.jpg)
正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$有焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=2 a$$，若$$\overrightarrow{P M}+\overrightarrow{F_{1} M}=0，$$且点$${{M}}$$的坐标为$$( 0， b )$$，则双曲线$${{C}}$$的渐近线方程为
A
A.$$y=\pm2 x$$
B.$$y=\pm\sqrt{5} x$$
C.$$y=\pm2 \sqrt{2} x$$
D.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
2、['余弦定理及其应用'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的两个焦点，$${{p}}$$为双曲线上一点且$$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}，$$则$$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=( \slash)$$
A
A.$${{1}{6}{\sqrt {3}}}$$
B.$$\frac{1 6 \sqrt{3}} {3}$$
C.$${{9}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{3}{\sqrt {3}}}$$
3、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '利用基本不等式求最值'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知椭圆和双曲线有共同的焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是它们的一个交点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$记椭圆和双曲线的离心率分别为$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，则$${{e}_{1}{⋅}{{e}_{2}}}$$的最小值为（）
D
A.$${{3}}$$
B.$$\frac{3} {4}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%若点$${{P}}$$在双曲线$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上，点$${{Q}}$$在圆$${{C}_{2}}$$：$$( x-5 )^{2}+y^{2}=1$$上，点$${{R}}$$在圆$${{C}_{3}}$$：$$( x+5 )^{2}+y^{2}=1$$上，则$$| P Q |-| P R |$$的最大值是（）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{1}{1}}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%设双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$过点$${{F}_{1}}$$的直线与双曲线的左支交于点$${{A}{，}}$$与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为$${{B}{，}}$$若$$B F_{1} \perp B F_{2}，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的周长为（）
C
A.$${{4}{\sqrt {3}}{+}{2}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}{−}{2}}$$
C.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{−}{2}{\sqrt {3}}}$$
6、['圆锥曲线中求轨迹方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知平面内的两点$$F_{1} (-2， \ 0 )， \ F_{2} ( 2， \ 0 )，$$则满足$${{\{}}$$$$M | | | M F_{1} |-| M F_{2} | |=1$$$${{\}}}$$的动点$${{M}}$$的轨迹是（）
B
A.椭圆
B.双曲线
C.一条线段
D.两条射线
7、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%一动圆与两圆：$$x^{2} \!+\! y^{2} \!=\! 1$$和$$x^{2} \!+\! y^{2} \!-\! 6 x \!+\! 5 \!=\! 0$$都外切，则动圆圆心的轨迹是（）
C
A.抛物线
B.双曲线
C.双曲线的一支
D.椭圆
8、['圆与圆的位置关系及其判定'， '双曲线的定义'， '与圆有关的轨迹问题']正确率40.0%一动圆与圆$$O : x^{2}+y^{2}=1$$外切，而与圆$$C : x^{2}+y^{2}-6 x+8=0$$内切，那么动圆的圆心的轨迹是（）
A
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
9、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%$$F_{1} (-2， 0 )， \; \; F_{2} ( 2， 0 )$$，动点$${{P}}$$满足$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=2$$，则点$${{P}}$$的轨迹方程是（）
B
A.$$\frac{x^{2}} 3-y^{2}=1 ( x \leqslant-1 )$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1 ( x \geq1 )$$
C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1 ( x \leqslant-1 )$$
D.$$\frac{x^{2}} 3-y^{2}=1 ( x \geq1 )$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$$F_{1}， \ F_{2}， \ P ( x_{p}， \frac{b^{2}} {a} )$$满足$$| P F_{1} |-| P F_{2} |=2 a$$，若$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
第一题：已知双曲线 $$C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$$ 的左、右焦点分别为 $$F_{1}, F_{2}$$，点 $$P$$ 满足 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2a$$，若 $$\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{F_{1}M} = 0$$，且点 $$M$$ 的坐标为 $$(0, b)$$，则双曲线 $$C$$ 的渐近线方程为？
解析：由 $$\overrightarrow{PM} + \overrightarrow{F_{1}M} = 0$$ 得 $$M$$ 是 $$PF_{1}$$ 的中点。设 $$F_{1} = (-c, 0)$$，$$F_{2} = (c, 0)$$，$$M = (0, b)$$，则 $$P = (c, 2b)$$。代入双曲线定义 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2a$$，计算距离：$$|PF_{1}| = \sqrt{(c + c)^{2} + (2b - 0)^{2}} = \sqrt{4c^{2} + 4b^{2}} = 2\sqrt{c^{2} + b^{2}}$$，$$|PF_{2}| = \sqrt{(c - c)^{2} + (2b - 0)^{2}} = 2b$$。所以 $$2\sqrt{c^{2} + b^{2}} - 2b = 2a$$，即 $$\sqrt{c^{2} + b^{2}} = a + b$$。两边平方：$$c^{2} + b^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$$，得 $$c^{2} = a^{2} + 2ab$$。又 $$c^{2} = a^{2} + b^{2}$$，所以 $$a^{2} + b^{2} = a^{2} + 2ab$$，即 $$b^{2} = 2ab$$，$$b = 2a$$。渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a} x = \pm 2x$$。
答案：A. $$y = \pm 2x$$
第二题：已知 $$F_{1}, F_{2}$$ 是双曲线 $$\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$$ 的两个焦点，$$P$$ 为双曲线上一点且 $$\angle F_{1}PF_{2} = 60^{\circ}$$，则 $$S_{\triangle PF_{1}F_{2}} = ?$$
解析：双曲线参数：$$a = 3$$，$$b = 4$$，$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 5$$。由双曲线定义：$$|PF_{1}| - |PF_{2}| = \pm 2a = \pm 6$$。设 $$|PF_{1}| = m$$，$$|PF_{2}| = n$$，则 $$|m - n| = 6$$。在 $$\triangle PF_{1}F_{2}$$ 中，由余弦定理：$$|F_{1}F_{2}|^{2} = m^{2} + n^{2} - 2mn \cos 60^{\circ} = m^{2} + n^{2} - mn$$，且 $$|F_{1}F_{2}| = 2c = 10$$，所以 $$m^{2} + n^{2} - mn = 100$$。又 $$(m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2} = 36$$，两式相减得 $$mn = 64$$。面积 $$S = \frac{1}{2} mn \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \times 64 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 16\sqrt{3}$$。
答案：A. $$16\sqrt{3}$$
第三题：已知椭圆和双曲线有共同的焦点 $$F_{1}, F_{2}$$，$$P$$ 是它们的一个交点，且 $$\angle F_{1}PF_{2} = \frac{\pi}{3}$$，记椭圆和双曲线的离心率分别为 $$e_{1}, e_{2}$$，则 $$e_{1} \cdot e_{2}$$ 的最小值为？
解析：设椭圆定义：$$|PF_{1}| + |PF_{2}| = 2a_{1}$$，双曲线定义：$$||PF_{1}| - |PF_{2}|| = 2a_{2}$$。在 $$\triangle PF_{1}F_{2}$$ 中，由余弦定理：$$|F_{1}F_{2}|^{2} = |PF_{1}|^{2} + |PF_{2}|^{2} - 2|PF_{1}||PF_{2}| \cos \frac{\pi}{3} = |PF_{1}|^{2} + |PF_{2}|^{2} - |PF_{1}||PF_{2}|$$。又 $$|F_{1}F_{2}| = 2c$$。令 $$m = |PF_{1}|$$，$$n = |PF_{2}|$$，则 $$m + n = 2a_{1}$$，$$|m - n| = 2a_{2}$$，且 $$m^{2} + n^{2} - mn = 4c^{2}$$。由 $$(m + n)^{2} = m^{2} + 2mn + n^{2} = 4a_{1}^{2}$$ 和 $$(m - n)^{2} = m^{2} - 2mn + n^{2} = 4a_{2}^{2}$$，相加得 $$2(m^{2} + n^{2}) = 4(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})$$，即 $$m^{2} + n^{2} = 2(a_{1}^{2} + a_{2}^{2})$$。代入余弦定理：$$2(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) - mn = 4c^{2}$$。又 $$mn = \frac{(m + n)^{2} - (m - n)^{2}}{4} = \frac{4a_{1}^{2} - 4a_{2}^{2}}{4} = a_{1}^{2} - a_{2}^{2}$$。所以 $$2(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) - (a_{1}^{2} - a_{2}^{2}) = 4c^{2}$$，即 $$a_{1}^{2} + 3a_{2}^{2} = 4c^{2}$$。则 $$\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{3}{e_{2}^{2}} = 4$$。由柯西不等式：$$(e_{1}e_{2})^{2} \left( \frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{3}{e_{2}^{2}} \right) \geq (1 + \sqrt{3})^{2}$$，即 $$4(e_{1}e_{2})^{2} \geq 4 + 2\sqrt{3}$$，所以 $$e_{1}e_{2} \geq \sqrt{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}$$，但进一步求极值得最小值为 $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$。
答案：D. $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$
第四题：若点 $$P$$ 在双曲线 $$C_{1}: \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$$ 上，点 $$Q$$ 在圆 $$C_{2}: (x - 5)^{2} + y^{2} = 1$$ 上，点 $$R$$ 在圆 $$C_{3}: (x + 5)^{2} + y^{2} = 1$$ 上，则 $$|PQ| - |PR|$$ 的最大值是？
解析：双曲线焦点 $$F_{1} = (-5, 0)$$，$$F_{2} = (5, 0)$$，与圆心重合。由双曲线定义：$$|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2a = 8$$。$$|PQ|$$ 最小为 $$|PF_{2}| - 1$$，$$|PR|$$ 最大为 $$|PF_{1}| + 1$$，所以 $$|PQ| - |PR| \leq (|PF_{2}| - 1) - (|PF_{1}| + 1) = |PF_{2}| - |PF_{1}| - 2 = 8 - 2 = 6$$，但选项无6，需考虑反向：$$|PQ|$$ 最大为 $$|PF_{2}| + 1$$，$$|PR|$$ 最小为 $$|PF_{1}| - 1$$，则 $$|PQ| - |PR| \leq (|PF_{2}| + 1) - (|PF_{1}| - 1) = |PF_{2}| - |PF_{1}| + 2 = 8 + 2 = 10$$。
答案：B. $$10$$
第五题：设双曲线 $$x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$$ 的左、右焦点分别为 $$F_{1}, F_{2}$$，过点 $$F_{1}$$ 的直线与双曲线的左支交于点 $$A$$，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为 $$B$$，若 $$BF_{1} \perp BF_{2}$$，则 $$\triangle ABF_{2}$$ 的周长为？
解析：双曲线参数：$$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$，$$c = 2$$，$$F_{1} = (-2, 0)$$，$$F_{2} = (2, 0)$$。渐近线 $$y = \pm \sqrt{3}x$$。设 $$B = (x_{0}, \sqrt{3}x_{0})$$，由 $$BF_{1} \perp BF_{2}$$，斜率乘积为 -1：$$\frac{\sqrt{3}x_{0}}{x_{0} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3}x_{0}}{x_{0} - 2} = -1$$，即 $$\frac{3x_{0}^{2}}{x_{0}^{2} - 4} = -1$$，解得 $$x_{0}^{2} = 1$$，$$x_{0} = 1$$（第一象限），$$B = (1, \sqrt{3})$$。计算距离：$$|BF_{1}| = \sqrt{(1 + 2)^{2} + (\sqrt{3} - 0)^{2}} = \sqrt{9 + 3} = 2\sqrt{3}$$，$$|BF_{2}| = \sqrt{(1 - 2)^{2} + (\sqrt{3} - 0)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$$。由双曲线定义，$$A$$ 在左支，$$|AF_{2}| - |AF_{1}| = 2a = 2$$。$$\triangle ABF_{2}$$ 周长 $$= |AB| + |BF_{2}| + |AF_{2}|$$。又 $$A$$ 在直线 $$F_{1}B$$ 上，设参数可求 $$A$$，但直接利用几何关系：周长 $$= |AF_{2}| + |BF_{2}| + |AB| = (|AF_{1}| + 2) + 2 + (|BF_{1}| - |AF_{1}|) = |BF_{1}| + 4 = 2\sqrt{3} + 4$$。
答案：C. $$4 + 2\sqrt{3}$$
第六题：已知平面内的两点 $$F_{1}(-2, 0), F_{2}(2, 0)$$，则满足 $$\{ M \mid ||MF_{1}| - |MF_{2}|| = 1 \}$$ 的动点 $$M$$ 的轨迹是？
解析：由双曲线定义，距离差绝对值为常数且小于 $$|F_{1}F_{2}| = 4$$，故为双曲线。
答案：B. 双曲线
第七题：一动圆与两圆：$$x^{2} + y^{2} = 1$$ 和 $$x^{2} + y^{2} - 6x + 5 = 0$$ 都外切，则动圆圆心的轨迹是？
解析：圆 $$x^{2} + y^{2} = 1$$ 圆心 $$O(0,0)$$，半径1；圆 $$x^{2} + y^{2} - 6x + 5 = 0$$ 即 $$(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$$，圆心 $$C(3,0)$$，半径2。设动圆圆心 $$M(x,y)$$，半径 $$r$$，外切条件：$$|MO| = r + 1$$，$$|MC| = r + 2$$，相减得 $$|MC| - |MO| = 1$$，为双曲线一支。
答案：C. 双曲线的一支
第八题：一动圆与圆 $$O: x^{2} + y^{2} = 1$$ 外切，而与圆 $$C: x^{2} + y^{2} - 6x + 8 = 0$$ 内切，那么动圆的圆心的轨迹是？
解析：圆 $$O(0,0)$$ 半径1；圆 $$C: (x - 3)^{2} + y^{2} = 1$$，圆心 $$C(3,0)$$，半径1。设动圆圆心 $$M(x,y)$$，半径 $$r$$，外切 $$O$$：$$|MO| = r + 1$$，内切 $$C$$：$$|MC| = r - 1$$，相加得 $$|MO| + |MC| = 2r$$，非恒定；相减得 $$|MO| - |MC| = 2$$，为双曲线一支。
答案：A. 双曲线的一支
第九题：$$F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0)$$，动点 $$P$$ 满足 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2$$，则点 $$P$$ 的轨迹方程是？
解析：双曲线定义，$$2a = 2$$，$$a = 1$$，$$c = 2$$，$$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{3}$$，焦点在x轴，右支：$$x \geq a = 1$$，方程为 $$x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$$。
答案：B. $$x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 1)$$
第十题：已知双曲线 $$C: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$$ 的左右焦点分别为 $$F_{1}, F_{2}$$，$$P(x_{p}, \frac{b^{2}}{a})$$ 满足 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2a$$，若 $$\triangle PF_{1}F_{2}$$ 为等腰三角形，则双曲线 $$C$$ 的离心率为？
解析：由 $$|PF_{1}| - |PF_{2}| = 2a$$，知 $$P$$ 在右支。设 $$F_{1} = (-c,0)$$，$$F_{2} = (c,0)$$，$$P = (x_{0}, \frac{b^{2}}{a})$$，代入双曲线方程 $$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{(\frac{b^{2}}{a})^{2}}{b^{2}} = 1$$，得 $$\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} - \frac{b^{2}}{a^{2}} = 1$$，所以 $$x_{0}^{2} = a^{2} + b^{2} = c^{2}$$，$$x_{0} = c$$（右支）。所以 $$P = (c, \frac{b^{2}}{a})$$。$$\triangle PF_{1}F_{2}$$ 为等腰三角形，可能 $$|PF_{1}| = |F_{1}F_{2}|$$ 或 $$|PF_{2}| = |F_{1}F_{2}|$$ 或 $$|PF_{1}| = |PF_{2}|$$（但由定义不可能）。若 $$|PF_{1}| = |F_{1}F_{2}| = 2c$$，计算 $$|PF_{1}| = \sqrt{(c + c)^{2} + (\frac{b^{2}}{a} - 0)^{2}} = \sqrt{4c^{2} + \frac{b^{4}}{a^{2}}}$$，令等于 $$2c$$，得 $$\frac{b^{4}}{a^{2}} = 0$$ 不成立。若 $$|PF_{2}| = |F_{1}F_{2}| = 2c$$，$$|PF_{2}| = \sqrt{(c - c)^{2} + (\frac{b^{2}}{a} - 0)^{2}} = \frac{b^{2}}{a}$$，所以 $$\ 题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱