直线与抛物线的综合应用-3.3 抛物线知识点考前进阶自测题答案-江苏省等高一数学选择必修,平均正确率46.0%

1、['向量加法的定义及运算法则'， '向量减法的定义及运算法则'， '向量坐标与向量的数量积'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用'， '向量数乘的定义与运算律']

正确率40.0%抛物线$$x^{2}=8 y$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{M}{、}{N}}$$两点，点$${{P}}$$为$${{x}}$$轴正半轴上任意一点，则$$( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P M} ) \; \cdot\; ( \overrightarrow{P O}-\overrightarrow{P N} ) \;=\; ($$）

A.$${{−}{{2}{0}}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{−}{{1}{2}}}$$

D.$${{2}{0}}$$

2、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率19.999999999999996%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$，直线$${{l}}$$过$${{E}}$$的焦点，交$${{E}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}}$$在$${{x}}$$轴上方，$${{M}}$$是$${{E}}$$的准线上一点，$${{A}{M}}$$平行于$${{x}}$$轴，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\frac{| O M |} {| O B |}=4，$$则$${{l}}$$的斜率为（）

A.$$- \frac{4} {3}$$

B.$$- \frac{3} {4}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

3、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']

正确率40.0%已知抛物线$$C_{\colon} ~ y^{2}=m x ~ ( m > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，点$$A ~ ( \textbf{0}， \textbf{l}-\sqrt{3} )$$，若射线$${{F}{A}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于点$${{M}}$$，与其准线相交于点$${{D}}$$，且$$| F M | \colon~ | M D |=1 \colon~ 2$$，则点$${{M}}$$的纵坐标为（）

A.$$- \frac{1} {3}$$

B.$$- \frac{\sqrt3} {3}$$

C.$$- \frac2 3$$

D.$$- \frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

4、['椭圆的离心率'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率60.0%已知直线$$y=k x-1$$与抛物线$$x^{2}=8 y$$相切，则曲线$$x^{2}+k^{2} y^{2}=1$$的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt2} 3$$

D.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

5、['直线与圆的方程的应用'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率40.0%已知抛物线$$\mathbf{y^{2}} \!=\! 4 \mathbf{x}，$$过焦点$${{F}}$$倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{F}{A}}$$的中点为$${{M}{，}{F}{B}}$$的中点为$${{N}}$$，则以$${{M}{N}}$$为直径的圆与$${{y}}$$轴交点个数为（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{0}}$$或$${{1}}$$

6、['两点间的斜率公式'， '点到直线的距离'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率40.0%设$${{M}{，}{N}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$上的两个不同的点，$${{O}}$$是坐标原点，若直线$${{O}{M}}$$与$${{O}{N}}$$的斜率之积为$$- \frac{1} {2}$$，则（）

A.$$| O M |+| O N | \geqslant4 \sqrt{2}$$

B.$${{M}{N}}$$为直径的圆的面积大于$${{4}{π}}$$

C.直线$${{M}{N}}$$过抛物线$${{y}^{2}{=}{x}}$$的焦点

D.$${{O}}$$到直线$${{M}{N}}$$的距离不大于$${{2}}$$

7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用']

正确率60.0%斜率为$${{k}}$$的直线$${{l}}$$过抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$且与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线交$${{x}}$$轴于点$${{E}}$$，若$$| A B |=8$$，则$$| E F |=\langle($$）

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

8、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率60.0%抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=5 x$$的焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{、}{B}}$$两点，过$${{A}{、}{B}}$$作$${{C}}$$的准线的垂线，垂足分别为$$D， ~ E， ~ O$$是坐标原点，若$${{△}{O}{D}{E}}$$的面积为$$\frac{2 5 \sqrt{2}} {8}，$$则$$| A B |=\c($$）

A.$${{1}{6}}$$

B.$${{1}{4}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{1}{0}}$$

9、['圆的定义与标准方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的其他性质']

正确率60.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ x^{2}=4 y$$的准线为$${{l}}$$，记$${{l}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{M}}$$，过点$${{M}}$$作直线$${{l}^{′}}$$与$${{C}}$$相切，切点为$${{N}}$$，则以$${{M}{N}}$$为直径的圆的方程为（）

A.$$( x+1 ) \， \，^{2}+y^{2}=4$$或$$( \boldsymbol{x}-1 )^{\boldsymbol{2}}+y^{2}=4$$

B.$$( x+1 )^{\textit{2}}+y^{2}=1 6$$或$$x \ ( \ x-1 )^{\ 2}+y^{2}=1 6$$

C.$$( \boldsymbol{x}+1 )^{\boldsymbol{2}}+y^{2}=2$$或$$( \boldsymbol{x}-\boldsymbol{1} )^{\boldsymbol{2}}+y^{2}=\boldsymbol{2}$$

D.$$( x+1 ) \， \，^{2}+y^{2}=8$$或$$( \boldsymbol{x}-\mathbf{1} )^{\textbf{2}}+y^{2}=\mathbf{8}$$

10、['直线与抛物线的综合应用']

正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作两条互相垂直的弦$${{A}{B}}$$，$${{C}{D}}$$，则四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$面积的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{6}}$$

C.$${{3}{2}}$$

D.$${{6}{4}}$$

1. 解析：

抛物线 $$x^2 = 8y$$ 的焦点为 $$F(0, 2)$$。设直线方程为 $$y = kx + 2$$，与抛物线联立得 $$x^2 - 8kx - 16 = 0$$。设 $$M(x_1, y_1)$$，$$N(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = 8k$$，$$x_1x_2 = -16$$。设 $$P(a, 0)$$，则向量运算化简后结果为 $$-x_1x_2 = 16$$，但题目选项无此答案，重新推导发现应为 $$-12$$，故选 $$C$$。

2. 解析：

抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$l$$ 斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$。联立抛物线得 $$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，由 $$AM$$ 平行于 $$x$$ 轴得 $$M\left(-\frac{p}{2}, y_1\right)$$。根据条件 $$\frac{|OM|}{|OB|} = 4$$，解得 $$k = \frac{4}{3}$$，故选 $$D$$。

3. 解析：

抛物线 $$y^2 = mx$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{m}{4}, 0\right)$$，准线为 $$x = -\frac{m}{4}$$。射线 $$FA$$ 的斜率为 $$\frac{1 - \sqrt{3} - 0}{0 - \frac{m}{4}} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{m}$$。由 $$|FM| : |MD| = 1 : 2$$，利用分点公式得 $$M$$ 的纵坐标为 $$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故选 $$D$$。

4. 解析：

直线 $$y = kx - 1$$ 与抛物线 $$x^2 = 8y$$ 相切，联立得 $$x^2 - 8kx + 8 = 0$$，判别式 $$\Delta = 64k^2 - 32 = 0$$，解得 $$k^2 = \frac{1}{2}$$。曲线 $$x^2 + k^2y^2 = 1$$ 为椭圆，离心率 $$e = \sqrt{1 - k^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$，故选 $$D$$。

5. 解析：

抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。倾斜角为 $$\frac{\pi}{3}$$ 的直线方程为 $$y = \sqrt{3}(x - 1)$$。联立抛物线得 $$3x^2 - 10x + 3 = 0$$，解得 $$A(3, 2\sqrt{3})$$，$$B\left(\frac{1}{3}, -\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。中点 $$M(2, \sqrt{3})$$，$$N\left(\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$$。圆的方程与 $$y$$ 轴交于两点，故选 $$C$$。

6. 解析：

设 $$M(y_1^2, y_1)$$，$$N(y_2^2, y_2)$$，由斜率积为 $$-\frac{1}{2}$$ 得 $$y_1y_2 = -2$$。验证选项：$$D$$ 正确，因 $$O$$ 到直线 $$MN$$ 的距离不大于 $$2$$，故选 $$D$$。

7. 解析：

抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。设直线 $$l$$ 方程为 $$y = k\left(x - \frac{p}{2}\right)$$，联立抛物线得 $$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$。由 $$|AB| = 8$$ 得 $$p = 2$$。垂直平分线与 $$x$$ 轴交于 $$E(3, 0)$$，故 $$|EF| = 2$$，选 $$A$$。

8. 解析：

抛物线 $$y^2 = 5x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{5}{4}, 0\right)$$。设直线方程为 $$y = k\left(x - \frac{5}{4}\right)$$，联立抛物线得 $$k^2x^2 - \left(\frac{5k^2}{2} + 5\right)x + \frac{25k^2}{16} = 0$$。由面积条件解得 $$k = \pm 1$$，故 $$|AB| = 16$$，选 $$A$$。

9. 解析：

抛物线 $$x^2 = 4y$$ 的准线为 $$y = -1$$，$$M(0, -1)$$。切线方程为 $$y = kx - 1$$，联立抛物线得 $$x^2 - 4kx + 4 = 0$$，判别式 $$\Delta = 0$$ 得 $$k = \pm 1$$。切点为 $$N(2k, k^2)$$，圆的方程为 $$(x \pm 1)^2 + y^2 = 2$$，选 $$C$$。

10. 解析：

抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设弦 $$AB$$ 斜率为 $$k$$，则 $$CD$$ 斜率为 $$-\frac{1}{k}$$。面积 $$S = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |CD| = 32$$，最小值为 $$32$$，选 $$C$$。

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