抛物线的定义-3.3 抛物线知识点专题进阶自测题答案-浙江省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

正确率60.0%抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}{，}}$$点$${{A}}$$在抛物线上且其横坐标为$${{4}{，}}$$则$$| A F |=$$（）

B

A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{3}}$$

正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$，与该抛物线及其准线从上向下依次交于$$A， ~ B， ~ C$$三点，若$$| B C |=3 | B F |$$，且$$| A F |=3$$，则该抛物线的标准方程是（）

C

A.$$y^{2}=2 x$$

B.$$y^{2}=3 x$$

C.$$y^{2}=4 x$$

D.$$y^{2}=6 x$$

正确率60.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$焦点为$${{F}}$$，过$${{F}}$$作直线$${{l}}$$交抛物线$${{l}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A F |=\frac{2} {3}， \， \， \， | B F |=2$$，则$${{p}{=}{（}}$$）

A

A.$${{1}}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x \， ( p > 0 )$$上的点$$M ( 1， m )$$到其焦点的距离为$${{5}}$$，则该抛物线的准线方程为$${{(}{)}}$$．

D

A.$${{x}{=}{8}}$$

B.$${{x}{=}{−}{8}}$$

C.$${{x}{=}{4}}$$

D.$${{x}{=}{−}{4}}$$

正确率40.0%已知$${{P}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$上任意一点，抛物线的焦点为$${{F}}$$，点$$A ~ ( \mathrm{2}， \mathrm{\boldmath~ 1 ~} )$$是平面内一点，则$$| P A |+| P F |$$的最小值为（）

D

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

正确率40.0%已知不过原点的直线$${{l}}$$与抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F |=2 | B F |$$，且$$\angle A F B=9 0^{\circ} \，，$$则直
线$${{l}}$$的斜率为（）

C

A.$${{±}{1}}$$

B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{±}{2}}$$

D.$${{±}{2}{\sqrt {3}}}$$

正确率40.0%设拋物线$$\sigma_{\colon} \; y^{2}=8 x，$$直线$$l \mathbf{:} ~ 3 x-4 y+1 8=0$$，点$${{P}}$$为$${{σ}}$$上一动点，$${{P}}$$到$${{l}}$$的距离为$${{d}_{1}{，}{P}}$$到$${{y}}$$轴的距离为$${{d}_{2}}$$，则$${{d}_{1}{+}{{d}_{2}}}$$的最小值为（）

B

A.$$\frac{1 3} {5}$$

B.$$\frac{1 4} {5}$$

C.$$\frac{1 6} {5}$$

D.$$\frac{1 7} {5}$$

正确率60.0%svg异常

C

A.$${{5}}$$

B.$${{6}}$$

C.$$\frac{1 6} {3}$$

D.$$\frac{2 0} {3}$$

正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，点$${{P}}$$为抛物线上一点，且在第一象限，$${{P}{A}{⊥}{l}}$$，垂足为$$A， ~ | P F |=3$$，则直线$${{A}{F}}$$的斜率为（）

B

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${{−}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{−}{\sqrt {3}}}$$

正确率60.0%抛物线$$y^{2}=1 6 x$$的焦点到准线的距离是（）

D

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{8}}$$

1. 解析：抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的焦点 $$F$$ 在 $$(1,0)$$。点 $$A$$ 的横坐标为 4，代入抛物线方程得 $$y^{2}=16$$，所以 $$A$$ 的坐标为 $$(4,4)$$ 或 $$(4,-4)$$。计算距离 $$|AF|$$：

故选 B。

2. 解析：设抛物线 $$y^{2}=2px$$ 的焦点 $$F$$ 为 $$(\frac{p}{2},0)$$。直线 $$l$$ 过 $$F$$，设斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \frac{p}{2})$$。与抛物线联立得：

设 $$A(x_1,y_1)$$，由 $$|AF|=3$$ 得 $$x_1 + \frac{p}{2} = 3$$，即 $$x_1 = 3 - \frac{p}{2}$$。代入抛物线方程得 $$y_1^{2} = 2p(3 - \frac{p}{2})$$。

由 $$|BC|=3|BF|$$ 及几何关系，解得 $$p = \frac{3}{2}$$，故抛物线方程为 $$y^{2}=3x$$，选 B。

3. 解析：抛物线 $$y^{2}=2px$$ 的焦点 $$F$$ 为 $$(\frac{p}{2},0)$$。设直线 $$l$$ 的倾斜角为 $$\theta$$，则 $$|AF| = \frac{2}{3} = \frac{p}{1 - \cos \theta}$$，$$|BF| = 2 = \frac{p}{1 + \cos \theta}$$。联立解得 $$\cos \theta = \frac{1}{2}$$，代入得 $$p = 1$$，选 A。

4. 解析：点 $$M(1,m)$$ 在抛物线 $$y^{2}=2px$$ 上，代入得 $$m^{2} = 2p$$。由焦半径公式 $$1 + \frac{p}{2} = 5$$，解得 $$p = 8$$。准线方程为 $$x = -\frac{p}{2} = -4$$，选 D。

5. 解析：抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的准线为 $$x = -1$$。由抛物线定义，$$|PF|$$ 等于点 $$P$$ 到准线的距离。$$|PA| + |PF|$$ 的最小值为点 $$A(2,1)$$ 到准线的距离，即 $$2 - (-1) = 3$$，选 D。

6. 解析：设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = kx + b$$。与抛物线 $$y^{2}=2px$$ 联立得：

设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由 $$|AF|=2|BF|$$ 得 $$x_1 + \frac{p}{2} = 2(x_2 + \frac{p}{2})$$，即 $$x_1 = 2x_2 + \frac{p}{2}$$。由 $$\angle AFB = 90^{\circ}$$，得向量 $$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = 0$$，解得 $$k = \pm 2\sqrt{3}$$，选 D。

7. 解析：抛物线 $$y^{2}=8x$$ 的焦点为 $$(2,0)$$。点 $$P$$ 到 $$y$$ 轴的距离 $$d_2 = x$$。点 $$P$$ 到直线 $$3x - 4y + 18 = 0$$ 的距离 $$d_1 = \frac{|3x - 4y + 18|}{5}$$。利用抛物线方程 $$y^{2} = 8x$$，设 $$P(x,y)$$，最小化 $$d_1 + d_2$$，通过几何分析得最小值为 $$\frac{16}{5}$$，选 C。

9. 解析：抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的准线 $$l$$ 为 $$x = -1$$。点 $$P$$ 在第一象限，设 $$P(x,y)$$，由 $$|PF| = 3$$ 得 $$x + 1 = 3$$，即 $$x = 2$$，代入抛物线得 $$y = 2\sqrt{2}$$。点 $$A$$ 为 $$(-1, 2\sqrt{2})$$，焦点 $$F(1,0)$$，斜率 $$k = \frac{2\sqrt{2} - 0}{-1 - 1} = -\sqrt{2}$$，选 B。

10. 解析：抛物线 $$y^{2}=16x$$ 的焦点为 $$(4,0)$$，准线为 $$x = -4$$。焦点到准线的距离为 $$4 - (-4) = 8$$，选 D。