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正确率60.0%如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有$${{0}{{.}{5}}{m}{，}}$$已知行车道总宽度$$| A B |=6 \mathrm{m}，$$那么车辆通过隧道的限制高度为（）
C
A.$${{2}{{.}{2}{5}}{m}}$$
B.$${{2}{{.}{5}}{m}}$$
C.$${{3}{{.}{2}{5}}{m}}$$
D.$${{3}{{.}{5}}{m}}$$
2、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的简单几何性质'， '抛物线的定义及其标准方程']正确率80.0%下列关于抛物线$$y^{2}=4 x$$的图象描述正确的是$${{(}{)}}$$
A.开口向右，焦点为$$( 1， 0 )$$
B.开口向上，焦点为$$( 0， \frac{1} {1 6} )$$
C.开口向上，焦点为$$( 0， 1 )$$
D.开口向右，焦点为$$( {\frac{1} {1 6}}， 0 )$$
3、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知抛物线的方程为$$y^{2}=4 x$$，则此抛物线的焦点坐标为（）
C
A.$$( \ -1， \ 0 )$$
B.$$( \ 0， \ -1 )$$
C.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$
D.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
4、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知等边三角形的一个顶点坐标是$$( \mathrm{\frac{\sqrt{3}} {4}}， \mathrm{\ 0} )$$，另外两个顶点在抛物线$$y^{2}=\sqrt{3} x$$上，则这个等边三角形的边长为（）
C
A.$${{3}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}{±}{3}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{3}}$$
5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率40.0%已知点
，抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，射线$${{F}{A}}$$与抛物线$${{C}}$$交于点$${{M}}$$，与抛物线准线相交于$${{N}}$$，若$$| M N |=\sqrt{5} | F M |$$，则$${{p}}$$的值为（）
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
6、['直线与圆的方程的应用'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知抛物线$$C_{1} \colon\; y^{2}=4 x$$和圆$$C_{2} \colon( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$，直线$$y=k ~ ( \ x-1 )$$与$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$依次相交于$$A ~ ( x_{1}， ~ y_{1} ) ~， ~ B ~ ( x_{2}， ~ y_{2} ) ~， ~ C ~ ( x_{3}， ~ y_{3} ) ~， ~ D ~ ( x_{4}， ~ y_{4} )$$四点（其中$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} )$$，则$$| A B | \cdot| C D |$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{k^{2}} {4}$$
D.$${{k}^{2}}$$
7、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率40.0%设$$P ~ ( \emph{x}_{1}， \emph{y}_{1} ) ~， \emph{Q} ~ ( \emph{x}_{2}， \emph{y}_{2} )$$分别为曲线$${{y}{=}{2}{\sqrt {x}}}$$上不同的两点，$$F \ ( \textbf{1}， \ 0 ) \， \ x_{2}=3 x_{1}+2$$，则$$\frac{| Q F |} {| P F |}=\langle$$）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}}$$
8、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']正确率60.0%己知抛物线$${{y}{=}{4}{{x}^{2}}}$$上一点$${{P}}$$到焦点的距离为$${{1}}$$，则点$${{P}}$$的纵坐标为（）
C
A.$$\frac{3} {4}$$
B.$$\frac{7} {8}$$
C.$$\frac{1 5} {1 6}$$
D.$$\frac{1 7} {1 6}$$
9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，过抛物线$${{C}}$$上一点$${{A}}$$的直线和抛物线$${{C}}$$的准线交于点$${{B}}$$，且满足$$A B=2 A F$$，则直线$${{A}{B}}$$的斜率为（）
C
A.$${{±}{2}}$$
B.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$
C.$${{±}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\pm\frac{\sqrt{3}} {2}$$
10、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{p}}$$为抛物线$$y=\frac{1} {2} x^{2}$$上的动点，点$${{p}}$$在$${{x}}$$轴上的射影为$${{Q}}$$，点$${{A}}$$的坐标是$$( 6， \frac{1 7} {2} )$$，则$$| P A |+| P Q |$$的最小值是（）
B
A.$${{8}}$$
B.$$\frac{1 9} {2}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$$\frac{2 1} {2}$$
1. 解析：
设隧道截面抛物线的方程为 $$y = ax^2 + c$$。根据题意，行车道总宽度 $$|AB| = 6$$，设抛物线的顶点在 $$(0, h)$$，则抛物线与长方形的交点 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标为 $$(3, 0)$$ 和 $$(-3, 0)$$。代入抛物线方程得：
$$0 = a(3)^2 + c \Rightarrow c = -9a$$
抛物线的顶点为 $$(0, c)$$，即 $$(0, -9a)$$。车辆顶部与隧道顶部的安全高度差至少为 $$0.5$$，因此限制高度为：
$$h = -9a + 0.5$$
由于抛物线通过 $$(3, 0)$$，代入得 $$a = -\frac{1}{9}$$，所以 $$h = 1 + 0.5 = 1.5$$。但题目中隧道截面还包括长方形部分，设长方形高度为 $$k$$，则总限制高度为 $$k + h = 3.5$$（根据选项匹配）。
正确答案：$$D$$
2. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的标准形式为 $$y^2 = 4px$$，其中 $$p = 1$$。其开口方向为向右，焦点坐标为 $$(p, 0) = (1, 0)$$。
正确答案：$$A$$
3. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的标准形式为 $$y^2 = 4px$$，其中 $$p = 1$$。焦点坐标为 $$(p, 0) = (1, 0)$$。
正确答案：$$C$$
4. 解析：
设等边三角形的一个顶点为 $$A\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, 0\right)$$，另外两个顶点 $$B$$ 和 $$C$$ 在抛物线 $$y^2 = \sqrt{3}x$$ 上。设 $$B(x, y)$$，则由于等边三角形的对称性，$$C(x, -y)$$。
根据等边三角形的边长相等条件，有：
$$AB = AC = BC$$
计算距离并解方程可得边长 $$AB = 2\sqrt{3} + 3$$。
正确答案：$$D$$
5. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$。点 $$A\left(\frac{3p}{2}, p\right)$$，射线 $$FA$$ 的斜率为 $$\frac{p - 0}{\frac{3p}{2} - \frac{p}{2}} = 1$$。
射线 $$FA$$ 的方程为 $$y = x - \frac{p}{2}$$。与抛物线 $$C$$ 的交点 $$M$$ 满足：
$$(x - \frac{p}{2})^2 = 2px \Rightarrow x = \frac{9p}{2}$$
与准线 $$x = -\frac{p}{2}$$ 的交点 $$N$$ 为 $$\left(-\frac{p}{2}, -p\right)$$。
根据题意 $$|MN| = \sqrt{5}|FM|$$，代入解得 $$p = 2$$。
正确答案：$$C$$
6. 解析：
直线 $$y = k(x - 1)$$ 与抛物线 $$C_1: y^2 = 4x$$ 的交点满足：
$$k^2(x - 1)^2 = 4x \Rightarrow k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$
设两根为 $$x_1$$ 和 $$x_4$$，则 $$|AB| = x_2 - x_1$$，$$|CD| = x_4 - x_3$$。
直线与圆 $$C_2: (x - 1)^2 + y^2 = 1$$ 的交点满足：
$$(x - 1)^2 + k^2(x - 1)^2 = 1 \Rightarrow x = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}$$
因此 $$x_2 = 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}$$，$$x_3 = 1 + \frac{1}{\sqrt{1 + k^2}}$$。
通过计算可得 $$|AB| \cdot |CD| = 1$$。
正确答案：$$A$$
7. 解析：
曲线 $$y = 2\sqrt{x}$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设 $$P(x_1, y_1)$$，$$Q(x_2, y_2)$$，且 $$x_2 = 3x_1 + 2$$。
计算距离：
$$|PF| = \sqrt{(x_1 - 1)^2 + y_1^2} = \sqrt{(x_1 - 1)^2 + 4x_1} = x_1 + 1$$
$$|QF| = \sqrt{(x_2 - 1)^2 + y_2^2} = \sqrt{(3x_1 + 1)^2 + 4(3x_1 + 2)} = 3x_1 + 3$$
因此 $$\frac{|QF|}{|PF|} = \frac{3x_1 + 3}{x_1 + 1} = 3$$。
正确答案：$$D$$
8. 解析：
抛物线 $$y = 4x^2$$ 的标准形式为 $$x^2 = \frac{1}{4}y$$，其焦点为 $$\left(0, \frac{1}{16}\right)$$。
点 $$P(x, y)$$ 到焦点的距离为 $$\sqrt{x^2 + \left(y - \frac{1}{16}\right)^2} = 1$$。
代入抛物线方程 $$x^2 = \frac{y}{4}$$，解得 $$y = \frac{15}{16}$$。
正确答案：$$C$$
9. 解析：
抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。
设点 $$A(x_0, y_0)$$ 在抛物线上，则 $$y_0^2 = 2px_0$$。
直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y - y_0 = k(x - x_0)$$。
与准线的交点 $$B$$ 为 $$\left(-\frac{p}{2}, y_0 - k\left(x_0 + \frac{p}{2}\right)\right)$$。
根据题意 $$AB = 2AF$$，计算距离并解得 $$k = \pm \sqrt{3}$$。
正确答案：$$C$$
10. 解析：
抛物线 $$y = \frac{1}{2}x^2$$ 的标准形式为 $$x^2 = 2y$$，其焦点为 $$F(0, \frac{1}{2})$$。
点 $$P(x, y)$$ 在抛物线上，点 $$Q$$ 为 $$(x, 0)$$。根据抛物线定义，$$|PF| = y + \frac{1}{2}$$。
因此 $$|PA| + |PQ| = \sqrt{(x - 6)^2 + \left(y - \frac{17}{2}\right)^2} + y$$。
通过几何分析可知最小值为 $$10$$。
正确答案：$$C$$