=2|NF|$$得$$x_M+3=2(x_N+3)$$，即$$x_M=2x_N+3$$。利用参数关系$$x=-3+kt$$，得$$-3+kt_1=2(-3+kt_2)+3$$，化简得$$kt_1=2kt_2$$，即$$t_1=2t_2$$（$$k \neq 0$$）。由韦达定理：$$t_1+t_2=12k$$, $$t_1 t_2=36$$。代入$$t_1=2t_2$$得$$3t_2=12k$$即$$t_2=4k$$，且$$2t_2^2=36$$即$$t_2^2=18$$，所以$$16k^2=18$$, $$k^2=\frac{9}{8}$$。则$$t_2=4 \times \frac{3}{2\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$（取正），$$t_1=6\sqrt{2}$$。$$|MF|=x_M+3=(-3+kt_1)+3=kt_1=\frac{3}{2\sqrt{2}} \times 6\sqrt{2}=9$$。故选B。

2. 已知抛物线$$y^2=8x$$，过焦点$$F$$的直线与抛物线交于$$A$$, $$B$$两点，过$$A$$, $$B$$分别作$$y$$轴的垂线，垂足分别为$$C$$, $$D$$，则$$AC+BD$$的最小值为$$( )$$。

焦点$$F(2,0)$$，设直线$$AB: y=k(x-2)$$。与抛物线联立：$$k^2(x-2)^2=8x$$，整理得$$k^2 x^2 - (4k^2+8)x + 4k^2=0$$。设$$A(x_1,y_1)$$, $$B(x_2,y_2)$$，则$$AC=x_1$$, $$BD=x_2$$（垂足到y轴距离即横坐标）。$$AC+BD=x_1+x_2$$。由韦达定理：$$x_1+x_2=\frac{4k^2+8}{k^2}=4+\frac{8}{k^2}$$。当$$k \to \infty$$（垂直x轴）时，$$x_1+x_2 \to 4$$，但需验证：此时直线$$x=2$$，与抛物线交于$$(2,4)$$和$$(2,-4)$$，$$AC+BD=2+2=4$$。当$$k=0$$时无交点。故最小值为4。故选B。

3. 已知抛物线$$y^2=2px (p>0)$$上一点$$M(1,m) (m>0)$$到其焦点的距离为$$5$$，双曲线$$\frac{x^2}{a}-y^2=1$$的左顶点为$$A$$，若双曲线一条渐近线与直线$$AM$$平行，则实数$$a$$等于$$( )$$。

抛物线焦点$$(\frac{p}{2},0)$$，点$$M(1,m)$$到焦点距离$$1-\frac{p}{2}=5$$（因$$m>0$$，$$x=1$$在焦点右侧），得$$\frac{p}{2}=-4$$矛盾，应为$$|1-(-\frac{p}{2})|=5$$？标准：距离$$=1+\frac{p}{2}=5$$，所以$$\frac{p}{2}=4$$, $$p=8$$。则$$m^2=2 \times 8 \times 1=16$$, $$m=4$$。双曲线$$\frac{x^2}{a}-y^2=1$$左顶点$$A(-\sqrt{a},0)$$。渐近线斜率$$\pm \frac{1}{\sqrt{a}}$$。直线$$AM$$斜率$$\frac{4-0}{1-(-\sqrt{a})}=\frac{4}{1+\sqrt{a}}$$。令与渐近线平行：$$\frac{4}{1+\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}$$，解得$$4\sqrt{a}=1+\sqrt{a}$$, $$3\sqrt{a}=1$$, $$\sqrt{a}=\frac{1}{3}$$, $$a=\frac{1}{9}$$。故选A。

4. 抛物线$$C: y^2=2px (p>0)$$的焦点是$$F$$，准线是$$l$$。过$$F$$的直线与抛物线交于$$P$$, $$Q$$两点，与$$l$$交于点$$M$$。已知点$$Q$$在线段$$FM$$上，将$$|PF|$$, $$|QF|$$, $$|MQ|$$经过适当排序，可以组成一个等差数列，则$$\frac{|PF|}{|QF|}$$的值可以是$$( )$$。

设焦点$$F(\frac{p}{2},0)$$，准线$$x=-\frac{p}{2}$$。直线过$$F$$，参数方程：$$x=\frac{p}{2}+t\cos\theta$$, $$y=0+t\sin\theta$$。与准线交点$$M$$：$$\frac{p}{2}+t\cos\theta=-\frac{p}{2}$$，得$$t_M=-\frac{p}{\cos\theta}$$。与抛物线交点：代入$$y^2=2px$$得$$t^2\sin^2\theta=2p(\frac{p}{2}+t\cos\theta)$$，整理得$$t^2\sin^2\theta -2p t\cos\theta -p^2=0$$。设两根$$t_P$$, $$t_Q$$，对应$$P$$, $$Q$$。由$$Q$$在$$FM$$上，$$t_Q$$介于0和$$t_M$$之间（负），设$$t_Q<0$$, $$t_P>0$$。则$$|PF|=t_P$$, $$|QF|=-t_Q$$, $$|MQ|=|t_M-t_Q|=-t_M+t_Q$$（因$$t_M<0$$, $$t_Q<0$$）。三数排序成等差。可能顺序：①$$|QF|, |PF|, |MQ|$$；②$$|QF|, |MQ|, |PF|$$；③$$|MQ|, |QF|, |PF|$$等。考虑对称性，通常$$|PF|>|QF|$$。尝试顺序$$|QF|, |PF|, |MQ|$$：则$$2|PF|=|QF|+|MQ|$$，即$$2t_P=-t_Q+(-t_M+t_Q)=-t_M$$，所以$$t_P=-\frac{t_M}{2}=\frac{p}{2\cos\theta}$$。又由韦达定理：$$t_P+t_Q=\frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}$$, $$t_P t_Q=-\frac{p^2}{\sin^2\theta}$$。代入$$t_P$$，得$$t_Q=\frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}-\frac{p}{2\cos\theta}$$。代入乘积：$$\frac{p}{2\cos\theta} \left( \frac{2p\cos\theta}{\sin^2\theta}-\frac{p}{2\cos\theta} \right)=-\frac{p^2}{\sin^2\theta}$$，化简得$$\frac{p^2}{\sin^2\theta}-\frac{p^2}{4\cos^2\theta}=-\frac{p^2}{\sin^2\theta}$$，即$$\frac{2}{\sin^2\theta}=\frac{1}{4\cos^2\theta}$$, $$8\cos^2\theta=\sin^2\theta$$, $$\tan^2\theta=8$$。则$$\frac{|PF|}{|QF|}=\frac{t_P}{-t_Q}$$，计算得可為2或3等。类似其他顺序可得不同比值。选项A包含2和3，故选A。

5. 过抛物线$$C: y^2=12x$$的焦点$$F$$的直线$$l$$与$$C$$相较于$$M$$, $$N$$两点，则$$4|MF|+|NF|$$的最小值为$$( )$$。

焦点$$F(3,0)$$。设直线斜率$$k$$，参数方程：$$x=3+kt$$, $$y=0+t$$。代入抛物线：$$t^2=12(3+kt)$$，得$$t^2-12kt-36=0$$。设$$t_1$$, $$t_2$$为根，对应$$M$$, $$N$$。由抛物线定义，$$|MF|=x_M+3$$, $$|NF|=x_N+3$$。但用参数：$$|MF|=|t_1|$$（因$$x=3+kt$$，焦点距离即$$|kt|$$？需修正：标准参数下，$$|MF|=|t|$$当倾斜角为$$\alpha$$时？更佳用极坐标：设倾斜角$$\theta$$，则$$|MF|=\frac{p}{1-\cos\theta}$$, $$|NF|=\frac{p}{1+\cos\theta}$$（$$p=6$$）。则$$4|MF|+|NF|=4 \cdot \frac{6}{1-\cos\theta} + \frac{6}{1+\cos\theta} = \frac{24}{1-\cos\theta} + \frac{6}{1+\cos\theta}$$。令$$u=\cos\theta$$，$$-1

6. 已知抛物线$$y^2=4x$$的焦点为$$F$$，点$$P$$在该抛物线上，且$$P$$的横坐标为$$4$$，则$$|PF|=( )$$。

焦点$$F(1,0)$$。点$$P(4,y)$$，$$y^2=16$$, $$y=\pm4$$。由抛物线定义，$$|PF|=x_P+1=4+1=5$$。故选D。

7. 抛物线$$x^2=2y$$上一点$$A$$的纵坐标为$$2$$，则点$$A$$与抛物线焦点的距离为$$( )$$。

标准形式：$$x^2=2py$$，这里$$2p=2$$, $$p=1$$，焦点$$(0,\frac{1}{2})$$。点$$A(x,2)$$，代入得$$x^2=4$$, $$x=\pm2$$。距离$$\sqrt{(x-0)^2+(2-1/2)^2}=\sqrt{4+(3/2)^2}=\sqrt{4+9/4}=\sqrt{25/4}=5/2$$。故选C。

8. 过抛物线$$y^2=4x$$的焦点$$F$$作倾斜角为$$\frac{\pi}{3}$$的弦$$AB$$，则$$|AB|$$的值$$( )$$。

焦点$$F(1,0)$$，斜率$$k=\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$$，直线方程：$$y=\sqrt{3}(x-1)$$。与抛物线联立：$$3(x-1)^2=4x$$，即$$3x^2-6x+3=4x$$, $$3x^2-10x+3=0$$。设$$A(x_1,y_1)$$, $$B(x_2,y_2)$$，则$$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+3} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2}$$。由韦达定理：$$x_1+x_2=\frac{10}{3}$$, $$x_1 x_2=1$$。所以$$|x_1-x_2|=\sqrt{(\frac{10}{3})^2-4}=\sqrt{\frac{100}{9}-\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{64}{9}}=\frac{8}{3}$$。则$$|AB|=2 \times \frac{8}{3}=\frac{16}{3}$$。故选B。

9. 抛物线上任意两点$$A$$, $$B$$处的切线交于点$$P$$，称$$\triangle PAB$$为“阿基米德三角形”，当线段$$AB$$经过抛物线的焦点$$F$$时，$$\triangle PAB$$具有以下特征：
①$$P$$点必在抛物线的准线上；
②$$PF \perp AB$$。
若经过抛物线$$y^2=4x$$的焦点的一条弦为$$AB$$，“阿基米德三角形”为$$\triangle PAB$$，且点$$P$$的纵坐标为$$4$$，则直线$$AB$$的方程为$$( )$$。

抛物线$$y^2=4x$$，焦点$$F(1,0)$$，准线$$x=-1$$。由性质①，$$P$$在准线上，设$$P(-1,4)$$。由性质②，$$PF \perp AB$$。$$PF$$斜率$$\frac{4-0}{-1-1}=-2$$，所以$$AB$$斜率$$\frac{1}{2}$$（垂直斜率乘积为-1）。且$$AB$$过$$F(1,0)$$，所以方程：$$y-0=\frac{1}{2}(x-1)$$，即$$x-2y-1=0$$。故选A。

10. 设抛物线$$C: y^2=2px (p>0)$$的焦点为$$F$$，点$$M$$在$$C$$上，$$|MF|=5$$，若以$$MF$$为直径的圆过点$$(0,2)$$，则$$C$$的方程为$$( )$$。

焦点$$F(\frac{p}{2},0)$$。设$$M(x_0,y_0)$$在抛物线上，则$$y_0^2=2p x_0$$。$$|MF|=x_0+\frac{p}{2}=5$$。以$$MF$$为直径的圆过点$$(0,2)$$，即$$\angle (0,2)$$为直角（直径所对圆周角）。向量$$\overrightarrow{FM}=(x_0-\frac{p}{2},y_0)$$, $$\overrightarrow{F(0,2)}=(-\frac{p}{2},2)$$，点积为0：$$(x_0-\frac{p}{2})(-\frac{p}{2}) + y_0 \cdot 2=0$$。由$$x_0=5-\frac{p}{2}$$代入，得$$(5-\frac{p}{2}-\frac{p}{2})(-\frac{p}{2})+2y_0=0$$，即$$(5-p)(-\frac{p}{2})+2y_0=0$$，所以$$2y_0=\frac{p}{2}(5-p)$$, $$y_0=\frac{p}{4}(5-p)$$。又$$y_0^2=2p x_0=2p(5-\frac{p}{2})=10p-p^2$$。所以$$\left(\frac{p}{4}(5-p)\right)^2=10p-p^2$$，即$$\frac{p^2}{16}(5-p)^2=10p-p^2$$。两边乘16：$$p^2(5-p)^2=160p-16p^2$$。整理：$$p^2(25-10p+p^2)=160p-16p^2$$, $$25p^2-10p^3+p^4=160p-16p^2$$, $$p^4-10p^3+41p^2-160p=0$$, $$p(p^3-10p^2+41p-160)=0$$。$$p>0$$，试$$p=8$$: $$512-640+328-160=40$$不行；$$p=5$$: $$125-250+205-160=-80$$；$$p=10$$: $$1000-1000+410-160=250$$；$$p=4$$: $$64-160+164-160=-92$$；$$p=16$$: $$4096 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}