抛物线上点坐标的范围-抛物线知识点月考进阶自测题解析-山西省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['向量的模'， '向量坐标与向量的数量积'， '抛物线上点坐标的范围'， '数量积的运算律'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线上向量的运算与坐标的关系']

正确率60.0%平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，$${{F}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点，点$${{A}{、}{B}}$$在抛物线$${{C}}$$上，满足$$\begin{array} {c c} {\overrightarrow{\mathrm{O A}}. \overrightarrow{\mathrm{O B}}=4，} & {\left| \overrightarrow{\mathrm{F A}} \right| \mathrm{-} | \overrightarrow{\mathrm{F B}} |=4 \sqrt{3}，} \\ \end{array}$$则$$\overrightarrow{\mathrm{F A} \cdot\mathrm{F B}}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${{-}{{1}{1}}}$$

B.$${{-}{1}{2}}$$

C.$${{-}{1}{3}}$$

D.$${{-}{1}{4}}$$

2、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']

正确率80.0%下列关于抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的图象描述正确的是$${{(}{)}}$$

A.开口向右，焦点为$${{(}{1}{，}{0}{)}}$$

B.开口向上，焦点为$$( 0， \frac{1} {1 6} )$$

C.开口向上，焦点为$${{(}{0}{，}{1}{)}}$$

D.开口向右，焦点为$$( {\frac{1} {1 6}}， 0 )$$

4、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '抛物线的定义']

正确率60.0%已知抛物线$${{x}^{2}{=}{a}{y}{（}{a}{≠}{0}{）}}$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，该抛物线上的点$${{M}}$$到$${{x}}$$轴的距离为$${{5}}$$，且$${{|}{M}{F}{|}{=}{7}}$$，则焦点$${{F}}$$到准线$${{l}}$$的距离是（）

A.$${{2}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{5}}$$

5、['抛物线上点坐标的范围'， '直线与抛物线的交点个数']

正确率60.0%过点$${{(}{2}{，}{4}{)}}$$作直线$${{l}}$$，与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$只有一个公共点，这样的直线$${{l}}$$有（）

A.$${{1}}$$条

B.$${{2}}$$条

C.$${{3}}$$条

D.$${{4}}$$条

6、['双曲线的渐近线'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率40.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$焦点$${{F}}$$的直线与双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {8}=1$$的一条渐近线平行，并交其抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{F}{|}{>}{|}{B}{F}{|}}$$，且$${{|}{A}{F}{|}{=}{3}}$$，则抛物线方程为（）

A.$${{y}^{2}{=}{x}}$$

B.$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$

C.$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$

D.$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$

7、['抛物线上点坐标的范围'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义']

正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的弦$${{A}{B}}$$的中点的横坐标为$${{3}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的最大值为（）

A.$${{4}}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{0}}$$

8、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{x}^{2}}{=}{m}{y}}$$的准线$${{l}}$$与坐标轴的交点恰好在直线$${{2}{x}{+}{3}{y}{−}{6}{=}{0}}$$上，则$${{m}{=}}$$（）

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$${{−}{8}}$$

D.$${{−}{{1}{2}}}$$

9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线']

正确率40.0%已知$${{P}}$$是抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$上的一个动点，则$${{P}}$$到$${（{0}{，}{2}{）}}$$的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${\sqrt {6}}$$

10、['点到直线的距离'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的标准方程']

正确率40.0%已知直线$${{l}{：}{2}{x}{+}{y}{+}{4}{=}{0}}$$，点$${{P}}$$为抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{x}}$$上一点，则点$${{P}}$$到直线$${{l}}$$的距离最小值为（）

A.$${\sqrt {5}}$$

B.$$\frac{3 \sqrt{5}} {4 0}$$

C.$${{5}}$$

D.$$\frac{3 1} {4 0}$$

1. 解析：

抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设点 $$A(x_1,y_1)$$ 和 $$B(x_2,y_2)$$ 在抛物线上，满足 $$y_1^2=4x_1$$ 和 $$y_2^2=4x_2$$。

由题意，$$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = x_1x_2 + y_1y_2 = 4$$。

又因为 $$|FA| - |FB| = 4\sqrt{3}$$，而 $$|FA| = x_1 + 1$$，$$|FB| = x_2 + 1$$，故 $$(x_1 + 1) - (x_2 + 1) = x_1 - x_2 = 4\sqrt{3}$$。

联立以上条件，解得 $$x_1 = 4 + 2\sqrt{3}$$，$$x_2 = 4 - 2\sqrt{3}$$，$$y_1y_2 = -8$$。

计算 $$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = (x_1 - 1)(x_2 - 1) + y_1y_2 = (3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3}) + (-8) = 9 - 12 - 8 = -11$$。

答案为 $$A$$。

2. 解析：

抛物线 $$y^2=4x$$ 是开口向右的标准抛物线，其焦点为 $$(1,0)$$。

答案为 $$A$$。

4. 解析：

抛物线 $$x^2=ay$$ 的焦点为 $$F(0, \frac{a}{4})$$，准线为 $$y = -\frac{a}{4}$$。

点 $$M$$ 在抛物线上，设 $$M(x,5)$$，则 $$x^2 = 5a$$。

由 $$|MF| = 7$$，得 $$\sqrt{x^2 + (5 - \frac{a}{4})^2} = 7$$，代入 $$x^2 = 5a$$ 解得 $$a = 4$$ 或 $$a = -20$$。

焦点到准线的距离为 $$\frac{|a|}{2} = 2$$ 或 $$10$$，但 $$a = 4$$ 符合题意，距离为 $$2$$。

答案为 $$A$$。

5. 解析：

点 $$(2,4)$$ 在抛物线 $$y^2=8x$$ 上。过该点的直线可以是：

1. 切线：求导得斜率为 $$1$$，方程为 $$y = x + 2$$。

2. 平行于抛物线轴的直线：$$x = 2$$。

3. 其他直线：但只有上述两条满足与抛物线仅有一个公共点。

答案为 $$B$$。

6. 解析：

双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm 2\sqrt{2}x$$。

过抛物线 $$y^2=2px$$ 焦点 $$F(\frac{p}{2},0)$$ 的直线斜率为 $$2\sqrt{2}$$，方程为 $$y = 2\sqrt{2}(x - \frac{p}{2})$$。

与抛物线联立得 $$8(x - \frac{p}{2})^2 = 2px$$，解得 $$x_A = \frac{9p}{8}$$，$$x_B = \frac{p}{8}$$。

由 $$|AF| = 3$$，得 $$\frac{9p}{8} + \frac{p}{2} = 3$$，解得 $$p = 2$$，抛物线方程为 $$y^2=4x$$。

答案为 $$C$$。

7. 解析：

设弦 $$AB$$ 的中点为 $$M(3,y_0)$$，则 $$A(3 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$$，$$B(3 - \Delta x, y_0 - \Delta y)$$。

代入抛物线方程得 $$(y_0 + \Delta y)^2 = 4(3 + \Delta x)$$，$$(y_0 - \Delta y)^2 = 4(3 - \Delta x)$$。

联立解得 $$y_0^2 + \Delta y^2 = 12$$，$$y_0 \Delta y = 2 \Delta x$$。

弦长 $$|AB| = \sqrt{(2\Delta x)^2 + (2\Delta y)^2} = 2\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$$。

由 $$y_0^2 \leq 12$$，当 $$y_0 = 0$$ 时，$$|AB| = 8$$ 为最大值。

答案为 $$C$$。

8. 解析：

抛物线 $$x^2 = my$$ 的准线为 $$y = -\frac{m}{4}$$，与 $$y$$ 轴交点为 $$(0, -\frac{m}{4})$$。

代入直线 $$2x + 3y - 6 = 0$$ 得 $$3(-\frac{m}{4}) - 6 = 0$$，解得 $$m = -8$$。

答案为 $$C$$。

9. 解析：

点 $$P$$ 在抛物线 $$y^2=4x$$ 上，设 $$P(x,y)$$，准线为 $$x = -1$$。

距离之和为 $$\sqrt{x^2 + (y - 2)^2} + (x + 1)$$。

由抛物线定义，$$x + 1$$ 为 $$P$$ 到准线距离，最小值为焦点 $$(1,0)$$ 到点 $$(0,2)$$ 的距离 $$\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$。

答案为 $$C$$。

10. 解析：

设点 $$P(y^2, y)$$ 在抛物线 $$y^2 = x$$ 上，到直线 $$2x + y + 4 = 0$$ 的距离为 $$d = \frac{|2y^2 + y + 4|}{\sqrt{5}}$$。

求 $$d$$ 的最小值，即求 $$2y^2 + y + 4$$ 的最小值。二次函数最小值为 $$\frac{31}{8}$$，故 $$d_{\text{min}} = \frac{31}{8\sqrt{5}} = \frac{31\sqrt{5}}{40}$$。

答案为 $$D$$。

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