抛物线的简单几何性质-3.3 抛物线知识点课后基础选择题自测题答案-浙江省等高一数学选择必修,平均正确率72.0%

1、['直线与圆锥曲线的其他应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，圆$${{M}}$$：$$x^{2}+( y-\sqrt{1 5} )^{2}=1$$，点$${{P}}$$，$${{Q}}$$分别为抛物线$${{C}}$$和圆$${{M}}$$上的动点，设点$${{P}}$$到直线$${{x}{=}{−}{3}}$$的距离为$${{d}}$$，则$$d+| P Q |$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{4}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

2、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率40.0%抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，过$${{F}}$$的直线交$${{C}}$$于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，点$${{A}}$$，$${{B}}$$在$${{C}}$$的准线$${{l}}$$上的射影分别为点$${{E}}$$，$${{G}}$$，若$$\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{F B}$$，则四边形$${{A}{B}{G}{E}}$$的面积为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {9}$$

B.$$\frac{2 7 \sqrt{2}} {4}$$

C.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {9}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

3、['直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%直线$${{x}{=}{2}}$$与抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$交于$${{D}}$$、$${{E}}$$两点，若$$\overrightarrow{O D} \cdot\overrightarrow{O E}=0$$，其中$${{O}}$$为坐标原点，则$${{C}}$$的准线方程为$${{(}{)}}$$

A.$$x=-\frac{1} {4}$$

B.$$x=-\frac{1} {2}$$

C.$${{x}{=}{−}{1}}$$

D.$${{x}{=}{−}{2}}$$

4、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%过抛物线$$y^{2} \!=\! 4 x$$的焦点$${{F}}$$作倾斜角为$$\frac{\pi} {3}$$的弦$${{A}{B}}$$，则$${{|}{A}{B}{|}}$$的值$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{8} {3} \sqrt{7}$$

B.$$\frac{1 6} {3}$$

C.$$\frac{8} {2}$$

D.$$\frac{1 6} {3} \sqrt{7}$$

5、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$${{y}^{2}{=}{x}}$$的准线为$${{l}}$$，点$${{A}}$$的坐标为$$( 1， 0 )$$，点$${{P}}$$在抛物线上，点$${{P}}$$到直线$${{l}}$$的距离为$${{d}}$$，则$$| P A |-d$$的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{3} {4}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${{1}}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

6、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知点$${{P}}$$在直线$$y=x-1$$上，点$${{Q}}$$在曲线$$x^{2}=2 y$$上，则$${{|}{P}{Q}{|}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {8}$$

C.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt2} {4}$$

7、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%设抛物线的顶点为坐标原点，焦点$${{F}}$$的坐标为$$( 1， 0 )$$，若该抛物线上两点$${{A}}$$、$${{B}}$$的横坐标之和为$${{6}}$$，则弦$${{|}{A}{B}{|}}$$的长的最大值为$${{(}{)}}$$

A.$${{8}}$$

B.$${{7}}$$

C.$${{6}}$$

D.$${{5}}$$

8、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%抛物线$$y^{2}=\frac{1} {a} x$$的准线方程是$${{x}{=}{1}}$$，则实数$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$

A.$$- \frac{1} {4}$$

B.$$\frac{1} {4}$$

C.$${{4}}$$

D.$${{−}{4}}$$

9、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$x^{2}=6 y$$的焦点为$${{F}}$$，准线为$${{l}}$$，$${{P}}$$是$${{l}}$$上一点，$${{Q}}$$是直线$${{P}{F}}$$与$${{C}}$$的一个交点，若$$\overrightarrow{P F}=3 \overrightarrow{Q F}$$，则$$| P F |=( \textsubscript{\Lambda} )$$

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{6}}$$

10、['抛物线的简单几何性质']

正确率80.0%已知抛物线$${{C}}$$：$$y^{2}=4 x$$，点$${{P}}$$为抛物线上任意一点，过点$${{P}}$$向圆$${{D}}$$：$$x^{2}+y^{2}-6 x+8=0$$作切线，切点分别为$${{A}}$$，$${{B}}$$，则四边形$${{P}{A}{D}{B}}$$的面积的最小值为$${{(}{)}}$$

A.$${{3}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {7}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

1. 解析：抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$。点 $$P$$ 到直线 $$x=-3$$ 的距离 $$d = |x_P + 3|$$。由于 $$P$$ 在抛物线上，$$x_P \geq 0$$，故 $$d = x_P + 3$$。圆 $$M$$ 的圆心为 $$(0, \sqrt{15})$$，半径为 $$1$$。要求 $$d + |PQ|$$ 的最小值，即求 $$x_P + 3 + |PQ|$$ 的最小值。利用抛物线的定义，$$|PF| = x_P + 1$$，因此 $$x_P = |PF| - 1$$。代入得 $$d + |PQ| = |PF| + 2 + |PQ|$$。要使 $$|PF| + |PQ|$$ 最小，当 $$P$$、$$F$$、$$Q$$ 三点共线且 $$Q$$ 在 $$FM$$ 上时取得最小值，此时 $$|PF| + |PQ| = |FM| - 1 = \sqrt{(1-0)^2 + (0-\sqrt{15})^2} - 1 = 4 - 1 = 3$$。因此 $$d + |PQ|$$ 的最小值为 $$3 + 2 = 5$$。答案为 $$C$$。

2. 解析：抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点 $$F(1,0)$$，准线 $$l: x=-1$$。设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y=k(x-1)$$。与抛物线联立得 $$k^2x^2 - (2k^2+4)x + k^2 = 0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由 $$\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{FB}$$ 得 $$x_2 - x_1 = 3(x_2 - 1)$$，解得 $$x_1 = -2x_2 + 3$$。由韦达定理，$$x_1 + x_2 = \frac{2k^2+4}{k^2}$$，$$x_1x_2 = 1$$。代入解得 $$x_2=1$$ 或 $$x_2=2$$。当 $$x_2=1$$ 时，$$A$$ 为无穷远点，舍去；当 $$x_2=2$$ 时，$$x_1=\frac{1}{2}$$。因此 $$A\left(\frac{1}{2}, \sqrt{2}\right)$$，$$B(2, 2)$$，$$E(-1, \sqrt{2})$$，$$G(-1, 2)$$。四边形 $$ABGE$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times (AE + BG) \times EG = \frac{1}{2} \times \left(\frac{3\sqrt{2}}{2} + 3\right) \times (2 - \sqrt{2})$$，计算得 $$\frac{16\sqrt{3}}{9}$$。答案为 $$C$$。

3. 解析：将 $$x=2$$ 代入抛物线 $$y^2=2px$$ 得 $$y^2=4p$$，故 $$D(2, 2\sqrt{p})$$，$$E(2, -2\sqrt{p})$$。由 $$\overrightarrow{OD} \cdot \overrightarrow{OE} = 4 - 4p = 0$$ 得 $$p=1$$。因此准线方程为 $$x=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{2}$$。答案为 $$B$$。

4. 解析：抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点 $$F(1,0)$$，直线 $$AB$$ 的斜率为 $$\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$$，方程为 $$y=\sqrt{3}(x-1)$$。与抛物线联立得 $$3(x-1)^2=4x$$，化简为 $$3x^2-10x+3=0$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{10}{3}$$，$$x_1x_2 = 1$$。弦长 $$|AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot |x_1 - x_2| = 2 \cdot \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - 4} = \frac{16}{3}$$。答案为 $$B$$。

5. 解析：抛物线 $$y^2=x$$ 的准线 $$l: x=-\frac{1}{4}$$。点 $$P$$ 到准线的距离 $$d = x_P + \frac{1}{4}$$。要求 $$|PA| - d$$ 的最大值，即求 $$|PA| - x_P - \frac{1}{4}$$ 的最大值。设 $$P(y^2, y)$$，则 $$|PA| = \sqrt{(y^2-1)^2 + y^2}$$。利用三角不等式，当 $$P$$ 在 $$A$$ 的正上方或正下方时取得最大值，此时 $$y=0$$，$$P(0,0)$$，$$|PA| - d = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$。答案为 $$A$$。

6. 解析：曲线 $$x^2=2y$$ 是抛物线，设 $$Q(x, \frac{x^2}{2})$$，点 $$P$$ 在直线 $$y=x-1$$ 上，设 $$P(a, a-1)$$。距离 $$|PQ| = \sqrt{(a-x)^2 + \left(a-1-\frac{x^2}{2}\right)^2}$$。为求最小值，对 $$x$$ 求导并令导数为零，解得 $$x=1$$，此时 $$P(1,0)$$，$$Q(1, \frac{1}{2})$$，$$|PQ| = \frac{1}{2}$$。但进一步优化发现当 $$x=\frac{1}{2}$$ 时，$$|PQ| = \frac{\sqrt{2}}{4}$$ 更小。答案为 $$D$$。

7. 解析：抛物线的顶点在原点，焦点 $$F(1,0)$$，故方程为 $$y^2=4x$$。设 $$A(x_1,y_1)$$，$$B(x_2,y_2)$$，由 $$x_1 + x_2 = 6$$。弦长 $$|AB| = x_1 + x_2 + p = 6 + 2 = 8$$（当 $$AB$$ 为通径时取得最大值）。答案为 $$A$$。

8. 解析：抛物线 $$y^2=\frac{1}{a}x$$ 的准线为 $$x=-\frac{1}{4a}$$。由题意 $$-\frac{1}{4a}=1$$，解得 $$a=-\frac{1}{4}$$。答案为 $$A$$。

9. 解析：抛物线 $$x^2=6y$$ 的焦点 $$F(0, \frac{3}{2})$$，准线 $$l: y=-\frac{3}{2}$$。设 $$P(x, -\frac{3}{2})$$，由 $$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{QF}$$ 得 $$Q$$ 为 $$PF$$ 的四等分点，坐标为 $$\left(\frac{x}{4}, 0\right)$$。代入抛物线方程得 $$\left(\frac{x}{4}\right)^2=6 \times 0$$，解得 $$x=0$$，此时 $$P(0, -\frac{3}{2})$$，$$|PF|=3$$。答案为 $$B$$。

10. 解析：圆 $$D$$ 的方程为 $$(x-3)^2 + y^2 = 1$$，圆心 $$D(3,0)$$，半径 $$r=1$$。点 $$P$$ 在抛物线 $$y^2=4x$$ 上，设 $$P(x,y)$$，则切线长 $$|PA| = \sqrt{|PD|^2 - r^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2 - 1} = \sqrt{x^2 - 2x + 8}$$。四边形 $$PADB$$ 的面积为 $$2 \times \frac{1}{2} \times |PA| \times r = |PA|$$。最小值为当 $$x=1$$ 时，$$|PA| = \sqrt{7}$$。答案为 $$C$$。

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