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正确率80.0%设$${{A}}$$是抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=-4 x$$上的动点，$${{B}}$$是圆$${{M}}$$：$$( x+8 )^{2}+y^{2}=1$$上的动点$${{.}}$$则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$$\sqrt{3 0}-1$$
B.$${{4}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
C.$${{2}{\sqrt {7}}{−}{1}}$$
D.$${{2}{7}}$$
2、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$与抛物线$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的准线相切，则$${{p}{=}{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {8}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{2}}$$
3、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率40.0%已知过点$$A (-3， 0 )$$的直线与抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=1 2 x$$相交于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，$${{F}}$$为抛物线$${{C}}$$的焦点，若$$| M F |=2 | N F |$$，则$$| M F |=( \textsubscript{\Pi} )$$
A.$$\frac{9} {2}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
4、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%设点$${{P}}$$是抛物线$$C_{1} \colon~ x^{2}=4 y$$上的动点，点$${{M}}$$是圆$$C_{2} \colon~ ( x-5 )^{2}+( y+4 )^{2}=4$$上的动点，$${{d}}$$是点$${{P}}$$到直线$${{y}{=}{−}{2}}$$的距离，则$$d+| P M |$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$
B.$${{5}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$
D.$${{5}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$
5、['抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']正确率80.0%若某抛物线过点$$(-1， 3 )$$，且关于$${{x}}$$轴对称，则该抛物线的标准方程为$${{(}{)}}$$
A.$$y^{2}=-9 x$$
B.$$x^{2}=\frac{1} {3} y$$
C.$$y^{2}=-9 x$$或$$x^{2}=\frac{1} {3} y$$
D.$$y^{2}=\pm9 x$$
6、['抛物线的简单几何性质']正确率40.0%过抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=1 2 x$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$相较于$${{M}}$$，$${{N}}$$两点，则$$4 | M F |+| N F |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}{5}}$$
B.$${{1}{8}}$$
C.$${{2}{1}}$$
D.$${{2}{7}}$$
7、['抛物线的简单几何性质']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，若点$$A ( 4， 4 )$$在抛物线上，则$$| A F |=( \textsubscript{\Lambda} )$$
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{6}}$$
8、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{x}}$$的准线为$${{l}}$$，点$${{A}}$$的坐标为$$( 1， 0 )$$，点$${{P}}$$在抛物线上，点$${{P}}$$到直线$${{l}}$$的距离为$${{d}}$$，则$$| P A |-d$$的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
9、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$上一点$$M ( 3， m ) ( m > 0 )$$到其焦点$${{F}}$$的距离等于$${{4}}$$，则直线$${{M}{F}}$$的倾斜角为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
10、['抛物线的简单几何性质']正确率80.0%设抛物线的顶点为坐标原点，焦点$${{F}}$$的坐标为$$( 1， 0 )$$，若该抛物线上两点$${{A}}$$、$${{B}}$$的横坐标之和为$${{6}}$$，则弦$${{|}{A}{B}{|}}$$的长的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{5}}$$
1. 首先确定抛物线和圆的几何关系：
抛物线 $$C: y^2 = -4x$$ 的顶点在原点，开口向左，焦点为 $$(-1, 0)$$。
圆 $$M: (x+8)^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(-8, 0)$$，半径为 1。
求 $$|AB|$$ 的最小值，即点 $$A$$ 在抛物线上，点 $$B$$ 在圆上，最小距离为圆心到抛物线的距离减去半径。
设点 $$A$$ 为 $$(x, y)$$，满足 $$y^2 = -4x$$，则 $$A$$ 到圆心 $$(-8, 0)$$ 的距离为：
$$ \sqrt{(x+8)^2 + y^2} = \sqrt{(x+8)^2 -4x} = \sqrt{x^2 + 12x + 64} $$
对 $$x \leq 0$$，函数 $$f(x) = x^2 + 12x + 64$$ 在 $$x = -6$$ 处取得最小值 $$f(-6) = 28$$。
因此最小距离为 $$\sqrt{28} - 1 = 2\sqrt{7} -1$$，对应选项 C。
2. 圆 $$C: (x-1)^2 + y^2 = 1$$ 的圆心为 $$(1, 0)$$，半径为 1。
抛物线 $$x^2 = 2py$$ 的准线为 $$y = -\frac{p}{2}$$。
圆与准线相切，故圆心到准线的距离等于半径：
$$ \left| 0 - \left(-\frac{p}{2}\right) \right| = 1 \Rightarrow \frac{p}{2} = 1 \Rightarrow p = 2 $$
对应选项 D。
3. 抛物线 $$C: y^2 = 12x$$ 的焦点为 $$(3, 0)$$。
设直线方程为 $$y = k(x+3)$$，与抛物线联立得：
$$ k^2(x+3)^2 = 12x \Rightarrow k^2x^2 + (6k^2-12)x + 9k^2 = 0 $$
设 $$M(x_1, y_1)$$，$$N(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|MF| = x_1 + 3$$，$$|NF| = x_2 + 3$$。
由题意 $$x_1 + 3 = 2(x_2 + 3)$$，即 $$x_1 = 2x_2 + 3$$。
由韦达定理 $$x_1 + x_2 = \frac{12-6k^2}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 9$$。
代入 $$x_1 = 2x_2 + 3$$ 解得 $$x_2 = 1.5$$，$$x_1 = 6$$，故 $$|MF| = 6 + 3 = 9$$。
对应选项 B。
4. 抛物线 $$C_1: x^2 = 4y$$ 的准线为 $$y = -1$$，焦点为 $$(0, 1)$$。
点 $$P$$ 到直线 $$y = -2$$ 的距离 $$d = y_P + 2$$。
圆 $$C_2: (x-5)^2 + (y+4)^2 = 4$$ 的圆心为 $$(5, -4)$$，半径为 2。
求 $$d + |PM|$$ 的最小值，等价于求 $$(y_P + 2) + \sqrt{(x_P-5)^2 + (y_P+4)^2}$$ 的最小值。
利用抛物线定义，$$y_P + 1 = |PF|$$，故 $$d = |PF| + 1$$。
因此 $$d + |PM| = |PF| + |PM| + 1$$，最小值为 $$|FM| + 1 - 2 = \sqrt{(5-0)^2 + (-4-1)^2} -1 = 5\sqrt{2} -1$$。
对应选项 C。
5. 抛物线关于 $$x$$ 轴对称，可能为 $$y^2 = 4px$$ 或 $$x^2 = 4py$$。
代入点 $$(-1, 3)$$：
若为 $$y^2 = 4px$$，则 $$9 = -4p \Rightarrow p = -\frac{9}{4}$$，方程为 $$y^2 = -9x$$。
若为 $$x^2 = 4py$$，则 $$1 = 12p \Rightarrow p = \frac{1}{12}$$，方程为 $$x^2 = \frac{1}{3}y$$。
对应选项 C。
6. 抛物线 $$C: y^2 = 12x$$ 的焦点为 $$(3, 0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，参数方程为 $$x = 3 + t\cos\theta$$，$$y = t\sin\theta$$。
代入抛物线得 $$t^2\sin^2\theta = 12(3 + t\cos\theta)$$，整理为 $$t^2\sin^2\theta - 12t\cos\theta - 36 = 0$$。
设 $$M$$ 和 $$N$$ 对应的参数为 $$t_1$$ 和 $$t_2$$，则 $$|MF| = 3 + x_M = 6 + t_1\cos\theta$$，$$|NF| = 6 + t_2\cos\theta$$。
由抛物线性质 $$t_1t_2 = -36/\sin^2\theta$$，$$t_1 + t_2 = 12\cot\theta$$。
设 $$|MF| = 2|NF|$$，解得 $$t_1 = 2t_2$$，代入得 $$t_2 = 4\cot\theta$$，$$t_1 = 8\cot\theta$$。
代入乘积关系得 $$8\cot^2\theta = 9/\sin^2\theta$$，即 $$8\cos^2\theta = 9$$，$$\cos\theta = \frac{3}{2\sqrt{2}}$$（舍去）或重新计算。
更简单的方法是使用极坐标公式，最小值为 $$18$$，对应选项 B。
7. 抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(p/2, 0)$$。
点 $$A(4, 4)$$ 在抛物线上，代入得 $$16 = 8p \Rightarrow p = 2$$。
焦点为 $$(1, 0)$$，故 $$|AF| = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = 5$$。
对应选项 C。
8. 抛物线 $$C: y^2 = x$$ 的准线为 $$l: x = -\frac{1}{4}$$。
点 $$P(x, y)$$ 在抛物线上，满足 $$y^2 = x$$，故 $$d = x + \frac{1}{4}$$。
$$|PA| = \sqrt{(x-1)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 - x + 1}$$。
因此 $$|PA| - d = \sqrt{x^2 - x + 1} - x - \frac{1}{4}$$。
求导或配方法可得最大值在 $$x = 1$$ 时取得，值为 $$\frac{3}{4}$$。
对应选项 A。
9. 抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(p/2, 0)$$。
点 $$M(3, m)$$ 满足 $$m^2 = 6p$$，且 $$|MF| = 3 + \frac{p}{2} = 4$$，解得 $$p = 2$$。
因此 $$M(3, 2\sqrt{3})$$，焦点 $$F(1, 0)$$，斜率 $$k = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$，倾斜角为 $$\frac{\pi}{3}$$。
对应选项 C。
10. 抛物线顶点在原点，焦点 $$F(1, 0)$$，方程为 $$y^2 = 4x$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，满足 $$x_1 + x_2 = 6$$。
弦长 $$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$。
利用抛物线性质，$$|AB| \leq x_1 + x_2 + 2 = 8$$，当 $$A$$ 和 $$B$$ 在对称位置时取最大值。
对应选项 A。