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正确率60.0%直线$${{y}{=}{x}{−}{1}}$$被双曲线$${{2}{{x}^{2}}{−}{{y}^{2}}{=}{3}}$$所截得的弦的中点坐标是（）
C
A.$${{(}{1}{，}{2}{)}}$$
B.$${{(}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{−}{2}{)}}$$
D.$${{(}{2}{，}{1}{)}}$$
2、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 ( a > 0 )$$的两个焦点，点$${{P}}$$是双曲线上的一点，且满足$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}{{9}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
D
A.$${{4}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
3、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$上任一点$${{P}}$$到两渐近线的距离分别为$${{d}_{1}{，}{{d}_{2}}}$$，则$${{d}_{1}{{d}_{2}}}$$的乘积为（）
A
A.$$\frac{a^{2} b^{2}} {a^{2}+b^{2}}$$
B.$$\frac{a b} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
C.$$\frac{a^{2} b^{2}} {\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$
D.$$\frac{a b} {a^{2}+b^{2}}$$
4、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知双曲线$$C_{:} \ x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的右顶点为$${{A}}$$，过右焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与$${{C}}$$的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点$${{B}}$$，则$$S_{\bigtriangleup A B F}=$$（）
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{3 \sqrt{3}} {4}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {8}$$
5、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过右焦点的直线$${{l}{:}{x}{+}{y}{=}{c}}$$在第一象限内与双曲线$${{E}}$$的渐近线交于点$${{P}}$$，与$${{y}}$$轴正半轴交于点$${{Q}}$$，且点$${{P}}$$为$${{Q}{{F}_{2}}}$$的中点，$${{Δ}{Q}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{4}}$$，则双曲线$${{E}}$$的方程为
A
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
6、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，离心率为$${{e}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线与双曲线相交于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$${{Δ}{{F}_{1}}{A}{B}}$$是以$${{A}}$$为直角顶点的等腰直角三角形，则$${{e}^{2}{=}}$$（）
A
A.$${{5}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{9}{−}{6}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{3}{−}{2}{\sqrt {2}}}$$
7、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$E_{:} \ \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$的直线与双曲线$${{E}}$$的左支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A F_{2}}=0，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆面积为（）
D
A.$${{7}{2}{π}}$$
B.$${（{\sqrt {{1}{4}}}{−}{2}{）}{π}}$$
C.$${（{9}{−}{2}{\sqrt {{1}{4}}}{）}{π}}$$
D.$${（{{1}{8}}{−}{4}{\sqrt {{1}{4}}}{）}{π}}$$
8、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用']正确率60.0%直线$${{x}{=}{2}{a}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$在第一和第四象限分别交于点$${{M}}$$和$${{N}{.}{O}}$$为坐标原点，$${{A}}$$为$${{y}}$$轴上一点$${〔{(}}$$不与$${{O}}$$重合$${{)}}$$，若$${{∠}{A}{O}{M}{=}{∠}{M}{O}{N}{，}}$$则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 0}} {3}$$
9、['点到直线的距离'， '两点间的距离'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}}$$是椭圆$$C : \frac{x^{2}} {9}+\frac{y^{2}} {6}=1$$的右焦点，直线$${{x}{−}{\sqrt {3}}{y}{+}{\sqrt {3}}{=}{0}}$$与$${{C}}$$相交于$${{M}{，}{N}}$$两点，则$${{△}{M}{N}{F}}$$的面积为（）
C
A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\frac{8 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$作倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线，若该直线与双曲线的右支有两个公共点，则双曲线的离心率的取值范围为
A
A.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$${{(}{1}{，}{2}{]}}$$
C.$${{(}{1}{，}{4}{]}}$$
D.$${{(}{1}{，}{\sqrt {3}}{)}}$$
1. 直线与双曲线的弦中点坐标
将直线方程 $$y = x - 1$$ 代入双曲线方程 $$2x^2 - y^2 = 3$$，得到： $$2x^2 - (x - 1)^2 = 3$$ 展开整理得： $$x^2 + 2x - 4 = 0$$ 设弦的两个交点为 $$(x_1, y_1)$$ 和 $$(x_2, y_2)$$，则中点坐标为： $$\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$ 由韦达定理，$$x_1 + x_2 = -2$$，代入直线方程得 $$y_1 + y_2 = (x_1 + x_2) - 2 = -4$$。 因此，中点坐标为 $$(-1, -2)$$，对应选项 C。
2. 双曲线焦点三角形的面积
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{a^2 + 1}$$。 由题意，$$∠F_1PF_2 = 90^\circ$$，利用双曲线性质及勾股定理： $$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 = |F_1F_2|^2 = 4c^2$$ 且 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$。 平方得： $$|PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2| = 4a^2$$ 联立解得 $$|PF_1||PF_2| = 2(c^2 - a^2) = 2$$。 因此，面积为 $$\frac{1}{2} |PF_1||PF_2| = 1$$，对应选项 D。
3. 双曲线上点到渐近线距离的乘积
双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。 设点 $$P(x, y)$$ 在双曲线上，则距离公式为： $$d_1 = \frac{|bx - ay|}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad d_2 = \frac{|bx + ay|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ 乘积为： $$d_1d_2 = \frac{|b^2x^2 - a^2y^2|}{a^2 + b^2} = \frac{a^2b^2}{a^2 + b^2}$$ 对应选项 A。
4. 双曲线与直线的交点三角形面积
双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$$ 的右顶点 $$A(1, 0)$$，右焦点 $$F(2, 0)$$，渐近线为 $$y = \pm \sqrt{3}x$$。 直线 $$l$$ 平行于渐近线 $$y = \sqrt{3}x$$，斜率为 $$\sqrt{3}$$，方程为 $$y = \sqrt{3}(x - 2)$$。 与另一渐近线 $$y = -\sqrt{3}x$$ 的交点 $$B$$ 为： $$\sqrt{3}(x - 2) = -\sqrt{3}x \Rightarrow x = 1, y = -\sqrt{3}$$ 因此，面积为： $$S = \frac{1}{2} \times AF \times |y_B| = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ 对应选项 B。
5. 双曲线方程的确定
双曲线 $$E: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点 $$F_2(c, 0)$$，渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。 直线 $$l: x + y = c$$ 与 $$y$$ 轴交于点 $$Q(0, c)$$。 点 $$P$$ 为 $$QF_2$$ 的中点，坐标为 $$\left( \frac{c}{2}, \frac{c}{2} \right)$$。 代入渐近线方程： $$\frac{c}{2} = \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{2} \Rightarrow a = b$$ 三角形 $$QF_1F_2$$ 的面积为： $$\frac{1}{2} \times 2c \times c = c^2 = 4 \Rightarrow c = 2$$ 由 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 和 $$a = b$$，得 $$a = b = \sqrt{2}$$。 双曲线方程为 $$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$$，对应选项 A。
6. 双曲线离心率的平方
设双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，离心率 $$e = \frac{c}{a}$$。 由题意，$$ΔF_1AB$$ 为等腰直角三角形，且 $$A$$ 为直角顶点。 利用双曲线性质和几何关系，解得： $$e^2 = 5 - 2\sqrt{2}$$ 对应选项 A。
7. 双曲线内切圆面积
双曲线 $$E: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$，焦距 $$c = 3$$。 由题意，$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF_2} = 0$$，即 $$AB \perp AF_2$$。 利用双曲线性质和几何关系，求得内切圆半径为 $$\sqrt{14} - 2$$，面积为 $$(\sqrt{14} - 2)^2 \pi = (18 - 4\sqrt{14})\pi$$。 对应选项 D。
8. 双曲线离心率的计算
直线 $$x = 2a$$ 与双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的交点为 $$M(2a, b\sqrt{3})$$ 和 $$N(2a, -b\sqrt{3})$$。 由 $$∠AOM = ∠MON$$，利用斜率关系解得： $$e = \frac{\sqrt{13}}{2}$$ 对应选项 A。
9. 椭圆与直线交点的三角形面积
椭圆 $$C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{6} = 1$$，右焦点 $$F(\sqrt{3}, 0)$$。 直线 $$x - \sqrt{3}y + \sqrt{3} = 0$$ 与椭圆联立，解得交点 $$M$$ 和 $$N$$。 利用距离公式和面积公式，面积为 $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$，对应选项 C。
10. 双曲线离心率的取值范围
双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点 $$F(c, 0)$$。 直线倾斜角为 $$60^\circ$$，斜率为 $$\sqrt{3}$$，方程为 $$y = \sqrt{3}(x - c)$$。 与双曲线联立，判别式大于零且直线斜率小于渐近线斜率 $$\frac{b}{a}$$，解得： $$1 < e < 2$$ 对应选项 B。