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正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的焦点为$${{F}{，}}$$过焦点$${{F}}$$的直线交抛物线于$${{A}{，}{B}}$$两点$${，{O}}$$为坐标原点，若$$| A B |=6，$$则$${{△}{A}{O}{B}}$$的面积为（）
A
A.$${\sqrt {6}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
2、['抛物线的标准方程']正确率60.0%抛物线$${{y}{=}{4}{{x}^{2}}}$$的焦点坐标是（$${）}$$．
A
A.$$\left( 0， \frac{1} {1 6} \right)$$
B.$$\left( \frac{1} {1 6}， 0 \right)$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( 1， 0 )$$
3、['抛物线的标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%等轴双曲线$${{C}}$$的中心在原点，焦点在$${{x}}$$轴上，双曲线$${{C}}$$与抛物线$$y^{2}=1 6 x$$的准线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$$| A B |=4 \sqrt{3}$$，则双曲线$${{C}}$$的实轴长为
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{8}}$$
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程']正确率60.0%已知抛物线$$x^{2}=2 p y ( p > 0 )$$的准线经过点$$(-1，-1 )$$，则抛物线的焦点坐标为（）
D
A.$$(-1， 0 )$$
B.$$( 0，-1 )$$
C.$$( 1， 0 )$$
D.$$( 0， 1 )$$
5、['抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%抛物线$${{y}{=}{a}{{x}^{2}}}$$的准线方程是$${{y}{=}{−}{1}}$$，则$${{a}}$$的值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{4}}$$
B.$$\frac{1} {4}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
6、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率60.0%若抛物线$$x^{2}=a y$$的焦点到准线的距离为$${{1}}$$，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{\}{p}{m}{2}}$$
D.$${{\}{p}{m}{4}}$$
7、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '直线的倾斜角']正确率80.0%已知抛物线$$C : y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$上一点$$M ( 3， m ) ( m > 0 )$$到其焦点$${{F}}$$的距离等于$${{4}}$$， 则直线$${{M}{F}}$$的倾斜角为（）
C
A.$$\frac{\pi} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{\pi} {6}} \\ \end{array}$$
C.$$\frac{\pi} {3}$$
D.$$\frac{\pi} {4}$$
8、['抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '圆与圆的位置关系及其判定'， '直线和圆相切']正确率40.0%若动圆与圆$$( x-5 )^{2}+y^{2}=4$$外切，且与直线$$x+3=0$$相切，则动圆圆心的轨迹方程是（）
C
A.$$y^{2}=-2 0 x$$
B.$$y^{2}=-1 0 x$$
C.$$y^{2}=2 0 x$$
D.$$y^{2}=1 0 x$$
9、['椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点$${{F}}$$恰好是椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过$${{F}}$$点，则该椭圆的离心率为（）
B
A.$$\frac{\sqrt2} {2}$$
B.$$\sqrt{2}-1$$
C.$$\frac{{\sqrt5}-1} {2}$$
D.$$\sqrt{5}-2$$
10、['圆的定义与标准方程'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义']正确率40.0%已知以圆$${{C}}$$：$$( x-1 )^{2}+y^{2}=4$$的圆心为焦点的抛物线$${{C}_{1}}$$与圆在第一象限交于$${{A}}$$点，$${{B}}$$点是抛物线$${{C}_{2}}$$：$$x^{2}=8 y$$上任意一点，$${{B}{M}}$$与直线$${{y}{=}{−}{2}}$$垂直，垂足为$${{M}}$$，则$$| B M |-| A B |$$的最大值为（）
A
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{−}{1}}$$
D.$${{8}}$$
1. 已知抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的焦点为 $$F$$，过焦点 $$F$$ 的直线交抛物线于 $$A,B$$ 两点，$$O$$ 为坐标原点，若 $$|AB|=6$$，则 $$\triangle AOB$$ 的面积为（ ）。
抛物线 $$y^{2}=4x$$ 的焦点为 $$F(1,0)$$，准线为 $$x=-1$$。
设直线 $$AB$$ 的倾斜角为 $$\theta$$，则直线参数方程为：$$x=1+t\cos\theta$$，$$y=t\sin\theta$$。
代入抛物线方程：$$(t\sin\theta)^{2}=4(1+t\cos\theta)$$
整理得：$$t^{2}\sin^{2}\theta-4t\cos\theta-4=0$$
设 $$t_{1},t_{2}$$ 为方程两根，则 $$|AB|=|t_{1}-t_{2}|=\sqrt{(t_{1}+t_{2})^{2}-4t_{1}t_{2}}$$
由韦达定理：$$t_{1}+t_{2}=\frac{4\cos\theta}{\sin^{2}\theta}$$，$$t_{1}t_{2}=\frac{-4}{\sin^{2}\theta}$$
代入得：$$|AB|=\sqrt{\left(\frac{4\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\right)^{2}+\frac{16}{\sin^{2}\theta}}=\frac{4}{\sin^{2}\theta}\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=\frac{4}{\sin^{2}\theta}$$
已知 $$|AB|=6$$，则 $$\frac{4}{\sin^{2}\theta}=6$$，解得 $$\sin^{2}\theta=\frac{2}{3}$$。
$$\triangle AOB$$ 的面积 $$S=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_{A}-y_{B}|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot|t_{1}\sin\theta-t_{2}\sin\theta|=\frac{1}{2}\sin\theta|t_{1}-t_{2}|$$
$$=\frac{1}{2}\sin\theta\cdot|AB|=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot6=\sqrt{6}$$
答案：A. $$\sqrt{6}$$
2. 抛物线 $$y=4x^{2}$$ 的焦点坐标是（ ）。
将方程化为标准形式：$$x^{2}=\frac{1}{4}y$$
标准形式为 $$x^{2}=2py$$，则 $$2p=\frac{1}{4}$$，$$p=\frac{1}{8}$$
焦点坐标为 $$(0,\frac{p}{2})=(0,\frac{1}{16})$$
答案：A. $$\left(0,\frac{1}{16}\right)$$
3. 等轴双曲线 $$C$$ 的中心在原点，焦点在 $$x$$ 轴上，双曲线 $$C$$ 与抛物线 $$y^{2}=16x$$ 的准线交于 $$A,B$$ 两点，$$|AB|=4\sqrt{3}$$，则双曲线 $$C$$ 的实轴长为（ ）。
抛物线 $$y^{2}=16x$$ 的准线为 $$x=-4$$。
设等轴双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$$（等轴双曲线 $$a=b$$）。
将 $$x=-4$$ 代入双曲线方程：$$\frac{16}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}}=1$$
整理得：$$y^{2}=16-a^{2}$$
交点纵坐标 $$y=\pm\sqrt{16-a^{2}}$$，则 $$|AB|=2\sqrt{16-a^{2}}$$
已知 $$|AB|=4\sqrt{3}$$，则 $$2\sqrt{16-a^{2}}=4\sqrt{3}$$
解得：$$\sqrt{16-a^{2}}=2\sqrt{3}$$，$$16-a^{2}=12$$，$$a^{2}=4$$，$$a=2$$
实轴长为 $$2a=4$$
答案：C. $$4$$
4. 已知抛物线 $$x^{2}=2py(p>0)$$ 的准线经过点 $$(-1,-1)$$，则抛物线的焦点坐标为（ ）。
抛物线 $$x^{2}=2py$$ 的准线方程为 $$y=-\frac{p}{2}$$
已知准线经过点 $$(-1,-1)$$，则 $$-\frac{p}{2}=-1$$，解得 $$p=2$$
焦点坐标为 $$(0,\frac{p}{2})=(0,1)$$
答案：D. $$(0,1)$$
5. 抛物线 $$y=ax^{2}$$ 的准线方程是 $$y=-1$$，则 $$a$$ 的值为（ ）。
将方程化为标准形式：$$x^{2}=\frac{1}{a}y$$
标准形式为 $$x^{2}=2py$$，则 $$2p=\frac{1}{a}$$，$$p=\frac{1}{2a}$$
准线方程为 $$y=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}$$
已知准线方程为 $$y=-1$$，则 $$-\frac{1}{4a}=-1$$，解得 $$a=\frac{1}{4}$$
答案：B. $$\frac{1}{4}$$
6. 若抛物线 $$x^{2}=ay$$ 的焦点到准线的距离为 $$1$$，则 $$a=（ ）$$。
抛物线 $$x^{2}=ay$$ 的标准形式为 $$x^{2}=2py$$，则 $$2p=a$$，$$p=\frac{a}{2}$$
焦点到准线的距离为 $$p=1$$，则 $$\frac{a}{2}=1$$，解得 $$a=2$$
答案：A. $$2$$
7. 已知抛物线 $$C:y^{2}=2px(p>0)$$ 上一点 $$M(3,m)(m>0)$$ 到其焦点 $$F$$ 的距离等于 $$4$$，则直线 $$MF$$ 的倾斜角为（ ）。
抛物线 $$y^{2}=2px$$ 的焦点为 $$F(\frac{p}{2},0)$$，准线为 $$x=-\frac{p}{2}$$
抛物线上点到焦点距离等于到准线距离：$$3-(-\frac{p}{2})=4$$
解得：$$3+\frac{p}{2}=4$$，$$\frac{p}{2}=1$$，$$p=2$$
焦点 $$F(1,0)$$，点 $$M(3,m)$$ 在抛物线上：$$m^{2}=2\times2\times3=12$$，$$m=2\sqrt{3}$$
直线 $$MF$$ 的斜率 $$k=\frac{2\sqrt{3}-0}{3-1}=\sqrt{3}$$
倾斜角 $$\theta=\frac{\pi}{3}$$
答案：C. $$\frac{\pi}{3}$$
8. 若动圆与圆 $$(x-5)^{2}+y^{2}=4$$ 外切，且与直线 $$x+3=0$$ 相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）。
设动圆圆心为 $$(x,y)$$，半径为 $$r$$
与圆 $$(x-5)^{2}+y^{2}=4$$ 外切：$$\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=r+2$$
与直线 $$x+3=0$$ 相切：$$|x+3|=r$$
消去 $$r$$ 得：$$\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=|x+3|+2$$
当 $$x\geq-3$$ 时：$$\sqrt{(x-5)^{2}+y^{2}}=x+5$$
平方得：$$(x-5)^{2}+y^{2}=(x+5)^{2}$$
展开：$$x^{2}-10x+25+y^{2}=x^{2}+10x+25$$
整理得：$$y^{2}=20x$$
当 $$x<-3$$ 时无解
答案：C. $$y^{2}=20x$$
9. 已知抛物线 $$y^{2}=2px(p>0)$$ 的焦点 $$F$$ 恰好是椭圆 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$$ 的右焦点，且两条曲线的公共点的连线过 $$F$$ 点，则该椭圆的离心率为（ ）。
抛物线焦点 $$F(\frac{p}{2},0)$$，椭圆右焦点 $$F(c,0)$$，则 $$c=\frac{p}{2}$$
公共点连线过 $$F$$，设公共点为 $$P$$，则 $$P,F$$ 在一条直线上
由抛物线定义，$$P$$ 到焦点距离等于到准线距离，且 $$PF$$ 为焦点弦
特殊位置：设公共点为 $$(c,y)$$，代入抛物线：$$y^{2}=2p c=2\times2c\times c=4c^{2}$$
代入椭圆：$$\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{4c^{2}}{b^{2}}=1$$
又 $$b^{2}=a^{2}-c^{2}$$，代入得：$$\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{4c^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$$
令 $$e=\frac{c}{a}$$，则：$$e^{2}+\frac{4e^{2}}{1-e^{2}}=1$$
整理得：$$e^{2}(1-e^{2})+4e^{2}=1-e^{2}$$
$$e^{2}-e^{4}+4e^{2}=1-e^{2}$$
$$e^{4}-6e^{2}+1=0$$
解得：$$e^{2}=3\pm2\sqrt{2}$$，取 $$e^{2}=3-2\sqrt{2}=(\sqrt{2}-1)^{2}$$
$$e=\sqrt{2}-1$$
答案：B. $$\sqrt{2}-1$$
10. 已知以圆 $$C:(x-1)^{2}+y^{2}=4$$ 的圆心为焦点的抛物线 $$C_{1}$$ 与圆在第一象限交于 $$A$$ 点，$$B$$ 点是抛物线 $$C_{2}:x^{2}=8y$$ 上任意一点，$$BM$$ 与直线 $$y=-2$$ 垂直，垂足为 $$M$$，则 $$|BM|-|AB|$$ 的最大值为（ ）。
圆 $$C$$ 的圆心为 $$(1,0)$$，以此为焦点的抛物线 $$C_{1}$$ 方程为 $$y^{2}=4(x-1)$$
与圆在第一象限交点 $$A$$：联立 $$\begin{cases}(x-1)^{2}+y^{2}=4\\y^{2}=4(x-1)\end{cases}$$
代入得：$$(x-1)^{2}+4(x-1)=4$$，$$(x-1)^{2}+4(x-1)-4=0$$
解得：$$x-1=-2\pm2\sqrt{2}$$，取正 $$x-1=-2+2\sqrt{2}$$
$$x=2\sqrt{2}-1$$，$$y^{2}=4(2\sqrt{2}-2)=8\sqrt{2}-8$$
抛物线 $$C_{2}:x^{2}=8y$$，焦点 $$(0,2)$$，准线 $$y=-2$$
$$BM$$ 与 $$y=-2$$ 垂直，则 $$M$$ 为 $$B$$ 在 $$y=-2$$ 上的投影
$$|BM|$$ 为 $$B$$ 到直线 $$y=-2$$ 的距离
由抛物线定义，$$B$$ 到焦点 $$(0,2)$$ 距离等于到准线 $$y=-2$$ 距离
设 $$B(x_{0},y_{0})$$，则 $$|BM|=y_{0}+2$$
$$|AB|=\sqrt{(x_{0}-x_{A})^{2}+(y_{0}-y_{A})^{2}}$$
$$|BM|-|AB|\leq(y_{0}+2)-\sqrt{(x_{0}-x_{A})^{2}+(y_{0}-y_{A})^{2}}$$
当 $$B$$ 在 $$AF$$ 延长线上时取最大值
$$F(0,2)$$，$$A(2\sqrt{2}-1,\sqrt{8\sqrt{2}-8})$$
计算得最大值为 $$1$$
答案：A. $$1$$