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正确率60.0%已知$${{P}{，}{A}{，}{B}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$上不同的三点，且$${{A}{，}{B}}$$关于原点对称，若直线$${{P}{A}{，}{P}{B}}$$的斜率乘积$$k_{P A} \cdot k_{P B}={\frac{3} {4}}$$，则该双曲线的离心率是（）
C
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
2、['双曲线的离心率'， '直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}{，}{P}}$$是$${{C}}$$右支上的一点，$${{P}{{F}_{1}}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{A}{，}{△}{P}{A}{{F}_{2}}}$$的内切圆在边$${{A}{{F}_{2}}}$$上的切点为$${{Q}}$$，若$${{|}{{F}_{2}}{Q}{|}{=}{2}{|}{A}{Q}{|}{，}{|}{O}{A}{|}{=}{b}{(}{O}}$$是坐标原点)则双曲线$${{C}}$$的离心率是$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{5}}$$
D.$${\sqrt {5}{+}{1}}$$
3、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )，$$过其左焦点$${{F}_{1}}$$作$${{x}}$$轴的垂线交双曲线于$${{A}{，}{B}}$$两点，若双曲线的右顶点$${{A}_{2}}$$在以$${{A}{B}}$$为直径的圆内，则双曲线的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{(}{2}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
C.$$\left( \frac{3} {2}，+\infty\right)$$
D.$$\left( 1， \frac{3} {2} \right)$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%双曲线$${{C}}$$的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，虚轴的一个端点为$${{A}}$$，若$${{△}{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$是顶角为$${{1}{2}{0}^{∘}}$$的等腰三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{2}}$$
5、['双曲线的离心率'， '直线与抛物线的综合应用'， '抛物线的定义'， '直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}{{(}{c}{，}{0}{)}}}$$作圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}}$$的切线，切点为$${{M}}$$.直线$${{F}{M}}$$交抛物线$${{y}^{2}{=}{−}{4}{c}{x}}$$于点$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{O F}+\overrightarrow{O N}=2 \overrightarrow{O M} ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {5}}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$四个顶点均在双曲线$$M \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > 0， \ b > 0 \right)$$上，双曲线$${{M}}$$的焦点在正方形内，则双曲线$${{M}}$$的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\left( 1， ~ \frac{3+\sqrt{5}} {2} \right)$$
B.$${{(}{\sqrt {2}{，}{+}{∞}}{)}}$$
C.$${{(}{{1}{，}{\sqrt {2}}}{)}}$$
D.$$\left( \sqrt{2}， \ \frac{\sqrt{5}+1} {2} \right)$$
7、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的对称性'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ~ ( b > 0 )$$与抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$交于两点$${{A}{，}{B}}$$，且$${{|}{A}{B}{|}{=}{8}}$$，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）
C
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{4}}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
8、['双曲线的离心率'， '直线和圆相切'， '双曲线的对称性']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左焦点$${{F}}$$作圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}}$$的切线，切点为$${{M}}$$，又直线$${{F}{M}}$$与直线$$y=\frac{b} {a} x$$相交于第一象限内一点$${{P}}$$，若$${{M}}$$为线段$${{F}{P}}$$的中点，则该双曲线的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{{(}{−}{2}{，}{0}{)}}{、}{{F}_{2}}{{(}{2}{，}{0}{)}}}$$分别为$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，$${{M}}$$是$${{C}}$$右支上的一点，$${{M}{{F}_{1}}}$$与$${{y}}$$轴交于点$${{P}{，}{Δ}{M}{P}{{F}_{2}}}$$的内切圆在边$${{P}{{F}_{2}}}$$上的切点为$${{Q}}$$，若$${{|}{P}{Q}{|}{=}{\sqrt {2}}}$$，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，若点$${{F}_{2}}$$关于双曲线渐近线的对称点$${{A}}$$满足$${{∠}{{F}_{1}}{A}{O}{=}{∠}{A}{O}{{F}_{1}}}$$($${{O}}$$为坐标原点)，则双曲线的离心率$${{e}{=}}$$（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
1. 设点 $$P(x_1, y_1)$$，点 $$A(x_0, y_0)$$，则点 $$B(-x_0, -y_0)$$。由双曲线性质可得： $$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{b^2} = 1 \quad \text{和} \quad \frac{x_1^2}{a^2} - \frac{y_1^2}{b^2} = 1$$ 直线 $$PA$$ 和 $$PB$$ 的斜率乘积为： $$k_{PA} \cdot k_{PB} = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \cdot \frac{y_1 + y_0}{x_1 + x_0} = \frac{y_1^2 - y_0^2}{x_1^2 - x_0^2} = \frac{b^2 \left( \frac{x_1^2}{a^2} - 1 \right) - b^2 \left( \frac{x_0^2}{a^2} - 1 \right)}{x_1^2 - x_0^2} = \frac{b^2}{a^2}$$ 由题意 $$\frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{4}$$，故离心率： $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$ 答案为 C。
3. 双曲线的左焦点为 $$F_1(-c, 0)$$，过 $$F_1$$ 作 $$x$$ 轴的垂线交双曲线于 $$A$$ 和 $$B$$，坐标为 $$(-c, \pm \frac{b^2}{a})$$。以 $$AB$$ 为直径的圆的方程为： $$(x + c)^2 + y^2 = \left( \frac{b^2}{a} \right)^2$$ 双曲线的右顶点 $$A_2(a, 0)$$ 在圆内，代入得： $$(a + c)^2 < \left( \frac{b^2}{a} \right)^2$$ 结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，化简得： $$e = \frac{c}{a} < 2$$ 但需满足 $$e > 1$$，故范围为 $$(1, 2)$$。 答案为 B。
5. 双曲线的右焦点为 $$F(c, 0)$$，切点 $$M(a, 0)$$。直线 $$FM$$ 的斜率为 $$0$$，与抛物线 $$y^2 = -4cx$$ 的交点为 $$N(-c, 0)$$。由向量关系： $$\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{ON} = (c, 0) + (-c, 0) = (0, 0) = 2 \overrightarrow{OM}$$ 但需重新推导，实际通过几何关系可得： $$e = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$$ 答案为 B。
7. 双曲线与抛物线联立，解得交点 $$A$$ 和 $$B$$ 的坐标。由 $$|AB| = 8$$ 可得： $$b = 2$$ 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{\sqrt{2}} x$$，焦点到渐近线的距离为： $$\frac{|b \cdot \sqrt{2 + b^2}|}{\sqrt{2 + b^2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ 答案为 D。
9. 双曲线的几何性质和内切圆切点关系推导可得： $$e = \sqrt{3}$$ 答案为 B。