.jpg)
正确率60.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，点$${{A}{，}{B}}$$分别在双曲线$${{C}}$$的两条渐近线上，$${{A}{F}{⊥}{x}}$$轴，$$\overrightarrow{B O} \cdot\overrightarrow{B A} < 0$$，四边形$${{O}{A}{F}{B}}$$为梯形，则双曲线$${{C}}$$离心率的取值范围是
A
A.$$( 1， \frac{2 \sqrt{3}} {3} )$$
B.$$( \frac{2 \sqrt{3}} {3}，+\infty)$$
C.$${{(}{1}{，}{2}{\sqrt {3}}{)}}$$
D.$${{(}{2}{\sqrt {3}}{，}{+}{∞}{)}}$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} 2=1 \ ( 0 < a < \sqrt2 )$$的两条渐近线的一个夹角为$$\frac{\pi} {3}，$$则双曲线的离心率为（）
D
A.$$\frac{2} {3} \sqrt{3}$$
B.$$\frac{2} {3} \sqrt{6}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%若双曲线$$x^{2}+\frac{y^{2}} {m}=1$$的离心率大于$${{2}}$$，则$${{m}}$$的取值范围为（）
D
A.$${（{−}{1}{，}{0}{）}}$$
B.$${（{−}{3}{，}{0}{）}}$$
C.$${（{−}{∞}{，}{−}{1}{）}}$$
D.$${（{−}{∞}{，}{−}{3}{）}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两条直线平行']正确率60.0%已知焦点在$${{x}}$$轴上且对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线$${{x}{+}{2}{y}{−}{3}{=}{0}}$$，则该双曲线的离心率为
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
6、['双曲线的离心率'， '点到直线的距离'， '双曲线的渐近线']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {4}=1 ( a > 0 )$$上的一点$${{C}}$$作两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为$${{A}{，}{B}}$$，若平行四边形$${{O}{A}{C}{B}}$$的面积为$${{3}}$$，则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt{1 3}} {3}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{A}}$$是曲线$${{C}}$$的左顶点，过$${{F}_{2}}$$作$${{C}}$$的一条渐近线的垂线，垂足为$${{P}}$$，若$${{|}{P}{A}{|}{=}{2}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{1+\sqrt{2}} {2}$$
D.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的离心率为$${\sqrt {5}{，}}$$从$${{C}}$$的右焦点$${{F}}$$引渐近线的垂线，垂足为$${{A}}$$，若$${{△}{A}{F}{O}}$$的面积为$${{1}}$$，则双曲线$${{C}}$$的方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
D.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
9、['双曲线的离心率']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$上一点与其左顶点$${、}$$右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '平面解析几何的新定义问题'， '椭圆的离心率']正确率40.0%若椭圆与双曲线的离心率之积等于$${{1}}$$，则称这组椭圆和双曲线为孪生曲线．已知曲线$$C_{1} \colon~ \frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {2 5}=1$$与双曲线$${{C}_{2}}$$是孪生曲线，且曲线$${{C}_{2}}$$与曲线$${{C}_{1}}$$的焦点相同，则曲线$${{C}_{2}}$$的渐近线方程为（）
D
A.$$y=\frac{3} {4} x$$
B.$$y=\pm\frac{3} {4} x$$
C.$$y=\frac{4} {3} x$$
D.$$y=\pm\frac{4} {3} x$$
1. 解析：
双曲线 $$C$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。设右焦点 $$F = (c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。
因为 $$AF \perp x$$ 轴，所以点 $$A$$ 的坐标为 $$(c, \frac{b}{a}c)$$ 或 $$(c, -\frac{b}{a}c)$$。由于四边形 $$OAFB$$ 为梯形，且 $$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BA} < 0$$，说明 $$B$$ 位于渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 上，且 $$A$$ 的坐标为 $$(c, \frac{b}{a}c)$$。
梯形 $$OAFB$$ 的条件意味着 $$OF \parallel BA$$，即 $$B$$ 的坐标为 $$(-a, -b)$$。代入 $$\overrightarrow{BO} \cdot \overrightarrow{BA} = (a, b) \cdot (c + a, \frac{b}{a}c + b) = a(c + a) + b\left(\frac{b}{a}c + b\right) < 0$$。
化简得 $$ac + a^2 + \frac{b^2}{a}c + b^2 < 0$$，即 $$c(a + \frac{b^2}{a}) + a^2 + b^2 < 0$$。因为 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$，代入后解得 $$\frac{b}{a} > \sqrt{2}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} > \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$$。但题目要求 $$e$$ 的范围是 $$(1, \frac{2\sqrt{3}}{3})$$ 或 $$(\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$$，结合推导结果，正确答案为 $$(\frac{2\sqrt{3}}{3}, +\infty)$$，故选 B。
2. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{a}x$$。题目给出两条渐近线的夹角为 $$\frac{\pi}{3}$$，即斜率为 $$\pm \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$。
因此，$$\frac{\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，解得 $$a = \sqrt{6}$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，故选 A。
3. 解析：
双曲线的标准形式为 $$\frac{y^2}{-m} - x^2 = 1$$，其中 $$-m > 0$$，即 $$m < 0$$。
离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{1}{-m}} > 2$$，解得 $$1 + \frac{1}{-m} > 4$$，即 $$\frac{1}{-m} > 3$$，因此 $$-m < \frac{1}{3}$$，即 $$m > -\frac{1}{3}$$。
结合 $$m < 0$$，$$m$$ 的范围是 $$(-1, 0)$$，故选 A。
5. 解析：
双曲线的渐近线平行于直线 $$x + 2y - 3 = 0$$，即斜率为 $$-\frac{1}{2}$$。
因为双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，所以 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$$。
离心率 $$e = \sqrt{1 + \left(\frac{b}{a}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，故选 B。
6. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{2}{a}x$$。设点 $$C = (x_0, y_0)$$，则平行四边形的面积为 $$2 \times \left|\frac{2}{a}x_0 \times x_0\right| = 3$$，即 $$\frac{4}{a}x_0^2 = 3$$。
因为 $$C$$ 在双曲线上，$$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{4} = 1$$，代入 $$y_0 = \frac{2}{a}x_0$$ 得 $$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{4x_0^2}{4a^2} = 1$$，化简得 $$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{x_0^2}{a^2} = 1$$，矛盾。
重新推导：平行四边形的面积为 $$2 \times \left|\frac{2}{a}x_0 \times y_0\right| = 3$$，且 $$y_0 = \frac{2}{a}x_0$$，代入得 $$\frac{8}{a^2}x_0^2 = 3$$。
结合双曲线方程，解得 $$a = 2$$，离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{4}{4}} = \sqrt{2}$$，故选 C。
7. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。设 $$P$$ 在渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 上，则 $$PF_2$$ 垂直于渐近线，斜率为 $$-\frac{a}{b}$$。
由 $$|PA| = 2|PF_2|$$，利用几何关系可得 $$e = 1 + \sqrt{2}$$，故选 A。
8. 解析：
双曲线的离心率 $$e = \sqrt{5}$$，即 $$\frac{c}{a} = \sqrt{5}$$，因此 $$c = a\sqrt{5}$$，$$b = 2a$$。
右焦点 $$F = (a\sqrt{5}, 0)$$，渐近线为 $$y = \pm 2x$$。垂线 $$AF$$ 的斜率为 $$\frac{1}{2}$$，方程为 $$y = \frac{1}{2}(x - a\sqrt{5})$$。
交点 $$A$$ 为 $$\left(\frac{a\sqrt{5}}{5}, -\frac{2a\sqrt{5}}{5}\right)$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times a\sqrt{5} \times \frac{2a\sqrt{5}}{5} = 1$$，解得 $$a = 2$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$，故选 B。
9. 解析：
设双曲线的左顶点为 $$(-a, 0)$$，右焦点为 $$(c, 0)$$。等腰三角形的顶点为 $$(c, c + a)$$ 或 $$(c, -(c + a))$$。
代入双曲线方程 $$\frac{c^2}{a^2} - \frac{(c + a)^2}{b^2} = 1$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$e = 2$$，故选 C。
10. 解析：
椭圆 $$C_1$$ 的离心率 $$e_1 = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$$。双曲线 $$C_2$$ 的离心率 $$e_2 = \frac{1}{e_1} = \frac{5}{4}$$。
因为 $$C_2$$ 与 $$C_1$$ 的焦点相同，所以 $$c = 4$$，$$a = \frac{c}{e_2} = \frac{16}{5}$$，$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \frac{12}{5}$$。
渐近线斜率为 $$\pm \frac{b}{a} = \pm \frac{3}{4}$$，故选 B。