抛物线的简单几何性质-3.3 抛物线知识点回顾基础单选题自测题答案-山西省等高一数学选择必修,平均正确率64.0%

1、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%已知斜率为$$k ( k > 0 )$$的直线过抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$且与抛物线$${{C}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，过$${{A}}$$，$${{B}}$$分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为$${{A}_{1}}$$，$${{B}_{1}}$$，若$${{△}{A}{B}{{B}_{1}}}$$与$${{△}{A}{B}{{A}_{1}}}$$的面积之比为$${{3}}$$，则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

2、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过$${{F}}$$的直线交$${{C}}$$于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，点$${{A}}$$，$${{B}}$$在$${{C}}$$的准线$${{l}}$$上的射影分别为点$${{E}}$$，$${{G}}$$，若$$\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{F B}$$，则四边形$${{A}{B}{G}{E}}$$的面积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {9}$$

B.$$\frac{2 7 \sqrt{2}} {4}$$

C.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {9}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

3、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%设点$${{P}}$$是抛物线$$C_{1} \colon~ x^{2}=4 y$$上的动点，点$${{M}}$$是圆$$C_{2} \colon~ ( x-5 )^{2}+( y+4 )^{2}=4$$上的动点，$${{d}}$$是点$${{P}}$$到直线$${{y}{=}{−}{2}}$$的距离，则$$d+| P M |$$的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{2}}$$

B.$${{5}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{5}{\sqrt {2}}{−}{1}}$$

D.$${{5}{\sqrt {2}}{+}{1}}$$

4、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%设抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过第一象限内的抛物线上一点$${{A}}$$作$${{l}}$$的垂线，垂足为$${{B}}$$，设$$C ( \frac{5 p} {2}， 0 )$$，且$${{△}{A}{C}{F}}$$为等边三角形，$${{△}{A}{B}{C}}$$的面积为$${\sqrt {3}}$$，则$${{p}{=}{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}}$$

5、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，$${{C}}$$上一点$$M ( x_{0}， x_{0} ) ( x_{0} \neq0 )$$满足$$| M F |=5$$，则$${{p}{=}{(}{)}}$$

A.$${{5}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}}$$

6、['抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，点$$A ( 3， 1 )$$在$${{C}}$$的内部，若点$${{B}}$$是抛物线$${{C}}$$上的一个动点，且$${{△}{A}{B}{F}}$$周长的最小值为$${{4}{+}{\sqrt {5}}}$$，则$${{p}{=}{(}{)}}$$

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

7、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知$${{P}}$$为抛物线$$y=\frac{1} {4} x^{2}$$上的动点，点$${{P}}$$在$${{x}}$$轴上的射影为$${{M}}$$，点$${{A}}$$的坐标是$$( 2， 0 )$$，则$$| P A |+| P M |$$的最小值是$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {5}}$$

C.$$\sqrt{5}-1$$

D.$$\sqrt3-1$$

8、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%设点$${{A}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$上一点$$B ( 1， 0 )$$，且$${{A}{B}{=}{1}}$$，则$${{A}}$$的横坐标的值$${{(}{)}}$$

A.$${{−}{2}}$$

B.$${{0}}$$

C.$${{−}{2}}$$或$${{0}}$$

D.$${{−}{2}}$$或$${{2}}$$

9、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知点$${{P}}$$在直线$$y=x-1$$上，点$${{Q}}$$在曲线$$x^{2}=2 y$$上，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {8}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

10、['抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%设拋物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点是$${{F}}$$，直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$相交于$${{P}}$$，$${{Q}}$$两点，且$$\angle P F Q=\frac{2 \pi} {3}$$，线段$${{P}{Q}}$$的中点$${{A}}$$到拋物线$${{C}}$$的准线的距离为$${{d}}$$，则$$( \frac{| P Q |} {d} )^{2}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$$\frac{\sqrt{3}} {3}$$

C.$${{3}}$$

D.$$\frac{1} {3}$$

1. 解析：

抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线方程为 $$y = k(x - 1)$$，与抛物线联立得： $$k^2(x - 1)^2 = 4x \Rightarrow k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。准线为 $$x = -1$$，故 $$A_1(-1, y_1)$$，$$B_1(-1, y_2)$$。面积比 $$\frac{S_{\triangle ABB_1}}{S_{\triangle ABA_1}} = \frac{|BB_1|}{|AA_1|} = \frac{x_2 + 1}{x_1 + 1} = 3$$。解得 $$x_2 = 3x_1 + 2$$，结合 $$x_1x_2 = 1$$，得 $$x_1 = \frac{1}{3}$$，$$x_2 = 3$$。代入 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2}$$，解得 $$k = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$。答案为 C。

2. 解析：

由题意，$$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{FB}$$，即 $$B$$ 为 $$AF$$ 的靠近 $$F$$ 的三等分点。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_2 = \frac{2x_1 + 1}{3}$$，$$y_2 = \frac{2y_1}{3}$$。代入抛物线方程得 $$\left(\frac{2y_1}{3}\right)^2 = 4 \cdot \frac{2x_1 + 1}{3}$$，结合 $$y_1^2 = 4x_1$$，解得 $$x_1 = 2$$，$$y_1 = \pm 2\sqrt{2}$$。故 $$A(2, 2\sqrt{2})$$，$$B\left(\frac{5}{3}, \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$，$$E(-1, 2\sqrt{2})$$，$$G(-1, \frac{4\sqrt{2}}{3})$$。四边形面积 $$S = \frac{1}{2} \cdot (AE + BG) \cdot AB = \frac{16\sqrt{3}}{9}$$。答案为 C。

3. 解析：

抛物线 $$x^2 = 4y$$ 的准线为 $$y = -1$$，点 $$P$$ 到直线 $$y = -2$$ 的距离 $$d = y_P + 2$$。圆 $$(x-5)^2 + (y+4)^2 = 4$$ 的圆心为 $$(5, -4)$$，半径 $$r = 2$$。 $$d + |PM|$$ 的最小值为圆心到准线的距离减去半径，即 $$|-4 + 2| + 5 - 2 = 5\sqrt{2} - 2$$。答案为 A。

4. 解析：

抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线 $$x = -\frac{p}{2}$$。设 $$A(x, y)$$，则 $$B\left(-\frac{p}{2}, y\right)$$。由 $$\triangle ACF$$ 为等边三角形，得 $$AC = AF = CF$$，解得 $$A\left(\frac{3p}{2}, \sqrt{3}p\right)$$。 $$\triangle ABC$$ 的面积 $$\frac{1}{2} \cdot 3p \cdot \sqrt{3}p = \sqrt{3}$$，解得 $$p = 1$$。答案为 A。

5. 解析：

点 $$M(x_0, x_0)$$ 在抛物线上，代入得 $$x_0^2 = 2px_0 \Rightarrow x_0 = 2p$$。焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，距离 $$|MF| = \sqrt{\left(2p - \frac{p}{2}\right)^2 + (2p)^2} = 5$$，解得 $$p = 2$$。答案为 D。

6. 解析：

抛物线 $$y^2 = 2px$$ 的焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。点 $$A(3, 1)$$ 在内部，满足 $$1^2 < 2p \cdot 3 \Rightarrow p > \frac{1}{6}$$。周长最小值为 $$|AF| + |BF| + |AB|$$，当 $$B$$ 为 $$A$$ 关于抛物线的反射点时最小。计算得 $$p = 2$$。答案为 B。

7. 解析：

抛物线 $$y = \frac{1}{4}x^2$$ 的焦点为 $$F(0, 1)$$，准线 $$y = -1$$。点 $$P$$ 到准线的距离等于 $$|PF|$$，故 $$|PM| + |PA| = |PF| + |PA| - 1$$。最小值为 $$|AF| - 1 = \sqrt{(2-0)^2 + (0-1)^2} - 1 = \sqrt{5} - 1$$。答案为 C。

8. 解析：

设 $$A(x, y)$$，满足 $$y^2 = 4x$$ 且 $$(x - 1)^2 + y^2 = 1$$。联立解得 $$x = 0$$ 或 $$x = -2$$。答案为 C。

9. 解析：

设 $$Q(x, \frac{x^2}{2})$$，距离 $$|PQ| = \sqrt{(x - x)^2 + \left(\frac{x^2}{2} - (x - 1)\right)^2} = \left|\frac{x^2}{2} - x + 1\right|$$。最小值为 $$\frac{1}{8}$$。答案为 B。

10. 解析：

设 $$P(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，焦点 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。由余弦定理得 $$|PQ|^2 = |PF|^2 + |QF|^2 - 2|PF||QF|\cos\frac{2\pi}{3}$$。利用抛物线性质化简得 $$\left(\frac{|PQ|}{d}\right)^2 \geq 3$$，当且仅当 $$|PF| = |QF|$$ 时取等。答案为 C。

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