.jpg)
正确率0.0%已知$${{F}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，点$${{P}}$$为双曲线右支上任意一点，则以线段$${{P}{F}}$$为直径的圆与圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}}$$的位置关系是$${{(}{)}}$$
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
2、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的简单几何性质']正确率0.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {n}-y^{2}=1$$，$${{(}{n}{>}{1}{)}}$$的两焦点为$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，$${{P}}$$在双曲线上，且满足$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{+}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{\sqrt {{n}{+}{2}}}}$$，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
3、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的简单几何性质']正确率40.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，直线$${{l}}$$是双曲线$${{C}}$$的一条渐近线，$${{F}_{2}}$$关于直线$${{l}}$$对称的点为$${{F}^{′}_{2}}$$，以$${{|}{{F}_{1}}{{F}^{′}_{2}}{|}}$$为直径的圆与直线$${{l}}$$有公共点，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
A.$${{[}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{]}}$$
D.$${{(}{1}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
4、['椭圆的简单几何性质'， '双曲线的简单几何性质']正确率80.0%椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {a^{2}}=1$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {2}=1$$有相同的焦点，则$${{a}{=}{(}{)}}$$
A.$${{−}{1}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{±}{1}}$$
D.$${{2}}$$
5、['双曲线的简单几何性质'， '双曲线的定义及其标准方程']正确率80.0%若双曲线与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {6 4}=1$$有相同的焦点，且它的一条渐近线的方程为$${{y}{=}{x}}$$，则此双曲线的方程是$${{(}{)}}$$
A.$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{{9}{6}}}$$
B.$${{y}^{2}{−}{{x}^{2}}{=}{{1}{6}{0}}}$$
C.$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{{8}{0}}}$$
D.$${{y}^{2}{−}{{x}^{2}}{=}{{2}{4}}}$$
6、['双曲线的简单几何性质']正确率0.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {3}=1 ( a > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，离心率为$${{2}}$$，点$${{P}}$$在双曲线的右支上，且$${{P}{{F}_{1}}{⊥}{P}{{F}_{2}}}$$，则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{3}}$$
7、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，$${{P}_{1}}$$，$${{P}_{2}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上的两点，$${{P}}$$为线段$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$的中点，设直线$${{O}{P}}$$，$${{P}_{1}{{P}_{2}}}$$的斜率分别为$${{k}_{1}}$$，$${{k}_{2}}$$，且$${{4}{⩽}{{k}_{1}}{⩽}{6}}$$，则$${{k}_{2}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A.$$[ \frac{3} {2}， \frac{9} {4} ]$$
B.$$[ \frac{3} {4}， \frac{9} {8} ]$$
C.$$[ \frac{3} {8}， \frac{9} {1 6} ]$$
D.$${{[}{{1}{6}}{，}{{5}{4}}{]}}$$
8、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%过双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {8}=1$$的右支上的一点$${{P}}$$分别向圆$${{C}_{1}{：}{(}{x}{+}{3}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{4}}$$和圆$${{C}_{2}{：}{(}{x}{−}{3}{{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{1}}$$作切线，切点分别为$${{M}}$$，$${{N}}$$，则$${{|}{P}{M}{{|}^{2}}{−}{|}{P}{N}{{|}^{2}}}$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{8}}$$
B.$${{9}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{1}}$$
9、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$的左、右焦点为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，虚轴的上、下端点为$${{B}_{1}}$$，$${{B}_{2}}$$，则四边形$${{B}_{1}{{F}_{1}}{{B}_{2}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A.$${{2}{4}}$$
B.$${{1}{2}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{4}}$$
10、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {m}+\frac{y^{2}} {3}=1$$的焦距为$${{4}}$$，则$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{7}}$$
D.$${{−}{7}}$$
1. 设双曲线的右焦点为 $$F(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。点 $$P$$ 在双曲线右支上，设其坐标为 $$(x, y)$$，满足 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 且 $$x \geq a$$。
以 $$PF$$ 为直径的圆的圆心为 $$O'$$，坐标为 $$\left(\frac{x + c}{2}, \frac{y}{2}\right)$$，半径为 $$\frac{|PF|}{2} = \frac{\sqrt{(x - c)^2 + y^2}}{2}$$。
圆 $$x^2 + y^2 = a^2$$ 的圆心为原点 $$O(0, 0)$$，半径为 $$a$$。
两圆的圆心距为 $$|OO'| = \sqrt{\left(\frac{x + c}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2}$$。
由于 $$P$$ 在双曲线上，有 $$y^2 = b^2\left(\frac{x^2}{a^2} - 1\right)$$。代入计算可得两圆半径差为 $$\frac{|PF|}{2} - a$$，进一步化简可得两圆内切，因此选 B。
2. 双曲线方程为 $$\frac{x^2}{n} - y^2 = 1$$，其焦点为 $$F_1(-\sqrt{n + 1}, 0)$$ 和 $$F_2(\sqrt{n + 1}, 0)$$。
由双曲线定义，$$|PF_1| - |PF_2| = 2\sqrt{n}$$，结合题目条件 $$|PF_1| + |PF_2| = 2\sqrt{n + 2}$$，解得 $$|PF_1| = \sqrt{n} + \sqrt{n + 2}$$，$$|PF_2| = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n}$$。
利用余弦定理和双曲线性质，可得 $$\triangle PF_1F_2$$ 的面积为 $$1$$，因此选 B。
3. 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。设 $$F_2(c, 0)$$ 关于渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 的对称点为 $$F'_2$$。
通过对称点公式计算得 $$F'_2\left(\frac{a^2 - b^2}{c}, \frac{2ab}{c}\right)$$。
以 $$|F_1F'_2|$$ 为直径的圆的圆心为 $$O$$，半径为 $$\frac{|F_1F'_2|}{2}$$。该圆与渐近线有公共点，需满足圆心到直线的距离小于等于半径。
代入计算可得离心率 $$e \in (1, \sqrt{2}]$$，因此选 C。
4. 椭圆 $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$ 的焦点为 $$(\pm \sqrt{4 - a^2}, 0)$$（假设 $$a^2 < 4$$）。
双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{2} = 1$$ 的焦点为 $$(\pm \sqrt{a^2 + 2}, 0)$$。
由题意，$$\sqrt{4 - a^2} = \sqrt{a^2 + 2}$$，解得 $$a^2 = 1$$，即 $$a = \pm 1$$。
但 $$a > 0$$，因此 $$a = 1$$，选 B。
5. 椭圆 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1$$ 的焦点为 $$(0, \pm \sqrt{64 - 16}) = (0, \pm 4\sqrt{3})$$。
双曲线的一条渐近线为 $$y = x$$，说明双曲线为等轴双曲线，设其方程为 $$y^2 - x^2 = a^2$$。
双曲线的焦点为 $$(0, \pm \sqrt{2a^2})$$，由题意 $$\sqrt{2a^2} = 4\sqrt{3}$$，解得 $$a^2 = 24$$。
因此双曲线方程为 $$y^2 - x^2 = 24$$，选 D。
6. 双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{3} = 1$$ 的离心率 $$e = 2$$，故 $$c = 2a$$，且 $$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 3$$，解得 $$a = 1$$，$$c = 2$$。
设 $$P(x, y)$$ 在双曲线上，由 $$PF_1 \perp PF_2$$，利用向量点积为零，可得 $$x^2 + y^2 = c^2 = 4$$。
结合双曲线方程 $$\frac{x^2}{1} - \frac{y^2}{3} = 1$$，解得 $$y^2 = \frac{9}{4}$$，$$x^2 = \frac{7}{4}$$。
因此，$$\triangle F_1PF_2$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times |PF_1| \times |PF_2| = 3$$，选 D。
7. 设 $$P_1(x_1, y_1)$$，$$P_2(x_2, y_2)$$ 在双曲线 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 上，中点 $$P\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$。
斜率 $$k_1 = \frac{y_1 + y_2}{x_1 + x_2}$$，$$k_2 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$。
利用双曲线性质和中点坐标关系，可得 $$k_1k_2 = \frac{9}{4}$$。由 $$4 \leq k_1 \leq 6$$，得 $$k_2 \in \left[\frac{3}{8}, \frac{9}{16}\right]$$，选 C。
8. 双曲线 $$x^2 - \frac{y^2}{8} = 1$$ 的右支上点 $$P(x, y)$$，满足 $$x \geq 1$$。
圆 $$C_1$$ 的圆心为 $$(-3, 0)$$，半径 $$r_1 = 2$$；圆 $$C_2$$ 的圆心为 $$(3, 0)$$，半径 $$r_2 = 1$$。
由切线性质，$$|PM|^2 = |PC_1|^2 - r_1^2 = (x + 3)^2 + y^2 - 4$$，$$|PN|^2 = |PC_2|^2 - r_2^2 = (x - 3)^2 + y^2 - 1$$。
因此，$$|PM|^2 - |PN|^2 = 12x - 3$$。当 $$x = 1$$ 时取得最小值 $$9$$，选 B。
9. 双曲线 $$\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{4} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-\sqrt{5 + 4}, 0) = (-3, 0)$$，$$F_2(3, 0)$$。
虚轴端点为 $$B_1(0, 2)$$，$$B_2(0, -2)$$。
四边形 $$B_1F_1B_2F_2$$ 为梯形，面积为 $$\frac{1}{2} \times (|F_1F_2| + |B_1B_2|) \times \text{高度} = 12$$，选 B。
10. 双曲线 $$\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{3} = 1$$ 的焦距为 $$4$$，即 $$2c = 4$$，$$c = 2$$。
若 $$m > 0$$，则 $$c^2 = 3 - m$$，解得 $$m = -1$$（舍去，因为 $$m > 0$$ 不成立）。
若 $$m < 0$$，则 $$c^2 = -m + 3$$，解得 $$m = -1$$。
因此 $$m = -1$$，选 B。