抛物线的焦点弦问题-3.3 抛物线知识点回顾进阶选择题自测题答案-广东省等高一数学选择必修,平均正确率50.0%

正确率60.0%设$${{F}}$$为抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=3 x$$的焦点，过$${{F}}$$且倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$$| A B |=$$（）

C

A.$$\frac{\sqrt{3 0}} {3}$$

B.$${{6}}$$

C.$${{1}{2}}$$

D.$${{7}{\sqrt {3}}}$$

正确率60.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点$${{F}}$$和准线$${{l}{，}}$$过点$${{F}}$$的直线交$${{l}}$$于点$${{A}{，}}$$与抛物线的一个交点为$${{B}{，}}$$且$$\overrightarrow{F B}=-3 \overrightarrow{F A}，$$则$$| A B |=$$（）

A

A.$$\frac{3 2} {3}$$

B.$$\frac{1 6} {3}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$$\frac{4} {3}$$

正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$的焦点，过点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=8$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$到直线$$x+1=0$$的距离为（）

B

A.$${{2}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{8}}$$

D.$${{1}{6}}$$

正确率60.0%已知$${{A}{B}}$$是抛物线$$y^{2}=2 x$$的一条焦点弦，且$$| A B |=4$$，则$${{A}{B}}$$的中点$${{M}}$$的横坐标是（）

C

A.$${{2}}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

D.$$\frac{5} {2}$$

正确率60.0%过抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点作直线交抛物线于$$A ~ ( \emph{x}_{1}， \emph{y}_{1} ) ~， \emph{B} ~ ( \emph{x}_{2}， \emph{y}_{2} )$$，如果$$x_{1}+x_{2}=6$$，那么$$| A B |=\c($$）

A

A.$${{8}}$$

B.$${{1}{0}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{4}}$$

正确率60.0%已知抛物线$$C_{\colon} \ y^{2}=4 x$$，过点$$P ~ ( ~-~ 1， ~ 0 )$$任作一直线交抛物线于点$${{A}{，}{B}}$$，点$${{C}}$$为$${{B}}$$关于$${{x}}$$轴的对称点，则直线$${{A}{C}}$$恒过定点（）

A

A.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$

B.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$

C.$$( \mathbf{2}， \ \mathbf{0} )$$

D.$$( \frac{1} {2}， \ 0 )$$

正确率60.0%svg异常

B

A.$${{1}{5}^{∘}}$$

B.$${{3}{0}^{∘}}$$

C.$${{4}{5}^{∘}}$$

D.不确定

正确率40.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，$${{M}}$$点的坐标为$$( \mathbf{4}， \ \mathbf{0} )$$，过点$${{F}}$$作斜率为$${{k}_{1}}$$的直线与抛物线交于$${{A}{、}{B}}$$两点，延长交抛物线于$${{C}{、}{D}}$$两点．设直线$${{C}{D}}$$的斜率为$${{k}_{2}}$$，则$$\frac{k_{1}} {k_{2}}=($$）

D

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率19.999999999999996%svg异常

B

A.$${{1}{2}}$$

B.$${{2}{3}}$$

C.$${{4}{2}}$$

D.$${{5}{2}}$$

正确率40.0%svg异常

A

A.$${{6}}$$

B.svg异常

C.$${{8}}$$

D.$${{9}}$$

1. 抛物线 $$y^2=3x$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{3}{4}, 0\right)$$。倾斜角为 $$30^\circ$$ 的直线斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，其方程为 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{3}{4}\right)$$。将直线方程代入抛物线方程，整理得到 $$x^2 - \frac{21}{4}x + \frac{9}{16} = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{21}{4}$$，$$x_1x_2 = \frac{9}{16}$$。弦长公式为 $$|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\left(\frac{21}{4}\right)^2 - 4 \cdot \frac{9}{16}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{441}{16} - \frac{9}{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{405}{16}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{9\sqrt{5}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{2}$$。但选项中没有此答案，可能是计算错误。重新检查步骤，发现抛物线方程为 $$y^2=3x$$，代入直线方程后应为 $$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{3}{4}\right)\right)^2 = 3x$$，展开后得到 $$\frac{1}{3}\left(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}\right) = 3x$$，即 $$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 9x$$，整理为 $$x^2 - \frac{21}{2}x + \frac{9}{16} = 0$$。重新计算弦长：$$x_1 + x_2 = \frac{21}{2}$$，$$x_1x_2 = \frac{9}{16}$$，$$|AB| = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\left(\frac{21}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{9}{16}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{\frac{441}{4} - \frac{9}{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{108} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 12$$。正确答案为 C。

3. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设直线斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 1)$$，代入抛物线方程得 $$k^2(x - 1)^2 = 4x$$，整理为 $$k^2x^2 - (2k^2 + 4)x + k^2 = 0$$。设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{2k^2 + 4}{k^2} = 2 + \frac{4}{k^2}$$。弦长 $$|AB| = x_1 + x_2 + 2 = 4 + \frac{4}{k^2} = 8$$，解得 $$k^2 = 1$$。中点 $$M$$ 的横坐标为 $$\frac{x_1 + x_2}{2} = 1 + \frac{2}{k^2} = 3$$。直线 $$x + 1 = 0$$ 即 $$x = -1$$，点 $$M$$ 到其距离为 $$|3 - (-1)| = 4$$。正确答案为 B。

5. 抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。弦长公式为 $$|AB| = x_1 + x_2 + 2 = 6 + 2 = 8$$。正确答案为 A。

7. 题目不完整，无法解析。

9. 题目不完整，无法解析。