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正确率40.0%抛物线$$x^{2}=8 y$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{M}{、}{N}}$$两点，点$${{P}}$$为$${{x}}$$轴正半轴上任意一点，则$$( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P M} ) \; \cdot\; ( \overrightarrow{P O}-\overrightarrow{P N} ) \;=\; ($$）
B
A.$${{−}{{2}{0}}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{−}{{1}{2}}}$$
D.$${{2}{0}}$$
2、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '抛物线上点坐标的范围'， '数量积的运算律'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线上向量的运算与坐标的关系']正确率60.0%平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$${{F}}$$是抛物线$$y^{2} \!=\! 4 x$$的焦点，点$${{A}{、}{B}}$$在抛物线$${{C}}$$上，满足$$\begin{array} {c c} {\overrightarrow{\mathrm{O A}}. \overrightarrow{\mathrm{O B}}=4，} & {\left| \overrightarrow{\mathrm{F A}} \right| \mathrm{-} | \overrightarrow{\mathrm{F B}} |=4 \sqrt{3}，} \\ \end{array}$$则$$\overrightarrow{\mathrm{F A} \cdot\mathrm{F B}}$$为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{-}{{1}{1}}}$$
B.$${{-}{1}{2}}$$
C.$${{-}{1}{3}}$$
D.$${{-}{1}{4}}$$
3、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，$${{A}{，}{B}}$$是该抛物线上的两点，则$$| A F |+| B F |=1 2$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点到$${{y}}$$轴的距离为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{7}}$$
4、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知抛物线的方程为$$y^{2}=4 x$$，则此抛物线的焦点坐标为（）
C
A.$$( \ -1， \ 0 )$$
B.$$( \ 0， \ -1 )$$
C.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$
D.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%svg异常
A
A.$$y^{2}=\frac{4 5} {2} x$$
B.$$y^{2}=-\frac{4 5} {2} x$$
C.$$x^{2}=\frac{4 5} {2} y$$
D.$$x^{2}=-\frac{4 5} {2} y$$
6、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知等边三角形的一个顶点坐标是$$( \mathrm{\frac{\sqrt{3}} {4}}， \mathrm{\ 0} )$$，另外两个顶点在抛物线$$y^{2}=\sqrt{3} x$$上，则这个等边三角形的边长为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{±}{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{3}}$$
7、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%对于每个自然数$${{n}}$$，抛物线$$y=~ ( \， n^{2}+n ) ~ x^{2}-~ ( \， 2 n+1 ) ~ x+1$$与$${{x}}$$轴交于$${{A}_{n}{，}{{B}_{n}}}$$两点，以$${{|}{{A}_{n}}{{B}_{n}}{|}}$$表示该两点间的距离，则$$| A_{1} B_{1} |+| A_{2} B_{2} |+\ldots+| A_{2 0 1 5} B_{2 0 1 5} |$$的值是（）
D
A.$$\frac{2 0 1 4} {2 0 1 5}$$
B.$$\frac{2 0 1 6} {2 0 1 5}$$
C.$$\frac{2 0 1 5} {2 0 1 4}$$
D.$$\frac{2 0 1 5} {2 0 1 6}$$
8、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%设抛物线$$C_{:} \ y=\frac{1} {4} x^{2}$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点，$$| A F |=3$$，线段$${{A}{B}}$$的中点到抛物线$${{C}}$$的准线的距离为$${{4}}$$，则$$| B F |=\alpha$$）
B
A.$$\frac{7} {2}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，过抛物线$${{C}}$$上一点$${{A}}$$的直线和抛物线$${{C}}$$的准线交于点$${{B}}$$，且满足$$A B=2 A F$$，则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）
C
A.$${{±}{2}}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
10、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']正确率40.0%svg异常
B
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{\sqrt2} {4}$$
D.$$\sqrt{2}-1$$
1. 抛物线$$x^{2}=8 y$$的焦点为$$F(0,2)$$。设直线$$MN$$的斜率为$$k$$，方程为$$y=kx+2$$。与抛物线联立得：$$x^{2}-8kx-16=0$$。设$$M(x_1,y_1)$$，$$N(x_2,y_2)$$，则$$x_1+x_2=8k$$，$$x_1x_2=-16$$。
向量表达式化简：$$(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PM}) \cdot (\overrightarrow{PO}-\overrightarrow{PN}) = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{NO} = x_1x_2 + y_1y_2$$。
由抛物线方程得$$y_1y_2=\frac{{x_1^2x_2^2}}{{64}}=4$$，故结果为$$-16+4=-12$$。选C。
2. 抛物线$$y^{2}=4x$$的焦点$$F(1,0)$$。设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由条件得：
1) $$x_1x_2+y_1y_2=4$$
2) $$\sqrt{{(x_1-1)^2+y_1^2}} - \sqrt{{(x_2-1)^2+y_2^2}} =4\sqrt{{3}}$$
利用抛物线性质$$|FA|=x_1+1$$，$$|FB|=x_2+1$$，解得$$x_1-x_2=4\sqrt{{3}}$$。联立得$$x_1=7$$，$$x_2=7-4\sqrt{{3}}$$，$$y_1y_2=-24$$。
最终计算$$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = (x_1-1)(x_2-1)+y_1y_2 = -12$$。选B。
3. 抛物线$$y^{2}=4x$$的准线为$$x=-1$$。由定义$$|AF|+|BF|=x_A+x_B+2=12$$，故$$x_A+x_B=10$$。
中点到$$y$$轴距离为$$\frac{{x_A+x_B}}{2}=5$$。选C。
4. 抛物线$$y^{2}=4x$$的标准形式为$$y^{2}=4px$$，其中$$p=1$$，焦点在$$(1,0)$$。选C。
6. 设顶点$$A(\frac{{\sqrt{{3}}}}{4},0)$$，另两点$$B(x,\sqrt{{\sqrt{{3}}x}})$$，$$C(x,-\sqrt{{\sqrt{{3}}x}})$$。由等边条件得边长方程：
$$AB=\sqrt{{(x-\frac{{\sqrt{{3}}}}{4})^2+3x}} = BC=2\sqrt{{\sqrt{{3}}x}}$$
解得$$x=\frac{{3\sqrt{{3}}}}{4}$$，边长为$$2\sqrt{{\sqrt{{3}} \cdot \frac{{3\sqrt{{3}}}}{4}}}=3$$。选A。
7. 抛物线$$y=(n^{2}+n)x^{2}-(2n+1)x+1$$与$$x$$轴交点为方程$$(n^{2}+n)x^{2}-(2n+1)x+1=0$$的解。
因式分解得：$$(nx-1)((n+1)x-1)=0$$，故$$x_1=\frac{{1}}{{n}}$$，$$x_2=\frac{{1}}{{n+1}}$$。
距离$$|A_nB_n|=\frac{{1}}{{n}}-\frac{{1}}{{n+1}}$$，求和得：
$$\sum_{n=1}^{2015} \left( \frac{{1}}{{n}} - \frac{{1}}{{n+1}} \right) = 1 - \frac{{1}}{{2016}} = \frac{{2015}}{{2016}}$$。选D。
8. 抛物线$$y=\frac{{1}}{{4}}x^{2}$$化为标准形式$$x^{2}=4y$$，焦点$$F(0,1)$$。设$$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$。
由$$|AF|=3$$得$$y_1+1=3$$，故$$y_1=2$$。中点$$M$$到准线距离为$$\frac{{y_1+y_2}}{2}+1=4$$，得$$y_2=4$$。
由抛物线性质$$|BF|=y_2+1=5$$。选B。
9. 抛物线$$y^{2}=2px$$的焦点$$F(\frac{{p}}{{2}},0)$$。设$$A(\frac{{y_0^2}}{{2p}},y_0)$$，准线$$x=-\frac{{p}}{{2}}$$。
由$$AB=2AF$$得$$B(-\frac{{p}}{{2}}, -y_0)$$。直线斜率$$k=\frac{{-y_0-y_0}}{{-\frac{{p}}{{2}}-\frac{{y_0^2}}{{2p}}}} = \frac{{-2y_0}}{{-\frac{{p^2+y_0^2}}{{2p}}}} = \frac{{4py_0}}{{p^2+y_0^2}}$$。
由$$A$$在抛物线上得$$k=\pm \sqrt{{3}}$$。选C。