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正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点，$${{P}}$$是$${{C}}$$上的一点，$${{Q}}$$是$${{C}}$$的准线上一点．若$${{△}{P}{Q}{F}}$$是边长为$${{2}}$$的等边三角形，则该抛物线的方程为（）
D
A.$$y^{2}=8 x$$
B.$${{y}^{2}{=}{x}}$$
C.$$y^{2}=4 x$$
D.$$y^{2}=2 x$$
2、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有$${{0}{{.}{5}}{m}{，}}$$已知行车道总宽度$$| A B |=6 \mathrm{m}，$$那么车辆通过隧道的限制高度为（）
C
A.$${{2}{{.}{2}{5}}{m}}$$
B.$${{2}{{.}{5}}{m}}$$
C.$${{3}{{.}{2}{5}}{m}}$$
D.$${{3}{{.}{5}}{m}}$$
3、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率80.0%下列关于抛物线$${{y}{=}{2}{{x}^{2}}}$$的描述中正确的是（）
A
A.开口向上，焦点坐标为$$\left( 0， \ \frac{1} {8} \right)$$
B.开口向右，焦点坐标为$$\left( 0， \ \frac{1} {8} \right)$$
C.开口向上，焦点坐标为$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right)$$
D.开口向右，焦点坐标为$$\left( 0， \ \frac{1} {2} \right)$$
4、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，$${{A}{，}{B}}$$是该抛物线上的两点，则$$| A F |+| B F |=1 2$$，则线段$${{A}{B}}$$的中点到$${{y}}$$轴的距离为（）
C
A.$${{1}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${{7}}$$
5、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性']正确率60.0%若抛物线$$y^{2}=4 x$$上的点$${{M}}$$到焦点的距离为$${{1}{0}}$$，则$${{M}}$$到$${{y}}$$轴的距离为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
6、['直线与圆的方程的应用'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性']正确率60.0%已知抛物线$$C_{1} \colon\; y^{2}=4 x$$和圆$$C_{2} \colon( x-1 )^{2}+y^{2}=1$$，直线$$y=k ~ ( \ x-1 )$$与$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$依次相交于$$A ~ ( x_{1}， ~ y_{1} ) ~， ~ B ~ ( x_{2}， ~ y_{2} ) ~， ~ C ~ ( x_{3}， ~ y_{3} ) ~， ~ D ~ ( x_{4}， ~ y_{4} )$$四点（其中$$x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} )$$，则$$| A B | \cdot| C D |$$的值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{k^{2}} {4}$$
D.$${{k}^{2}}$$
7、['两点间的距离'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$$\Gamma_{\colon} ~ x^{2}=8 y$$的焦点为$${{F}}$$，直线$${{l}}$$与抛物线$${{Γ}}$$在第一象限相切于点$${{P}}$$，并且与直线$${{y}{=}{−}{2}}$$及$${{x}}$$轴分别交于$${{A}{、}{B}}$$两点，直线$${{P}{F}}$$与抛物线$${{Γ}}$$的另一交点为$${{Q}}$$，过点$${{B}}$$作$$B C / / A F$$交$${{P}{F}}$$于点$${{C}}$$，若$$| P C |=| Q F |$$，则$$| P F |=~ ($$）
C
A.$$\sqrt{5}-1$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {5}}}$$
C.$${{3}{+}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}{+}{\sqrt {5}}}$$
8、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%若抛物线$$y^{2}=2 p x \ ( p > 0 )$$上任意一点到焦点的距离恒大于$${{1}}$$，则$${{p}}$$的取值范围是（）
D
A.$${{p}{<}{1}}$$
B.$${{p}{>}{1}}$$
C.$${{p}{<}{2}}$$
D.$${{p}{>}{2}}$$
9、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率40.0%已知抛物线$$C_{:} \， \， x^{2}=m y$$的准线$${{l}}$$与坐标轴的交点恰好在直线$$2 x+3 y-6=0$$上，则$${{m}{=}}$$（）
C
A.$${{8}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{−}{8}}$$
D.$${{−}{{1}{2}}}$$
10、['抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的定义']正确率60.0%已知$${{F}}$$为抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点，$$P \left( x_{0}， y_{0} \right)$$是该抛物线上的一点$${{.}}$$若$$| P F | > 2$$，则（）
B
A.$$x_{0} \in( 0， 1 )$$
B.$$x_{0} \in( 1，+\infty)$$
C.$$y_{0} \in( 2，+\infty)$$
D.$$y_{0} \in(-\infty， 2 )$$
1. 解析：抛物线 $$C: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。设点 $$P$$ 在抛物线上，坐标为 $$(x_1, y_1)$$，则 $$y_1^2 = 2px_1$$。点 $$Q$$ 在准线上，坐标为 $$\left(-\frac{p}{2}, y_2\right)$$。由于 $$\triangle PQF$$ 是等边三角形，边长为 2，因此 $$PF = QF = PQ = 2$$。根据距离公式： $$PF = \sqrt{\left(x_1 - \frac{p}{2}\right)^2 + y_1^2} = 2$$ 代入 $$y_1^2 = 2px_1$$ 得： $$\sqrt{\left(x_1 - \frac{p}{2}\right)^2 + 2px_1} = 2$$ 化简得 $$x_1 + \frac{p}{2} = 2$$。同理，$$QF = \sqrt{\left(-\frac{p}{2} - \frac{p}{2}\right)^2 + y_2^2} = 2$$，解得 $$y_2 = 0$$。因此 $$Q$$ 的坐标为 $$\left(-\frac{p}{2}, 0\right)$$。由于 $$\triangle PQF$$ 是等边三角形，$$P$$ 的纵坐标 $$y_1 = \pm \sqrt{3}$$。代入 $$x_1 + \frac{p}{2} = 2$$ 和 $$y_1^2 = 2px_1$$，解得 $$p = 2$$。因此抛物线方程为 $$y^2 = 4x$$，答案为 C。
2. 解析：设隧道截面抛物线的方程为 $$y = -ax^2 + h$$，其中顶点在 $$(0, h)$$。根据题意，行车道总宽度 $$|AB| = 6$$，即 $$x = \pm 3$$ 时 $$y = 0$$。代入得 $$0 = -a(3)^2 + h$$，即 $$h = 9a$$。车辆顶部与隧道顶部高度差至少为 0.5m，因此限制高度为 $$h - 0.5 = 9a - 0.5$$。由于抛物线通过 $$(0, h)$$ 和 $$(3, 0)$$，解得 $$a = \frac{h}{9}$$。代入得限制高度为 $$h - 0.5 = 4 - 0.5 = 3.5$$m，答案为 D。
3. 解析：抛物线 $$y = 2x^2$$ 是开口向上的标准抛物线，其标准形式为 $$x^2 = \frac{1}{2}y$$，焦点坐标为 $$\left(0, \frac{1}{8}\right)$$，因此答案为 A。
4. 解析：抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。设 $$A(x_1, y_1)$$ 和 $$B(x_2, y_2)$$ 在抛物线上，则 $$|AF| + |BF| = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = 12$$，解得 $$x_1 + x_2 = 10$$。线段 $$AB$$ 的中点到 $$y$$ 轴的距离为 $$\frac{x_1 + x_2}{2} = 5$$，答案为 C。
5. 解析：抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。点 $$M(x, y)$$ 到焦点的距离为 $$x + 1 = 10$$，解得 $$x = 9$$。因此 $$M$$ 到 $$y$$ 轴的距离为 9，答案为 B。
6. 解析：直线 $$y = k(x - 1)$$ 与抛物线 $$C_1: y^2 = 4x$$ 的交点满足 $$k^2(x - 1)^2 = 4x$$，解得 $$x_1$$ 和 $$x_2$$。与圆 $$C_2: (x - 1)^2 + y^2 = 1$$ 的交点满足 $$(x - 1)^2 + k^2(x - 1)^2 = 1$$，解得 $$x_3$$ 和 $$x_4$$。计算 $$|AB| \cdot |CD|$$ 得结果为 2，答案为 B。
7. 解析：抛物线 $$\Gamma: x^2 = 8y$$ 的焦点为 $$F(0, 2)$$。设切点 $$P(x_0, y_0)$$，切线方程为 $$xx_0 = 4(y + y_0)$$。直线 $$l$$ 与 $$y = -2$$ 交于 $$A$$，与 $$x$$ 轴交于 $$B$$。通过几何关系和条件 $$|PC| = |QF|$$，解得 $$|PF| = 3 + \sqrt{5}$$，答案为 C。
8. 解析：抛物线 $$y^2 = 2px$$ 上任意一点 $$(x, y)$$ 到焦点 $$\left(\frac{p}{2}, 0\right)$$ 的距离为 $$x + \frac{p}{2}$$。要求 $$x + \frac{p}{2} > 1$$ 对所有 $$x \geq 0$$ 成立，最小距离在 $$x = 0$$ 时为 $$\frac{p}{2} > 1$$，即 $$p > 2$$，答案为 D。
9. 解析：抛物线 $$C: x^2 = my$$ 的准线为 $$y = -\frac{m}{4}$$。准线与坐标轴的交点为 $$(0, -\frac{m}{4})$$，代入直线方程 $$2x + 3y - 6 = 0$$ 得 $$3\left(-\frac{m}{4}\right) - 6 = 0$$，解得 $$m = -8$$，答案为 C。
10. 解析：抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的焦点为 $$F(1, 0)$$。点 $$P(x_0, y_0)$$ 满足 $$|PF| = x_0 + 1 > 2$$，即 $$x_0 > 1$$。因此 $$x_0 \in (1, +\infty)$$，答案为 B。
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