抛物线的焦点弦问题-抛物线知识点月考进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1、['抛物线的焦点弦问题'， '直线上向量的坐标']

正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点为$${{F}{，}{P}}$$是准线上一点，直线$${{P}{F}}$$交抛物线于点$${{M}{，}{N}}$$，且$$\overrightarrow{P F}=3 \overrightarrow{M F}，$$则$${{|}{M}{N}{|}{=}{(}}$$)

A.$${{6}}$$

B.$${{1}{2}}$$

C.$$\frac{1 6} {3}$$

D.$$\frac{3 2} {3}$$

2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '三角形的面积（公式）'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{＝}{2}{p}{x}{(}{p}{>}{0}{)}}$$的焦点$${{F}}$$到准线$${{l}}$$的距离为$${{2}}$$，过点$${{F}}$$且倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线与抛物线$${{C}}$$交于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$${{M}{{M}^{′}}{⊥}{l}{，}{N}{{N}^{′}}{⊥}{l}}$$，垂足分别为$${{M}^{′}{，}{{N}^{′}}}$$，则$${{△}{{M}^{′}}{{N}^{′}}{F}}$$的面积为（）

A.$$\frac{3 2 \sqrt{3}} {3}$$

B.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {3}$$

C.$$\frac{1 4 \sqrt{3}} {3}$$

D.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}$$

3、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的焦点弦问题'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']

正确率60.0%若过抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点且斜率为$${{2}}$$的直线与$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则线段$${{A}{B}}$$的长为（）

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

4、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率40.0%已知抛物线$${{x}^{2}{=}{4}{y}}$$上一点$${{M}}$$到焦点的距离为$${{3}}$$，则点$${{M}}$$到$${{x}}$$轴的距离为（）

A.$$\frac{1} {2}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

5、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率60.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$的焦点作直线交抛物线于$${{A}{（}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{）}{、}{B}{（}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{）}}$$两点，若$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{7}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的值为（）

A.$${{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率40.0%过抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{2}{p}{x}{（}{p}{>}{0}{）}}$$的焦点$${{F}}$$的直线交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{F}{|}{=}{3}{|}{B}{F}{|}{=}{3}}$$，则$${{p}{=}{（}}$$）

A.$${{3}}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$${{1}}$$

7、['抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题'， '导数的几何意义'， '两条直线平行']

正确率40.0%抛物线$${{y}{=}{4}{−}{{x}^{2}}}$$与直线$${{y}{=}{4}{x}}$$的两个交点为$${{A}{、}{B}}$$，点$${{P}}$$在抛物线上从$${{A}}$$向$${{B}}$$运动，当$${{△}{P}{A}{B}}$$的面积为最大时，点$${{P}}$$的坐标为（）

A.$${（{−}{3}{，}{−}{5}{）}}$$

B.$${（{−}{2}{，}{0}{）}}$$

C.$${（{−}{1}{，}{3}{）}}$$

D.$${（{0}{，}{4}{）}}$$

8、['抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率60.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{2}{x}}$$的焦点作直线交抛物线于$${{A}{{(}{{x}_{1}{，}{{y}_{1}}}{)}}{，}{B}{{(}{{x}_{2}{，}{{y}_{2}}}{)}}}$$两点，如果$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{4}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}{=}}$$（）

A.$${{4}}$$

B.$${{5}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{8}}$$

9、['一元二次方程根与系数的关系'， '抛物线的焦点弦问题'， '直线与抛物线的交点个数'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}{：}{{y}^{2}}{=}{4}{x}}$$，过点$${{P}{（}{2}{，}{0}{）}}$$的直线$${{l}}$$与抛物线$${{C}}$$交于不同的两点$${{M}{，}{N}}$$，设$$Q_{(}-2， ~ 0 ) ~， ~ \lambda=\frac{| Q M |} {| Q N |}$$，且$$\lambda\in[ \frac{1} {2}， ~ 1 ) ~ \cup~ ( \textup{1}， ~ 2 ]$$时，则直线$${{M}{N}}$$斜率的取值范围是（）

A.$${（{−}{∞}{，}{−}{2}{]}{∪}{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$

B.$${（{−}{∞}{，}{−}{3}{]}{∪}{[}{3}{，}{+}{∞}{）}}$$

C.$${{[}{−}{2}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{2}{]}}$$

D.$${{[}{−}{3}{，}{0}{）}{∪}{（}{0}{，}{3}{]}}$$

10、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题']

正确率60.0%过抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{x}}$$焦点的直线$${{l}}$$交抛物线于$${{P}{（}{{x}_{1}}{，}{{y}_{1}}{）}{，}{Q}{（}{{x}_{2}}{，}{{y}_{2}}{）}}$$两点，若$${{x}_{1}{+}{{x}_{2}}{=}{4}}$$，则$${{|}{P}{Q}{|}{=}}$$（）

A.$${{8}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{5}}$$

1. 解析：

抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$。设点 $$P$$ 在准线上，坐标为 $$P(-1,y_0)$$。根据题意，$$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{MF}$$，即 $$F$$ 是 $$PM$$ 的内分点，比例为 $$2:1$$。因此，$$M$$ 的坐标为 $$M\left(\frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)}{3}, \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot y_0}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{y_0}{3}\right)$$。将 $$M$$ 代入抛物线方程得 $$\left(\frac{y_0}{3}\right)^2=4 \cdot \frac{1}{3}$$，解得 $$y_0=\pm 2\sqrt{3}$$。直线 $$PF$$ 的斜率为 $$\pm \sqrt{3}$$，方程为 $$y=\pm \sqrt{3}(x-1)$$。与抛物线联立解得 $$N(3,\pm 2\sqrt{3})$$。因此，$$|MN|=\sqrt{\left(3-\frac{1}{3}\right)^2+\left(2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2}=\frac{16}{3}$$。答案为 C。

2. 解析：

抛物线 $$C: y^2=2px$$ 的焦点 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$，准线 $$l: x=-\frac{p}{2}$$。由题意，$$p=2$$。直线斜率为 $$\tan 60^\circ=\sqrt{3}$$，方程为 $$y=\sqrt{3}\left(x-1\right)$$。与抛物线联立得 $$3x^2-10x+3=0$$，解得 $$x=3$$ 或 $$x=\frac{1}{3}$$。因此，$$M(3,2\sqrt{3})$$，$$N\left(\frac{1}{3},-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。$$M'(-1,2\sqrt{3})$$，$$N'\left(-1,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$$。三角形 $$M'N'F$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times 2 \times \left(2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$。答案为 D。

3. 解析：

抛物线 $$C: y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。直线斜率为 2，方程为 $$y=2(x-1)$$。与抛物线联立得 $$4x^2-12x+4=0$$，即 $$x^2-3x+1=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1+x_2=3$$，$$x_1x_2=1$$。弦长公式 $$|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{5} \cdot \sqrt{9-4}=5$$。答案为 C。

4. 解析：

抛物线 $$x^2=4y$$ 的焦点为 $$F(0,1)$$。点 $$M$$ 到焦点的距离为 3，即 $$\sqrt{x^2+(y-1)^2}=3$$。结合抛物线方程 $$x^2=4y$$，解得 $$y=2$$。因此，点 $$M$$ 到 $$x$$ 轴的距离为 2。答案为 C。

5. 解析：

抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线方程为 $$y=k(x-1)$$，与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。由 $$x_1+x_2=7$$，得 $$\frac{2k^2+4}{k^2}=7$$，解得 $$k^2=\frac{4}{5}$$。弦长公式 $$|AB|=x_1+x_2+p=7+2=9$$。答案为 C。

6. 解析：

抛物线 $$C: y^2=2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2},0\right)$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k\left(x-\frac{p}{2}\right)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(k^2p+2p)x+\frac{k^2p^2}{4}=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由 $$|AF|=3|BF|$$ 得 $$x_1+\frac{p}{2}=3\left(x_2+\frac{p}{2}\right)$$，结合韦达定理解得 $$p=\frac{3}{2}$$。答案为 C。

7. 解析：

抛物线 $$y=4-x^2$$ 与直线 $$y=4x$$ 的交点为 $$A(0,4)$$ 和 $$B(-4,-12)$$。设点 $$P(x,4-x^2)$$，则三角形面积 $$S=\frac{1}{2} \times 4 \times |4-x^2-4x|$$。求导得极值点为 $$x=-2$$，此时 $$P(-2,0)$$，面积为 16。答案为 B。

8. 解析：

抛物线 $$y^2=2x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{1}{2},0\right)$$。设直线方程为 $$y=k\left(x-\frac{1}{2}\right)$$，与抛物线联立得 $$k^2x^2-(k^2+2)x+\frac{k^2}{4}=0$$。由 $$x_1+x_2=4$$，得 $$\frac{k^2+2}{k^2}=4$$，解得 $$k^2=\frac{2}{3}$$。弦长公式 $$|AB|=x_1+x_2+p=4+1=5$$。答案为 B。

9. 解析：

抛物线 $$C: y^2=4x$$，直线 $$l$$ 过 $$P(2,0)$$，设方程为 $$y=k(x-2)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2-(4k^2+4)x+4k^2=0$$。设 $$M(x_1,y_1)$$，$$N(x_2,y_2)$$，由 $$\lambda=\frac{|QM|}{|QN|}$$ 得 $$\frac{\sqrt{(x_1+2)^2+y_1^2}}{\sqrt{(x_2+2)^2+y_2^2}} \in \left[\frac{1}{2},1\right) \cup (1,2]$$。化简得 $$k^2 \geq 4$$，即 $$|k| \geq 2$$。答案为 A。

10. 解析：

抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$。设直线方程为 $$y=k(x-1)$$，与抛物线联立得 $$k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0$$。由 $$x_1+x_2=4$$，得 $$\frac{2k^2+4}{k^2}=4$$，解得 $$k^2=2$$。弦长公式 $$|PQ|=x_1+x_2+p=4+2=6$$。答案为 C。

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