双曲线的定义-3.2 双曲线知识点回顾进阶单选题自测题答案-山东省等高一数学选择必修,平均正确率55.99999999999999%

1、['正弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知$${{Δ}{A}{B}{C}}$$的顶点$${{A}{，}{B}}$$分别为双曲线$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，顶点$${{C}}$$在双曲线$${{E}}$$上，若$$\frac{| \operatorname{s i n} A-\operatorname{s i n} B |} {\operatorname{s i n} C}$$的值为$$\frac{2 \sqrt{7}} {7}，$$则双曲线$${{E}}$$的离心率为

A.$$\frac{2 \sqrt{7}} {3}$$

B.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$

C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

D.$${\sqrt {7}}$$

2、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}}$$点$${{M}}$$是双曲线右支上一点$${，{|}{O}{M}{|}{=}{|}{O}{{F}_{2}}{|}{(}{O}}$$为坐标原点)，且$$\frac{| M F_{1} |} {| M F_{2} |}=\frac{3} {2}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）

A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$

B.$${{2}{\sqrt {{1}{3}}}}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$

D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

3、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$为双曲线$${{C}{：}{{x}^{2}}{−}{{y}^{2}}{=}{2}}$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$在$${{C}}$$上，$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则$${{c}{o}{s}{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}}$$（）

A.$$\frac{1} {4}$$

B.$$\frac{3} {5}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

4、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若$${{P}}$$为双曲线上一点，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则双曲线离心率$${{e}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$${{(}{1}{，}{3}{)}}$$

B.$${{(}{1}{，}{3}{]}}$$

C.$${{(}{3}{，}{+}{∞}{)}}$$

D.$${{(}{0}{，}{3}{]}}$$

5、['充分、必要条件的判定'， '充要条件'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知平面内有两个定点$${{A}{，}{B}}$$及动点$${{P}}$$，则$${{“}{{|}{{|}{P}{A}{|}}{−}{{|}{P}{B}{|}}{|}}}$$等于常数$${{”}}$$是$${{“}}$$点$${{P}}$$的轨迹是以$${{A}{，}{B}}$$为焦点的双曲线$${{”}}$$的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线与双曲线的右支交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{△}{{F}_{1}}{A}{B}}$$是以$${{A}}$$为直角顶点的等腰直角三角形，若该双曲线离心率为$${{e}}$$，则$${{e}^{2}{=}{（}}$$）

A.$${{1}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

B.$${{4}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{3}{+}{2}{\sqrt {2}}}$$

D.$${{5}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$

7、['圆与圆的位置关系及其判定'， '双曲线的定义'， '与圆有关的轨迹问题']

正确率40.0%一动圆与圆$${{O}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$外切，而与圆$${{C}{:}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{6}{x}{+}{8}{=}{0}}$$内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）

A.双曲线的一支

B.椭圆

C.抛物线

D.圆

9、['双曲线的离心率'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '抛物线的焦点弦问题'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$与抛物线$${{y}^{2}{=}{{1}{6}}{x}}$$有一个公共的焦点$${{F}}$$，且两曲线的一个交点为$${{Q}}$$，若$${{|}{F}{Q}{|}{=}{{1}{0}}}$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${\sqrt {6}}$$

D.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$

10、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$为双曲线上一点，$${{P}{{F}_{1}}}$$中点$${{M}}$$在$${{y}}$$轴上，则$$\frac{| P F_{2} |} {| P F_{1} |}$$等于（）

A.$$\frac{5} {2}$$

B.$${{2}}$$

C.$$\frac{1} {2}$$

D.$$\frac{2} {5}$$

1. 解析：

首先，双曲线$$E$$的焦点为$$A(-c,0)$$和$$B(c,0)$$，顶点$$C$$在双曲线上。根据正弦定理，$$\frac{| \sin A - \sin B |}{\sin C} = \frac{|a - b|}{c}$$，其中$$a, b, c$$为三角形的边长。题目给出$$\frac{|a - b|}{c} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$$。

由于$$C$$在双曲线上，$$|CA - CB| = 2a$$（双曲线定义）。设$$CA = 2a + CB$$，代入正弦定理关系，结合双曲线性质$$c^2 = a^2 + b^2$$，解得离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{2\sqrt{7}}{3}$$。故选A。

2. 解析：

双曲线的右焦点$$F_2$$坐标为$$(c,0)$$，$$|OM| = |OF_2| = c$$，故$$M$$在圆$$x^2 + y^2 = c^2$$上。由双曲线定义，$$|MF_1| - |MF_2| = 2a$$，且题目给出$$\frac{|MF_1|}{|MF_2|} = \frac{3}{2}$$，解得$$|MF_2| = 4a$$，$$|MF_1| = 6a$$。

在$$△OMF_2$$中，$$OM = OF_2 = c$$，$$MF_2 = 4a$$，由余弦定理得$$c^2 + c^2 - 16a^2 = 2c^2 \cos \theta$$。结合双曲线性质$$c^2 = a^2 + b^2$$，最终解得离心率$$e = \frac{\sqrt{13}}{2}$$。故选C。

3. 解析：

双曲线$$C: x^2 - y^2 = 2$$的标准形式为$$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$$，焦距$$c = 2$$，$$F_1 = (-2,0)$$，$$F_2 = (2,0)$$。点$$P$$在双曲线上，且$$|PF_1| = 2|PF_2|$$。

设$$|PF_2| = d$$，则$$|PF_1| = 2d$$，由双曲线定义$$2d - d = 2a = 2\sqrt{2}$$，解得$$d = 2\sqrt{2}$$，$$|PF_1| = 4\sqrt{2}$$。在$$△F_1PF_2$$中，利用余弦定理：$$\cos \angle F_1PF_2 = \frac{(4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 4^2}{2 \times 4\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}} = \frac{32 + 8 - 16}{32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$$。故选C。

4. 解析：

双曲线定义$$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，题目给出$$|PF_1| = 2|PF_2|$$，设$$|PF_2| = d$$，则$$|PF_1| = 2d$$，代入得$$2d - d = 2a$$，即$$d = 2a$$，$$|PF_1| = 4a$$。

在$$△PF_1F_2$$中，$$|F_1F_2| = 2c$$，由三角形不等式$$|PF_1| - |PF_2| < |F_1F_2|$$，即$$2a < 2c$$，故$$e = \frac{c}{a} > 1$$。同时，$$|PF_1| + |PF_2| > |F_1F_2|$$，即$$6a > 2c$$，故$$e < 3$$。综上，$$e \in (1,3)$$。故选A。

5. 解析：

“$$||PA| - |PB||$$等于常数”是点$$P$$的轨迹为双曲线的必要条件，但非充分条件，因为常数必须小于$$|AB|$$且不为零才能保证轨迹是双曲线。若常数等于$$|AB|$$，轨迹为射线；若常数大于$$|AB|$$，轨迹不存在。因此，条件是必要不充分的。故选B。

6. 解析：

设$$△F_1AB$$为等腰直角三角形，$$A$$为直角顶点，则$$|F_1A| = |AB|$$。设$$|F_2A| = x$$，由双曲线定义$$|F_1A| - |F_2A| = 2a$$，即$$|AB| - x = 2a$$。

由于$$△F_1AB$$为等腰直角三角形，$$|AB| = \sqrt{2}|F_1A|$$，代入得$$\sqrt{2}(x + 2a) - x = 2a$$，解得$$x = 2a(\sqrt{2} + 1)$$。由勾股定理和双曲线性质，最终解得$$e^2 = 5 - 2\sqrt{2}$$。故选D。

7. 解析：

圆$$O: x^2 + y^2 = 1$$的半径为1，圆$$C: x^2 + y^2 - 6x + 8 = 0$$可化为$$(x-3)^2 + y^2 = 1$$，半径为1，圆心为$$(3,0)$$。设动圆圆心为$$P$$，半径为$$r$$。

由题意，$$|PO| = r + 1$$（外切），$$|PC| = r - 1$$（内切），故$$|PO| - |PC| = 2$$，符合双曲线定义，且$$P$$的轨迹为双曲线的一支。故选A。

9. 解析：

抛物线$$y^2 = 16x$$的焦点$$F = (4,0)$$，故双曲线的焦点也为$$(4,0)$$，即$$c = 4$$。设双曲线方程为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，则$$c^2 = a^2 + b^2 = 16$$。

点$$Q$$在抛物线上，设$$Q = (x, y)$$，由$$|FQ| = 10$$得$$\sqrt{(x-4)^2 + y^2} = 10$$，结合$$y^2 = 16x$$，解得$$x = 6$$，$$y = \pm 4\sqrt{6}$$。将$$Q$$代入双曲线方程，结合$$c^2 = 16$$，解得$$a^2 = 4$$，$$b^2 = 12$$，离心率$$e = \frac{c}{a} = 2$$。故选A。

10. 解析：

双曲线$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{12} = 1$$的焦点$$F_1 = (-c,0)$$，$$F_2 = (c,0)$$，其中$$c = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}$$。设$$P = (x,y)$$，$$PF_1$$的中点在$$y$$轴上，故$$\frac{x - c}{2} = 0$$，即$$x = c$$。

由双曲线定义，$$|PF_2| - |PF_1| = 2a = 6$$，且$$|PF_1| = \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2c = 2\sqrt{21}$$，故$$|PF_2| = 6 + 2\sqrt{21}$$。因此，$$\frac{|PF_2|}{|PF_1|} = \frac{6 + 2\sqrt{21}}{2\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} + 1$$，化简后为$$\frac{5}{2}$$。故选A。

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