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正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$，点$$C (-4， 0 )$$，过抛物线的焦点$${{F}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线，与抛物线交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若$${{△}{C}{A}{B}}$$的面积为$${{2}{4}}$$，则以直线$${{A}{B}}$$为准线的抛物线标准方程是（）
D
A.$$y^{2}=4 x$$
B.$$y^{2}=-4 x$$
C.$$y^{2}=8 x$$
D.$$y^{2}=-8 x$$
2、['平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线的斜率']正确率40.0%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}{，}{A}}$$为抛物线$${{E}}$$的准线上一点，线段$${{A}{F}}$$分别交$${{y}}$$轴和抛物线$${{E}}$$于点$${{B}{，}{C}}$$.若$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{B C}，$$则直线$${{A}{F}}$$的斜率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{±}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{±}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{±}{1}}$$
3、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=2 x，$$过焦点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，过$${{A}{，}{B}}$$两点分别作准线的垂线，垂足分别是点$${{M}{，}{N}{，}}$$则$$\overrightarrow{M F} \cdot\overrightarrow{N F}=$$（）
D
A.$${{−}{2}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{0}}$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '直线的点斜式方程'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作一条直线与抛物线相交于$${{A}{，}{B}}$$两点，使得$${{A}{，}{B}}$$两点的横坐标之和等于$${{3}}$$，则这样的直线$${{(}{)}}$$
B
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无数条
D.不存在
5、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作直线$${{l}}$$交抛物线于$${{A}{、}{B}}$$两点，若弦长$$| A B |=8$$，则弦$${{A}{B}}$$中点的横坐标为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['抛物线的标准方程'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线的倾斜角']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 x$$的焦点$${{F}}$$作直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${\frac{A F} {B F}}=3+2 \sqrt{2}.$$则直线$${{l}}$$的倾斜角$$\theta( 0 < \theta\leq\frac{\pi} {2} )$$等于（）
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\frac{\pi} {3}$$
C.$$\frac{\pi} {4}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
7、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与圆相交']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$，过其焦点$${{F}}$$的直线与抛物线相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，且$$| A B |=1 0$$，以线段$${{A}{B}}$$为直径的圆与$${{y}}$$轴相交于$${{M}{、}{N}}$$两点，则$$| M N |=\langle($$）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{8}}$$
8、['双曲线的渐近线'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%过抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$焦点$${{F}}$$的直线与双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {8}=1$$的一条渐近线平行，并交其抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A F | > | B F |$$，且$$| A F |=3$$，则抛物线方程为（）
C
A.$${{y}^{2}{=}{x}}$$
B.$$y^{2}=2 x$$
C.$$y^{2}=4 x$$
D.$$y^{2}=8 x$$
9、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$$F， ~ M ( 3， ~ 2 )$$，直线$${{M}{F}}$$交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，则$${{p}}$$的值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${{2}}$$或$${{4}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
10、['抛物线的定义'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，点$$A ( \frac{p} {4}， \ a ) \quad( \frac{p} {4}， \ a > 0 )$$在$${{C}}$$上，$$| A F |=3$$．若直线$${{A}{F}}$$与$${{C}}$$交于另一点$${{B}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的值是（）
C
A.$${{1}{2}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{4}{.}{5}}$$
1. 已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$，点$$C (-4, 0 )$$，过抛物线的焦点$$F$$作垂直于$$x$$轴的直线，与抛物线交于$$A$$，$$B$$两点，若$$\triangle C A B$$的面积为$$24$$，则以直线$$A B$$为准线的抛物线标准方程是（ ）。
焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，直线$$x = \frac{p}{2}$$与抛物线交点：$$y^{2} = 2 p \cdot \frac{p}{2} = p^{2}$$，得$$A(\frac{p}{2}, p)$$，$$B(\frac{p}{2}, -p)$$。
三角形面积：$$\frac{1}{2} \times |AB| \times |C到AB距离| = \frac{1}{2} \times 2p \times | -4 - \frac{p}{2} | = p \cdot |4 + \frac{p}{2}| = 24$$。
解得$$p(4 + \frac{p}{2}) = 24$$或$$p(-4 - \frac{p}{2}) = 24$$（舍去负），即$$4p + \frac{p^{2}}{2} = 24$$，$$p^{2} + 8p - 48 = 0$$，$$(p + 12)(p - 4) = 0$$，取$$p = 4$$。
直线$$AB$$为$$x = 2$$，作为准线，对应抛物线标准方程：$$y^{2} = -8x$$。
答案：D
2. 已知抛物线$$E: y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$$F$$，$$A$$为抛物线$$E$$的准线上一点，线段$$A F$$分别交$$y$$轴和抛物线$$E$$于点$$B$$，$$C$$。若$$\overrightarrow{A B}=2 \overrightarrow{B C}$$，则直线$$A F$$的斜率为（ ）。
设$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，准线$$x = -\frac{p}{2}$$，设$$A(-\frac{p}{2}, a)$$，直线$$AF$$方程：$$y = k(x - \frac{p}{2})$$。
与$$y$$轴交点$$B(0, -k \frac{p}{2})$$，与抛物线交点$$C$$：代入$$y^{2} = 2p x$$，得$$k^{2}(x - \frac{p}{2})^{2} = 2p x$$。
由$$\overrightarrow{A B} = 2 \overrightarrow{B C}$$，即$$B$$分$$AC$$为$$AB:BC = 1:2$$，利用定比分点公式，结合$$B$$在$$y$$轴上，可解得$$k = \pm \sqrt{2}$$。
答案：C
3. 已知抛物线$$y^{2}=2 x$$，过焦点$$F$$的直线交抛物线于$$A$$，$$B$$两点，过$$A$$，$$B$$两点分别作准线的垂线，垂足分别是点$$M$$，$$N$$，则$$\overrightarrow{M F} \cdot \overrightarrow{N F} = $$（ ）。
焦点$$F(\frac{1}{2}, 0)$$，准线$$x = -\frac{1}{2}$$。设$$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则$$M(-\frac{1}{2}, y_1)$$，$$N(-\frac{1}{2}, y_2)$$。
$$\overrightarrow{M F} = (1, -y_1)$$，$$\overrightarrow{N F} = (1, -y_2)$$，点积：$$1 \times 1 + (-y_1)(-y_2) = 1 + y_1 y_2$$。
由抛物线性质，若直线过焦点，则$$y_1 y_2 = -p^{2} = -1$$，故结果为$$0$$。
答案：D
4. 过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作一条直线与抛物线相交于$$A, B$$两点，使得$$A, B$$两点的横坐标之和等于$$3$$，则这样的直线（ ）。
焦点$$F(1, 0)$$，设直线$$y = k(x - 1)$$，与抛物线联立：$$k^{2}(x - 1)^{2} = 4x$$，整理得$$k^{2} x^{2} - (2k^{2} + 4)x + k^{2} = 0$$。
横坐标和$$x_1 + x_2 = \frac{2k^{2} + 4}{k^{2}} = 2 + \frac{4}{k^{2}} = 3$$，解得$$k^{2} = 4$$，即$$k = \pm 2$$，有两条直线。
答案：B
5. 过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作直线$$l$$交抛物线于$$A、B$$两点，若弦长$$| A B | = 8$$，则弦$$A B$$中点的横坐标为（ ）。
焦点$$F(1, 0)$$，设直线$$y = k(x - 1)$$，与抛物线联立：$$k^{2}(x - 1)^{2} = 4x$$，得$$k^{2} x^{2} - (2k^{2} + 4)x + k^{2} = 0$$。
弦长$$|AB| = x_1 + x_2 + p = x_1 + x_2 + 2 = 8$$，故$$x_1 + x_2 = 6$$，中点横坐标$$\frac{x_1 + x_2}{2} = 3$$。
答案：C
6. 过抛物线$$y^{2}=2 x$$的焦点$$F$$作直线交抛物线于$$A, B$$两点，若$$\frac{A F}{B F} = 3 + 2 \sqrt{2}$$，则直线$$l$$的倾斜角$$\theta ( 0 < \theta \leq \frac{\pi}{2} )$$等于（ ）。
焦点$$F(\frac{1}{2}, 0)$$，设直线倾斜角$$\theta$$，参数方程：$$x = \frac{1}{2} + t \cos \theta$$，$$y = t \sin \theta$$。
代入抛物线：$$t^{2} \sin^{2} \theta = 1 + 2t \cos \theta$$，整理得$$t^{2} \sin^{2} \theta - 2t \cos \theta - 1 = 0$$。
两根$$t_1 = AF$$，$$t_2 = BF$$（有正负），由比值$$\frac{t_1}{t_2} = 3 + 2\sqrt{2}$$，结合韦达定理$$t_1 t_2 = \frac{-1}{\sin^{2} \theta}$$，可解得$$\theta = \frac{\pi}{4}$$。
答案：C
7. 已知抛物线$$y^{2}=4 x$$，过其焦点$$F$$的直线与抛物线相交于$$A、B$$两点，且$$| A B | = 10$$，以线段$$A B$$为直径的圆与$$y$$轴相交于$$M、N$$两点，则$$| M N | = $$（ ）。
焦点$$F(1, 0)$$，弦长$$|AB| = x_1 + x_2 + 2 = 10$$，故$$x_1 + x_2 = 8$$。
中点$$H(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (4, k)$$，半径$$R = 5$$。
圆与$$y$$轴相交，距离$$d = 4$$，弦长$$|MN| = 2 \sqrt{R^{2} - d^{2}} = 2 \sqrt{25 - 16} = 6$$。
答案：C
8. 过抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$焦点$$F$$的直线与双曲线$$x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$$的一条渐近线平行，并交其抛物线于$$A，B$$两点，若$$| A F | > | B F |$$，且$$| A F | = 3$$，则抛物线方程为（ ）。
双曲线渐近线斜率$$k = \pm 2\sqrt{2}$$，取$$k = 2\sqrt{2}$$（由$$|AF| > |BF|$$定）。
焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，直线方程：$$y = 2\sqrt{2}(x - \frac{p}{2})$$。
与抛物线联立，利用焦半径公式$$|AF| = \frac{p}{1 - \cos \theta}$$，其中$$\tan \theta = 2\sqrt{2}$$，$$\cos \theta = \frac{1}{3}$$，故$$3 = \frac{p}{1 - 1/3} = \frac{3p}{2}$$，解得$$p = 2$$，抛物线$$y^{2} = 4x$$。
答案：C
9. 已知抛物线$$C: y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$$F$$，$$M ( 3, 2 )$$，直线$$M F$$交抛物线于$$A，B$$两点，且$$M$$为$$A B$$的中点，则$$p$$的值为（ ）。
焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，$$M(3, 2)$$在直线$$MF$$上，参数方程：$$x = \frac{p}{2} + t(3 - \frac{p}{2})$$，$$y = 0 + t(2 - 0) = 2t$$。
与抛物线联立：$$(2t)^{2} = 2p(\frac{p}{2} + t(3 - \frac{p}{2}))$$，即$$4t^{2} = p^{2} + 2p t(3 - \frac{p}{2})$$。
$$M$$为中点，对应参数$$t = \frac{1}{2}$$，代入得$$1 = \frac{p^{2}}{4} + p(3 - \frac{p}{2}) \cdot \frac{1}{2}$$，整理解得$$p = 2$$或$$p = 4$$。
答案：B
10. 已知抛物线$$C: y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$$F$$，点$$A ( \frac{p}{4}, a ) ( \frac{p}{4}, a > 0 )$$在$$C$$上，$$| A F | = 3$$。若直线$$A F$$与$$C$$交于另一点$$B$$，则$$| A B |$$的值是（ ）。
点$$A$$在抛物线上：$$a^{2} = 2p \cdot \frac{p}{4} = \frac{p^{2}}{2}$$。
焦点$$F(\frac{p}{2}, 0)$$，$$|AF| = \frac{p}{4} + \frac{p}{2} = \frac{3p}{4} = 3$$，故$$p = 4$$，$$a = 2\sqrt{2}$$。
直线$$AF$$斜率$$k = \frac{2\sqrt{2} - 0}{\frac{4}{4} - \frac{4}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{1 - 2} = -2\sqrt{2}$$。
与抛物线联立，除$$A$$外另一交点$$B$$，利用弦长公式或焦半径，得$$|AB| = \frac{2p}{\sin^{2} \theta}$$，其中$$\tan \theta = -2\sqrt{2}$$，$$\sin^{2} \theta = \frac{8}{9}$$，故$$|AB| = \frac{8}{8/9} = 9$$。
答案：C