抛物线的定义-3.3 抛物线知识点教师选题进阶自测题答案-河南省等高一数学选择必修,平均正确率48.0%

1. 已知点 $$A(-1,0)$$ 是抛物线 $$y^2=2px$$ 的准线与 $$x$$ 轴的交点，$$F$$ 为抛物线的焦点，$$P$$ 是抛物线上的动点，则 $$\frac{|PF|}{|PA|}$$ 的最小值为（ ）。

解析：由准线 $$x=-1$$ 得 $$-\frac{p}{2}=-1$$，所以 $$p=2$$，抛物线为 $$y^2=4x$$，焦点 $$F(1,0)$$。设 $$P(x,y)$$ 在抛物线上，则 $$y^2=4x$$，且 $$x \geq 0$$。

计算比值：$$\frac{|PF|}{|PA|} = \frac{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{\sqrt{(x+1)^2+y^2}} = \frac{\sqrt{(x-1)^2+4x}}{\sqrt{(x+1)^2+4x}} = \frac{\sqrt{x^2-2x+1+4x}}{\sqrt{x^2+2x+1+4x}} = \frac{\sqrt{x^2+2x+1}}{\sqrt{x^2+6x+1}} = \frac{x+1}{\sqrt{x^2+6x+1}}$$。

令 $$t=x+1 \geq 1$$，则 $$x=t-1$$，代入得：$$\frac{t}{\sqrt{(t-1)^2+6(t-1)+1}} = \frac{t}{\sqrt{t^2-2t+1+6t-6+1}} = \frac{t}{\sqrt{t^2+4t-4}}$$。

求函数 $$f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+4t-4}}$$ 的最小值（$$t \geq 1$$）。令 $$u=\sqrt{t^2+4t-4}$$，则 $$f(t)=\frac{t}{u}$$。考虑平方：$$f(t)^2 = \frac{t^2}{t^2+4t-4}$$。

令 $$g(t)=\frac{t^2}{t^2+4t-4}$$，求导：$$g'(t)=\frac{2t(t^2+4t-4)-t^2(2t+4)}{(t^2+4t-4)^2} = \frac{2t^3+8t^2-8t-2t^3-4t^2}{(t^2+4t-4)^2} = \frac{4t^2-8t}{(t^2+4t-4)^2} = \frac{4t(t-2)}{(t^2+4t-4)^2}$$。

令导数为零得 $$t=2$$（$$t=0$$ 舍去）。当 $$t>2$$ 时导数正，$$1 \leq t < 2$$ 时导数负，所以 $$t=2$$ 时取最小值。

最小值 $$f(2)=\frac{2}{\sqrt{4+8-4}}=\frac{2}{\sqrt{8}}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$。

答案：B. $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. $$F$$ 为抛物线 $$C: y^2=4x$$ 的焦点，过点 $$F$$ 的直线 $$l$$ 与抛物线 $$C$$ 相交于 $$A,B$$ 两点，$$E$$ 为 $$AB$$ 中点。$$M$$ 在抛物线的准线上，若 $$|AB|=6$$ 且 $$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB}=0$$，则 $$|EM|=$$（ ）。

解析：焦点 $$F(1,0)$$，准线 $$x=-1$$。设直线 $$l$$ 参数方程：$$x=1+t\cos\theta, y=0+t\sin\theta$$，代入抛物线 $$y^2=4x$$：$$(t\sin\theta)^2=4(1+t\cos\theta)$$，即 $$t^2\sin^2\theta - 4t\cos\theta -4=0$$。

弦长 $$|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}$$。由韦达定理：$$t_1+t_2=\frac{4\cos\theta}{\sin^2\theta}$$，$$t_1t_2=-\frac{4}{\sin^2\theta}$$。

所以 $$|AB|^2=\left(\frac{4\cos\theta}{\sin^2\theta}\right)^2 + \frac{16}{\sin^2\theta} = \frac{16\cos^2\theta}{\sin^4\theta} + \frac{16}{\sin^2\theta} = \frac{16(\cos^2\theta+\sin^2\theta)}{\sin^4\theta} = \frac{16}{\sin^4\theta}$$。

已知 $$|AB|=6$$，所以 $$\frac{16}{\sin^4\theta}=36$$，即 $$\sin^4\theta=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$$，$$\sin^2\theta=\frac{2}{3}$$（取正）。

中点 $$E$$ 对应参数 $$t_E=\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}$$。所以 $$E$$ 坐标：$$x_E=1+\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}\cos\theta=1+\frac{2\cos^2\theta}{\sin^2\theta}$$，$$y_E=\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}\sin\theta=\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}$$。

条件 $$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB}=0$$，即 $$2\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$（因为 $$E$$ 是中点），所以 $$ME \perp AB$$。

设 $$M(-1,m)$$ 在准线上。向量 $$\overrightarrow{ME}=(x_E+1, y_E-m)$$，$$\overrightarrow{AB}$$ 方向为 $$(\cos\theta,\sin\theta)$$。垂直条件：$$(x_E+1)\cos\theta + (y_E-m)\sin\theta=0$$。

计算 $$x_E+1=2+\frac{2\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{2\sin^2\theta+2\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{2}{\sin^2\theta}$$。$$y_E-m=\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}-m$$。

代入：$$\frac{2}{\sin^2\theta}\cos\theta + \left(\frac{2\cos\theta}{\sin\theta}-m\right)\sin\theta=0$$，即 $$\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} + 2\cos\theta - m\sin\theta=0$$。

整理：$$\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta} + 2\cos\theta = m\sin\theta$$，所以 $$m = \frac{2\cos\theta}{\sin^3\theta} + \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = 2\cos\theta\left(\frac{1}{\sin^3\theta}+\frac{1}{\sin\theta}\right) = 2\cos\theta \cdot \frac{1+\sin^2\theta}{\sin^3\theta}$$。

现在求 $$|EM|$$：$$|EM|=\sqrt{(x_E+1)^2+(y_E-m)^2}$$。由垂直条件，$$(y_E-m)\sin\theta = -\frac{2\cos\theta}{\sin^2\theta}\cos\theta$$（从前面方程可得），即 $$y_E-m = -\frac{2\cos^2\theta}{\sin^3\theta}$$。

所以 $$|EM|=\sqrt{\left(\frac{2}{\sin^2\theta}\right)^2 + \left(-\frac{2\cos^2\theta}{\sin^3\theta}\right)^2} = \sqrt{\frac{4}{\sin^4\theta} + \frac{4\cos^4\theta}{\sin^6\theta}} = \frac{2}{\sin^2\theta} \sqrt{1 + \frac{\cos^4\theta}{\sin^2\theta}} = \frac{2}{\sin^2\theta} \sqrt{\frac{\sin^2\theta+\cos^4\theta}{\sin^2\theta}} = \frac{2}{\sin^3\theta} \sqrt{\sin^2\theta+\cos^4\theta}$$。

已知 $$\sin^2\theta=\frac{2}{3}$$，则 $$\cos^2\theta=\frac{1}{3}$$，$$\cos^4\theta=\frac{1}{9}$$。所以 $$\sin^2\theta+\cos^4\theta=\frac{2}{3}+\frac{1}{9}=\frac{6+1}{9}=\frac{7}{9}$$，开方得 $$\frac{\sqrt{7}}{3}$$。

$$\sin^3\theta=\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$$（注意 $$\sin\theta>0$$）。所以 $$|EM|=\frac{2}{\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{\frac{21}{2}}$$，这与选项不符。检查计算。

重新计算 $$|EM|$$：$$|EM|=\sqrt{(x_E+1)^2+(y_E-m)^2} = \sqrt{ \left(\frac{2}{\sin^2\theta}\right)^2 + \left(-\frac{2\cos^2\theta}{\sin^3\theta}\right)^2 } = \sqrt{ \frac{4}{\sin^4\theta} + \frac{4\cos^4\theta}{\sin^6\theta} } = \frac{2}{\sin^2\theta} \sqrt{1 + \frac{\cos^4\theta}{\sin^2\theta} }$$。

代入 $$\sin^2\theta=\frac{2}{3}$$，$$\cos^2\theta=\frac{1}{3}$$：$$1+\frac{\cos^4\theta}{\sin^2\theta}=1+\frac{1/9}{2/3}=1+\frac{1}{9}\cdot\frac{3}{2}=1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$$。所以 $$|EM|=\frac{2}{2/3} \cdot \sqrt{\frac{7}{6}} = 3 \cdot \sqrt{\frac{7}{6}} = \sqrt{\frac{63}{6}} = \sqrt{\frac{21}{2}}$$，确实不对。

可能垂直条件用错了？实际上 $$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB}=0$$ 意味着 $$M$$ 在 $$AB$$ 的中垂线上，即 $$ME \perp AB$$，所以 $$M$$ 是以 $$E$$ 为垂足的垂线与准线的交点。距离 $$|EM|$$ 就是 $$E$$ 到准线的距离在垂直方向上的投影？更简单：$$|EM|$$ 是点 $$E$$ 到直线 $$AB$$ 的垂足 $$M$$ 的距离，但 $$M$$ 在准线上，所以 $$|EM|$$ 是 $$E$$ 到准线的距离在法向量上的投影？

由于 $$ME \perp AB$$，且 $$M$$ 在准线 $$x=-1$$ 上，所以 $$|EM|$$ 等于点 $$E$$ 到准线的距离在法向量方向上的投影？不，准确说，$$|EM|$$ 是点 $$E$$ 到直线 $$x=-1$$ 的垂线段长度，但 $$ME$$ 方向与 $$AB$$ 垂直，所以 $$|EM|$$ 就是点 $$E$$ 到准线的距离？不，因为 $$M$$ 是垂足，所以 $$|EM|$$ 是点 $$E$$ 到准线的距离在垂直 $$AB$$ 方向上的分量？这复杂。

换方法：设 $$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$$，则 $$E(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$$。抛物线 $$y^2=4x$$，焦点 $$F(1,0)$$。弦长 $$|AB|=x_1+x_2+2=6$$（因为抛物线定义 $$|AB|=|AF|+|BF|=(x_1+1)+(x_2+1)=x_1+x_2+2$$），所以 $$x_1+x_2=4$$，则 $$x_E=2$$。

由 $$y^2=4x$$，设直线 $$AB: y=k(x-1)$$，代入得 $$k^2(x-1)^2=4x$$，即 $$k^2x^2 - (2k^2+4)x + k^2=0$$。所以 $$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}=4$$，解得 $$2k^2+4=4k^2$$，$$2k^2=4$$，$$k^2=2$$，$$k=\pm\sqrt{2}$$。

则 $$x_1x_2=\frac{k^2}{k^2}=1$$。$$y_1+y_2=k(x_1-1)+k(x_2-1)=k(x_1+x_2-2)=k(4-2)=2k$$，所以 $$y_E=k$$。

所以 $$E(2,k)$$，其中 $$k=\pm\sqrt{2}$$。

条件 $$(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}) \cdot \overrightarrow{AB}=0$$ 即 $$2\overrightarrow{ME} \cdot \overrightarrow{AB}=0$$，所以 $$ME \perp AB$$。设 $$M(-1,m)$$，则 $$\overrightarrow{ME}=(3, k-m)$$，$$\overrightarrow{AB}$$ 方向为 $$(1,k)$$（因为直线斜率 $$k$$）。点积：$$3\cdot 1 + (k-m)\cdot k=0$$，即 $$3 + k^2 - k m=0$$。

代入 $$k^2=2$$：$$3+2-k m=0$$，所以 $$k m=5$$，$$m=5/k$$。

于是 $$M(-1,5/k)$$。求 $$|EM|=\sqrt{(2-(-1))^2 + (k-5/k)^2} = \sqrt{9 + \left(k-\frac{5}{k}\right)^2}$$。

$$k^2=2$$，所以 $$k-\frac{5}{k} = k-\frac{5}{k}$$，平方得 $$k^2 -10 + \frac{25}{k^2} = 2 -10 + \frac{25}{2} = -8 + 12.5 = 4.5 = \frac{9}{2}$$。

所以 $$|EM|=\sqrt{9 + \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{18+9}{2}} = \sqrt{\frac{27}{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$$。

答案：D. $$\frac{3\sqrt{6}}{2}$$

4. 已知抛物线 $$y^2=4x$$ 的焦点为 $$F$$，点 $$P$$ 在该抛物线上，且 $$P$$ 的横坐标为 $$4$$，则 $$|PF|=$$（ ）。

解析：抛物线 $$y^2=4x$$，焦点 $$F(1,0)$$，准线 $$x=-1$$。由抛物线定义，点 $$P$$ 到焦点距离等于到准线距离。$$P$$ 横坐标 $$x=4$$，到准线距离为 $$4-(-1)=5$$，所以 $$|PF|=5$$。

答案：D. $$5$$

5. 已知抛物线 $$y^2=2px (p>0)$$ 的焦点为 $$F$$，准线为 $$l$$，$$P$$ 是抛物线上位于第一象限内的一点，$$PF$$ 的延长线交 $$l$$ 于点 $$Q$$，且 $$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{FQ}, |PQ|=8$$，则直线 $$PQ$$ 的方程为（ ）。

解析：由 $$\overrightarrow{PF}=\overrightarrow{FQ}$$ 知 $$F$$ 是 $$PQ$$ 中点。设 $$F(\frac{p}{2},0)$$，准线 $$l: x=-\frac{p}{2}$$。设 $$P(x_0,y_0)$$ 在第一象限，则 $$y_0^2=2p x_0$$。$$Q$$ 在准线上，设 $$Q(-\frac{p}{2}, y_Q)$$。由中点公式，$$\frac{x_0+(-\frac{p}{2})}{2}=\frac{p}{2}$$，所以 $$x_0-\frac{p}{2}=p$$，$$x_0=\frac{3p}{2}$$。

代入抛物线：$$y_0^2=2p \cdot \frac{3p}{2} = 3p^2$$，所以 $$y_0=\sqrt{3}p$$（第一象限取正）。

又 $$|PQ|=8$$。$$P(\frac{3p}{2},\sqrt{3}p)$$，$$Q(-\frac{p}{2}, y_Q)$$。由中点，$$y_Q=2\times 0 - y_0 = -y_0 = -\sqrt{3}p$$。所以 $$ _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}