1、['平面向量加法、减法的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '平面向量坐标运算的综合应用']正确率40.0%已知$${{△}{A}{B}{C}}$$三个顶点都在抛物线$${{x}^{2}{=}{8}{y}}$$上，且$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$$\overrightarrow{A F}=\frac{1} {3} ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} )$$，则$$| \overrightarrow{A F} |+| \overrightarrow{B F} |+| \overrightarrow{C F} |=$$（）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
2、['双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的一条渐近线的倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$，且一个焦点与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的焦点重合，则$${{C}}$$的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$
B.$$\frac{x} {9}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{8}{x}}$$的焦点作直线$${{l}}$$与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，它们到直线$${{x}{=}{−}{3}}$$的距离之和等于$${{7}}$$，则满足条件的$${{l}{（}}$$）
D
A.恰有一条
B.恰有两条
C.有无数多条
D.不存在
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$${{x}^{2}{=}{4}{y}}$$的焦点$${，{M}{，}{N}}$$是该抛物线上的两点，且$${{|}{M}{F}{|}{+}{|}{N}{F}{|}{=}{6}{，}}$$则线段$${{M}{N}}$$的中点到该抛物线的准线的距离为（）
C
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
5、['抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知点$${{P}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上的一点，$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$${{|}{P}{F}{|}{=}{5}}$$，则点$${{P}}$$的横坐标为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%若抛物线$${{x}^{2}{=}{a}{y}}$$的焦点到准线的距离为$${{1}}$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{\}{p}{m}{2}}$$
D.$${{\}{p}{m}{4}}$$
9、['两点间的斜率公式'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%设点$${{M}}$$为抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$的准线上一点（不同于准线与$${{x}}$$轴的交点），过抛物线$${{C}}$$的焦点$${{F}}$$，且垂直于$${{x}}$$轴的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，设$${{M}{A}{、}{M}{F}{、}{M}{B}}$$的斜率分别为$${{k}_{1}{、}{{k}_{2}}{、}{{k}_{3}}}$$，则$$\frac{k_{1}+k_{3}} {k_{2}}$$的值为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
10、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，线段$${{O}{F}{（}{O}}$$为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$${{|}{M}{N}{|}{=}{4}}$$，则$${{|}{M}{F}{|}{=}{（}}$$）
C
A.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$
B.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
1. 解析：
设抛物线 $$x^2 = 8y$$ 的焦点为 $$F(0, 2)$$。设点 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，$$C(x_3, y_3)$$ 在抛物线上，满足 $$x_i^2 = 8y_i$$（$$i = 1, 2, 3$$）。
由题意，$$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$$，即 $$(0 - x_1, 2 - y_1) = \frac{1}{3}((x_2 - x_1, y_2 - y_1) + (x_3 - x_1, y_3 - y_1))$$。
化简得 $$-x_1 = \frac{1}{3}(x_2 + x_3 - 2x_1)$$ 和 $$2 - y_1 = \frac{1}{3}(y_2 + y_3 - 2y_1)$$。
解得 $$x_2 + x_3 = -x_1$$ 和 $$y_2 + y_3 = 6 - y_1$$。
利用抛物线性质，$$y_i = \frac{x_i^2}{8}$$，代入得 $$\frac{x_2^2}{8} + \frac{x_3^2}{8} = 6 - \frac{x_1^2}{8}$$，即 $$x_2^2 + x_3^2 = 48 - x_1^2$$。
又因为 $$(x_2 + x_3)^2 = x_1^2$$，展开得 $$x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3 = x_1^2$$，结合上式得 $$48 - x_1^2 + 2x_2x_3 = x_1^2$$，解得 $$x_2x_3 = x_1^2 - 24$$。
计算 $$|\overrightarrow{AF}| + |\overrightarrow{BF}| + |\overrightarrow{CF}| = \sqrt{x_1^2 + (2 - y_1)^2} + \sqrt{x_2^2 + (2 - y_2)^2} + \sqrt{x_3^2 + (2 - y_3)^2}$$。
由于 $$y_i = \frac{x_i^2}{8}$$，代入得 $$\sqrt{x_1^2 + \left(2 - \frac{x_1^2}{8}\right)^2} + \sqrt{x_2^2 + \left(2 - \frac{x_2^2}{8}\right)^2} + \sqrt{x_3^2 + \left(2 - \frac{x_3^2}{8}\right)^2}$$。
化简后得到 $$2 + \frac{x_1^2}{8} + 2 + \frac{x_2^2}{8} + 2 + \frac{x_3^2}{8} = 6 + \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}{8} = 6 + \frac{48}{8} = 12$$。
因此，答案为 $$D$$。
2. 解析：
双曲线 $$C$$ 的渐近线倾斜角为 $$60^\circ$$，斜率为 $$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$$，即 $$\frac{b}{a} = \sqrt{3}$$。
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$(2, 0)$$，因此双曲线的焦点为 $$(2, 0)$$，即 $$c = 2$$。
由双曲线性质 $$c^2 = a^2 + b^2$$，代入得 $$4 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$$，解得 $$a^2 = 1$$，$$b^2 = 3$$。
因此双曲线方程为 $$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$$，即选项 $$C$$。
3. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$F(2, 0)$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 2)$$。
与抛物线联立得 $$k^2(x - 2)^2 = 8x$$，整理为 $$k^2x^2 - (4k^2 + 8)x + 4k^2 = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{4k^2 + 8}{k^2} = 4 + \frac{8}{k^2}$$。
点 $$A$$ 和 $$B$$ 到直线 $$x = -3$$ 的距离分别为 $$x_1 + 3$$ 和 $$x_2 + 3$$，和为 $$x_1 + x_2 + 6 = 10 + \frac{8}{k^2} = 7$$。
解得 $$\frac{8}{k^2} = -3$$，无实数解，因此不存在满足条件的直线 $$l$$。
答案为 $$D$$。
4. 解析：
抛物线 $$x^2 = 4y$$ 的焦点为 $$F(0, 1)$$，准线为 $$y = -1$$。
设 $$M(x_1, y_1)$$，$$N(x_2, y_2)$$，由抛物线性质 $$|MF| = y_1 + 1$$，$$|NF| = y_2 + 1$$。
由题意 $$y_1 + 1 + y_2 + 1 = 6$$，即 $$y_1 + y_2 = 4$$。
线段 $$MN$$ 的中点为 $$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$，其到准线的距离为 $$\frac{y_1 + y_2}{2} + 1 = 3$$。
答案为 $$C$$。
5. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设点 $$P(x, y)$$，由抛物线性质 $$|PF| = x + 1 = 5$$，解得 $$x = 4$$。
答案为 $$D$$。
7. 解析：
抛物线 $$x^2 = ay$$ 的焦点为 $$\left(0, \frac{a}{4}\right)$$，准线为 $$y = -\frac{a}{4}$$。
焦点到准线的距离为 $$\left|\frac{a}{4} - \left(-\frac{a}{4}\right)\right| = \left|\frac{a}{2}\right| = 1$$，解得 $$a = \pm 2$$。
答案为 $$C$$。
9. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$，准线为 $$x = -1$$。设点 $$M(-1, m)$$（$$m \neq 0$$）。
过 $$F$$ 且垂直于 $$x$$ 轴的直线为 $$x = 1$$，与抛物线交于 $$A(1, 2)$$ 和 $$B(1, -2)$$。
斜率 $$k_1 = \frac{2 - m}{1 - (-1)} = \frac{2 - m}{2}$$，$$k_2 = \frac{0 - m}{1 - (-1)} = -\frac{m}{2}$$，$$k_3 = \frac{-2 - m}{1 - (-1)} = \frac{-2 - m}{2}$$。
计算 $$\frac{k_1 + k_3}{k_2} = \frac{\frac{2 - m}{2} + \frac{-2 - m}{2}}{-\frac{m}{2}} = \frac{-m}{-\frac{m}{2}} = 2$$。
答案为 $$A$$。
10. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。线段 $$OF$$ 的中点为 $$\left(\frac{p}{4}, 0\right)$$，垂直平分线为 $$x = \frac{p}{4}$$。
与抛物线联立得 $$y^2 = 2p \cdot \frac{p}{4} = \frac{p^2}{2}$$，解得 $$y = \pm \frac{p}{\sqrt{2}}$$，即 $$M\left(\frac{p}{4}, \frac{p}{\sqrt{2}}\right)$$，$$N\left(\frac{p}{4}, -\frac{p}{\sqrt{2}}\right)$$。
由 $$|MN| = 4$$，得 $$\frac{2p}{\sqrt{2}} = 4$$，解得 $$p = 2\sqrt{2}$$。
计算 $$|MF| = \sqrt{\left(\frac{p}{4} - \frac{p}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{\sqrt{2}} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{p^2}{16} + \frac{p^2}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$。
答案为 $$C$$。
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