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正确率19.999999999999996%若抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$与直线$$x-y-1=0$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$\overrightarrow{O A} \cdot\overrightarrow{O B}=-1$$，则$${{p}{=}{（}}$$）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
2、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']正确率80.0%svg异常
A.$$\frac{5} {4}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$$\frac{4} {5}$$
D.$$\frac{3} {4}$$
3、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的存在性问题']正确率40.0%已知$$P ( t， \ 0 ) ( t > 0 )，$$过抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$作直线交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{C}}$$上存在点$${{Q}{，}}$$使得四边形$${{P}{A}{Q}{B}}$$为平行四边形，则$${{t}}$$（）
A
A.是定值
B.有最大值
C.有最小值
D.以上说法均不正确
4、['直线与抛物线的综合应用'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率60.0%已知抛物线方程为$$x^{2}=4 y，$$动点$${{P}}$$的坐标为$$( 1， ~ t )，$$若过$${{P}}$$点可以作直线与抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且点$${{P}}$$是线段$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$$- \frac{1} {2}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%直线$${{y}{=}{2}{x}}$$与抛物线$${{W}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=\sqrt{5}，$$则$${{A}{，}{B}}$$两点到抛物线$${{W}}$$的准线的距离之和为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%在直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，抛物线$$C : y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}{，}}$$准线为$${{l}{，}{P}}$$为$${{C}}$$上一点$${，{P}{Q}}$$垂直$${{l}}$$于点$$Q， ~ M， ~ N$$分别为$$P Q， ~ P F$$的中点，直线$${{M}{N}}$$与$${{x}}$$轴交于点$${{R}{，}}$$若$$\angle N R F=6 0^{\circ}$$，则$$| N R |=$$（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}}$$
7、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '抛物线的其他性质'， '直线与抛物线的交点个数'， '利用基本不等式求最值']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{H}}$$，直线$${{l}}$$过$${{H}}$$与该抛物线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{O}}$$为坐标原点，$${{C}}$$为线段$${{O}{A}}$$的中点，延长$${{O}{B}}$$到$${{D}}$$，使$$O D=2 O B$$，设$${{C}{，}{D}}$$在$${{y}}$$轴上的射影分别为$${{P}{，}{Q}}$$，当则$$| O P |+| O Q |$$的值最小时，直线$${{l}}$$的方程为（）
A
A.$$4 x-5 y+4=0$$或$$4 x+5 y+4=0$$
B.$$x-y+1=0$$或$$x+y+1=0$$
C.$$5 x-4 y+5=0$$或$$5 x+4 y+5=0$$
D.$$4 x-3 y+4=0$$或$$4 x+3 y+4=0$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率60.0%斜率为$${{k}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$且与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线交$${{x}}$$轴于点$${{E}}$$，若$$| A B |=8$$，则$$| E F |=\langle($$）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$$C : y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，其准线$${{l}}$$与$${{x}}$$轴交于点$${{A}}$$，点$${{M}}$$在抛物线$${{C}}$$上，当$$\frac{| M A |} {| M F |}=\sqrt{2}$$时，$${{△}{A}{M}{F}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
10、['直线与抛物线的综合应用']正确率0.0%已知抛物线$$C : y^{2}=4 x$$和直线$$l : x-y+1=0$$，$${{F}}$$是$${{C}}$$的焦点，$${{P}}$$是$${{l}}$$上一点，过$${{P}}$$作抛物线$${{C}}$$的一条切线与$${{y}}$$轴交于$${{Q}}$$，则$${{Δ}{P}{Q}{F}}$$外接圆面积的最小值为（ ）
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{2}} {2} \pi$$
C.$${\sqrt {2}{π}}$$
D.$${{2}{π}}$$
1. 解析：
联立抛物线 $$y^{2}=2 p x$$ 与直线 $$x-y-1=0$$，得 $$(y+1)^{2}=2 p y + 2 p$$，即 $$y^{2} + (2 - 2 p) y + 1 - 2 p = 0$$。
设交点 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$y_1 + y_2 = 2 p - 2$$，$$y_1 y_2 = 1 - 2 p$$。
由 $$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = -1$$，且 $$x_1 = y_1 + 1$$，$$x_2 = y_2 + 1$$，代入得：
$$(y_1 + 1)(y_2 + 1) + y_1 y_2 = 2 y_1 y_2 + y_1 + y_2 + 1 = -1$$。
将 $$y_1 + y_2$$ 和 $$y_1 y_2$$ 代入，解得 $$p = 1$$。
答案：A
2. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
3. 解析：
抛物线 $$C: y^{2}=4 x$$ 的焦点 $$F(1, 0)$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。
联立抛物线得 $$k^{2} x^{2} - (2 k^{2} + 4) x + k^{2} = 0$$，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = 2 + \frac{4}{k^{2}}$$，$$x_1 x_2 = 1$$。
因为 $$PAQB$$ 是平行四边形，所以 $$Q$$ 的坐标为 $$(x_1 + x_2 - t, y_1 + y_2)$$。由于 $$Q$$ 在抛物线上，代入得：
$$(y_1 + y_2)^{2} = 4(x_1 + x_2 - t)$$。
化简得 $$t = 2$$，为定值。
答案：A
4. 解析：
抛物线 $$x^{2}=4 y$$，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，中点 $$P(1, t)$$，则 $$x_1 + x_2 = 2$$，$$y_1 + y_2 = 2 t$$。
由抛物线性质，$$x_1^{2} = 4 y_1$$，$$x_2^{2} = 4 y_2$$，相减得：
$$(x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 4(y_1 - y_2)$$，即斜率 $$k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = \frac{x_1 + x_2}{4} = \frac{1}{2}$$。
答案：A
5. 解析：
联立直线 $$y = 2 x$$ 与抛物线 $$y^{2} = 2 p x$$，得 $$4 x^{2} = 2 p x$$，解得 $$A(0, 0)$$，$$B\left(\frac{p}{2}, p\right)$$。
由 $$|AB| = \sqrt{5}$$，得 $$\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} + p^{2}} = \sqrt{5}$$，解得 $$p = 2$$。
准线方程为 $$x = -1$$，两点到准线的距离之和为 $$\frac{p}{2} + p = 3$$。
答案：C
6. 解析：
抛物线 $$C: y^{2} = 4 x$$，焦点 $$F(1, 0)$$，准线 $$l: x = -1$$。
设 $$P(a^{2}, 2 a)$$，则 $$Q(-1, 2 a)$$，$$M$$ 为 $$PQ$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{a^{2} - 1}{2}, 2 a\right)$$。
$$N$$ 为 $$PF$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{a^{2} + 1}{2}, a\right)$$。
直线 $$MN$$ 的斜率为 $$\frac{a - 2 a}{\frac{a^{2} + 1}{2} - \frac{a^{2} - 1}{2}} = -1$$，方程为 $$y - 2 a = -1\left(x - \frac{a^{2} - 1}{2}\right)$$。
与 $$x$$ 轴交于点 $$R\left(a^{2} + 2 a - 1, 0\right)$$。
由 $$\angle NRF = 60^{\circ}$$，利用斜率得 $$\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} = \frac{a}{\frac{a^{2} + 1}{2} - (a^{2} + 2 a - 1)}$$，解得 $$a = \sqrt{3}$$。
代入得 $$|NR| = \sqrt{\left(\frac{4}{2} - 4\right)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2$$。
答案：A
7. 解析：
抛物线 $$y^{2} = 4 x$$ 的准线为 $$x = -1$$，点 $$H(-1, 0)$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x + 1)$$，与抛物线联立得：
$$k^{2} x^{2} + (2 k^{2} - 4) x + k^{2} = 0$$，设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$。
点 $$C$$ 为 $$OA$$ 中点，坐标为 $$\left(\frac{x_1}{2}, \frac{y_1}{2}\right)$$，$$D$$ 为 $$OB$$ 延长点，坐标为 $$(2 x_2, 2 y_2)$$。
$$|OP| + |OQ| = \left|\frac{y_1}{2}\right| + |2 y_2|$$，利用抛物线性质化简，最小值为 $$2$$，此时 $$k = \pm 1$$，直线方程为 $$y = \pm (x + 1)$$。
答案：B
8. 解析：
抛物线 $$C: y^{2} = 2 p x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。
设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$，联立抛物线得：
$$k^{2} x^{2} - (k^{2} p + 2 p) x + \frac{k^{2} p^{2}}{4} = 0$$。
由 $$|AB| = 8$$，利用弦长公式得 $$8 = \frac{4 p}{k^{2}} \sqrt{1 + k^{2}}$$，解得 $$k^{2} = 1$$。
垂直平分线斜率为 $$-1$$，交 $$x$$ 轴于 $$E\left(\frac{3 p}{2}, 0\right)$$，故 $$|EF| = p = 2$$。
答案：A
9. 解析：
抛物线 $$C: y^{2} = 4 x$$ 的焦点 $$F(1, 0)$$，准线 $$l: x = -1$$，点 $$A(-1, 0)$$。
设点 $$M(x, y)$$ 在抛物线上，满足 $$\frac{|MA|}{|MF|} = \sqrt{2}$$，即 $$\sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2}} = \sqrt{2} \sqrt{(x - 1)^{2} + y^{2}}$$。
化简得 $$x^{2} + y^{2} - 6 x + 1 = 0$$，与 $$y^{2} = 4 x$$ 联立，解得 $$M(1, \pm 2)$$。
三角形 $$AMF$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$$。
答案：C
10. 解析：
抛物线 $$C: y^{2} = 4 x$$ 的焦点 $$F(1, 0)$$，直线 $$l: x - y + 1 = 0$$。
设切点为 $$(x_0, y_0)$$，切线方程为 $$y y_0 = 2(x + x_0)$$，与直线 $$l$$ 联立得点 $$P$$。
利用几何性质，外接圆半径最小值为 $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$，面积为 $$\frac{\pi}{2}$$。
答案：A