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正确率80.0%已知点$$A (-2， 0 )， B ( 3， 0 )，$$动点$$P ( x， ~ y )$$满足$$\overrightarrow{P A} \cdot\overrightarrow{P B}=x^{2}，$$则点$${{P}}$$的轨迹是（）
D
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
2、['两点间的斜率公式'， '一元二次方程根与系数的关系'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '直线与抛物线的综合应用']正确率19.999999999999996%已知抛物线$$E_{\colon} ~ y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$，直线$${{l}}$$过$${{E}}$$的焦点，交$${{E}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{A}}$$在$${{x}}$$轴上方，$${{M}}$$是$${{E}}$$的准线上一点，$${{A}{M}}$$平行于$${{x}}$$轴，$${{O}}$$为坐标原点，若$$\frac{| O M |} {| O B |}=4，$$则$${{l}}$$的斜率为（）
D
A.$$- \frac{4} {3}$$
B.$$- \frac{3} {4}$$
C.$$\frac{3} {4}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
正确率60.0%点$$M ( 5， \ 3 )$$到抛物线$${{y}{=}{a}{{x}^{2}}}$$的准线的距离为$${{6}{，}}$$那么抛物线的标准方程是（）
D
A.$$x^{2}=\frac{1} {1 2} y$$
B.$$x^{2}=\frac{1} {1 2} y$$或$$x^{2}=-\frac{1} {3 6} y$$
C.$$x^{2}=-\frac{1} {3 6} y$$
D.$$x^{2}=1 2 y$$或$$x^{2}=-3 6 y$$
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率80.0%顶点在坐标原点，准线方程为$${{y}{=}{−}{2}}$$的抛物线的方程为（）
A
A.$$x^{2}=8 y$$
B.$$x^{2}=4 y$$
C.$$y^{2}=8 x$$
D.$$y^{2}=4 x$$
5、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率80.0%抛物线$$y=\frac{1} {4} x^{2}$$的准线方程为（）
A
A.$${{y}{=}{−}{1}}$$
B.$${{y}{=}{1}}$$
C.$${{x}{=}{−}{1}}$$
D.$$x=-\frac{1} {1 6}$$
7、['平面上中点坐标公式'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用']正确率40.0%已知抛物线$$x^{2}=-2 p y ( p > 0 )$$的焦点坐标为$${{F}{(}{0}}$$，一$${{3}{)}}$$，则直线：$${{y}{=}{x}}$$被抛物线截得的弦的中 点坐标为
C
A.$$(-2，-2 )$$
B.$$(-3，-3 )$$
C.$$(-6，-6 )$$
D.$$( 6， 6 )$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率40.0%已知抛物线的方程为$$y=2 p x^{2}$$且过点$$( 1， \ 4 )$$，则抛物线的焦点坐标为（）
C
A.$$( {\bf1}， \enspace0 )$$
B.$$( {\frac{1} {1 6}}， ~ 0 )$$
C.$$( 0， ~ \frac{1} {1 6} )$$
D.$$( {\bf0}， \mathrm{\bf~ 1} )$$
10、['点到直线的距离'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%抛物线$$y^{2}=2 p x$$与直线$$a x+y-4=0$$的一个交点是$$( 1， 2 )$$，则抛物线的焦点到该直线 的距离是 $${{(}{)}}$$
B
A.$${\frac{3} {2}} \sqrt{3}$$
B.$$\frac{2} {5} \sqrt{5}$$
C.$$\frac{7 \sqrt{5}} {1 0}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 7}} {2}$$
1. 解析：
向量 $$\overrightarrow{PA} = (-2 - x, -y)$$，$$\overrightarrow{PB} = (3 - x, -y)$$。
根据题意：$$\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} = (-2 - x)(3 - x) + (-y)(-y) = x^2$$。
展开化简：$$-6 + 2x - 3x + x^2 + y^2 = x^2$$，即 $$-6 - x + y^2 = 0$$。
整理得：$$y^2 = x + 6$$，这是一条抛物线。故选 D。
2. 解析：
抛物线 $$E: y^2 = 2px$$ 的焦点为 $$(\frac{p}{2}, 0)$$，准线为 $$x = -\frac{p}{2}$$。
设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - \frac{p}{2})$$。
联立抛物线方程：$$k^2(x - \frac{p}{2})^2 = 2px$$，整理得：$$k^2x^2 - (k^2p + 2p)x + \frac{k^2p^2}{4} = 0$$。
设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$，则 $$x_1 + x_2 = \frac{k^2p + 2p}{k^2}$$，$$x_1x_2 = \frac{p^2}{4}$$。
由题意，$$M(-\frac{p}{2}, y_1)$$，且 $$|OM| = 4|OB|$$，即 $$\sqrt{(-\frac{p}{2})^2 + y_1^2} = 4\sqrt{x_2^2 + y_2^2}$$。
化简得：$$\frac{p^2}{4} + y_1^2 = 16(x_2^2 + y_2^2)$$。
代入 $$y_1^2 = 2px_1$$ 和 $$y_2^2 = 2px_2$$，解得 $$k = \frac{3}{4}$$。故选 C。
3. 解析：
抛物线 $$y = ax^2$$ 的标准形式为 $$x^2 = \frac{1}{a}y$$，其准线为 $$y = -\frac{1}{4a}$$。
点 $$M(5, 3)$$ 到准线的距离为 $$|3 - (-\frac{1}{4a})| = 6$$。
解得 $$\frac{1}{4a} = 3$$ 或 $$\frac{1}{4a} = -9$$，即 $$a = \frac{1}{12}$$ 或 $$a = -\frac{1}{36}$$。
因此抛物线的标准方程为 $$x^2 = \frac{1}{12}y$$ 或 $$x^2 = -\frac{1}{36}y$$。故选 B。
4. 解析：
准线为 $$y = -2$$，说明抛物线开口向上，标准方程为 $$x^2 = 4py$$。
由准线方程 $$y = -p = -2$$，得 $$p = 2$$。
因此抛物线方程为 $$x^2 = 8y$$。故选 A。
5. 解析：
抛物线 $$y = \frac{1}{4}x^2$$ 可写成 $$x^2 = 4y$$，其准线为 $$y = -1$$。故选 A。
7. 解析：
抛物线 $$x^2 = -2py$$ 的焦点为 $$(0, -\frac{p}{2})$$，已知焦点为 $$(0, -3)$$，故 $$p = 6$$。
抛物线方程为 $$x^2 = -12y$$。
联立直线 $$y = x$$，得 $$x^2 = -12x$$，解得 $$x = 0$$ 或 $$x = -12$$。
交点坐标为 $$(0, 0)$$ 和 $$(-12, -12)$$，中点坐标为 $$(-6, -6)$$。故选 C。
8. 解析：
抛物线方程为 $$y = 2px^2$$，过点 $$(1, 4)$$，代入得 $$4 = 2p \cdot 1$$，故 $$p = 2$$。
标准形式为 $$x^2 = \frac{1}{2p}y = \frac{1}{4}y$$，其焦点为 $$(0, \frac{1}{16})$$。故选 C。
10. 解析：
交点为 $$(1, 2)$$，代入抛物线 $$y^2 = 2px$$ 得 $$4 = 2p$$，故 $$p = 2$$。
抛物线焦点为 $$(1, 0)$$。
直线方程为 $$ax + y - 4 = 0$$，代入交点得 $$a + 2 - 4 = 0$$，故 $$a = 2$$。
直线方程为 $$2x + y - 4 = 0$$。
焦点 $$(1, 0)$$ 到直线的距离为 $$\frac{|2 \cdot 1 + 0 - 4|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$。故选 B。