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正确率40.0%若双曲线$$C_{\colon} ~ x^{2}-y^{2}=1$$的右顶点为$${{A}}$$，过$${{A}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线$${{C}}$$的两条渐近线交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，且$$\overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{A Q}，$$则直线$${{l}}$$的斜率为（）
D
A.$$\frac{1} {3}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['双曲线的离心率'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$${{C}}$$的中心在坐标原点$${{O}}$$，右顶点$${{A}_{2}}$$，虚轴的上端点$${{B}_{2}}$$，虚轴下端点$${{B}_{1}}$$，左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，直线$${{B}_{1}{{F}_{2}}}$$与直线$${{A}_{2}{{B}_{2}}}$$交于$${{P}}$$点，若$${{∠}{{B}_{2}}{P}{{F}_{2}}}$$为钝角，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\left( \frac{-1+\sqrt{5}} {2}，+\infty\right)$$
B.$$\left( 1， \frac{1+\sqrt{5}} {2} \right)$$
C.$$\left( \frac{1+\sqrt{5}} {2}，+\infty\right)$$
D.$$\left( \frac{3+\sqrt{5}} {2}，+\infty\right)$$
3、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线的中心在原点，一个焦点为$$F_{1} (-\sqrt{5}， 0 )$$，点$${{P}}$$在双曲线上，且线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的中点坐标为$$( 0， \ 2 )$$，则此双曲线的标准方程是 （）
B
A.$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过右焦点$${{F}_{2}}$$作实轴的垂线交双曲线$${{C}}$$于$${{M}{，}{N}}$$两点若$${{△}{M}{N}{{F}_{1}}}$$是直角三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
5、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {t}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的一条渐近线经过点$$( \sqrt{6}， 2 )$$，则双曲线的实轴长是
A
A.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{2}}$$
6、['等差中项'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%点$${{P}}$$在双曲线：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$上，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是这条双曲线的两个焦点，$$\angle F_{1} P F_{2}=9 0^{\circ}$$，且$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%双曲线$$m x^{2}-y^{2}=1$$的焦距是虚轴长的$${{4}}$$倍，则该双曲线的渐近线方程为
B
A.$$y=\pm\sqrt{1 5} x$$
B.$$y=\pm\frac{\sqrt{1 5}} {1 5} x$$
C.$$y=\pm2 x$$
D.$$y=\pm\frac{1} {1 5} x$$
9、['两点间的斜率公式'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$是虚轴的上端点，线段$${{F}_{2}{P}}$$与渐近线交于$${{A}}$$，若直线$${{F}_{1}{A}}$$的斜率为$$\frac{1} {3}，$$则双曲线的离心率为
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{1 3}+5} {2}$$
D.$$\frac{1+3 \sqrt{3}} {4}$$
10、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$右支上一点$${{P}}$$到左$${、}$$右焦点的距离之差为$${{6}{，}{P}}$$到左准线的距离为$$\frac{3 4} {5}，$$则$${{P}}$$到右焦点的距离为（）
B
A.$$\frac{3 4} {3}$$
B.$$\frac{1 6} {3}$$
C.$$\frac{3 4} {5}$$
D.$$\frac{1 6} {5}$$
1. 双曲线 $$C: x^{2}-y^{2}=1$$ 的右顶点为 $$A(1, 0)$$。渐近线为 $$y = \pm x$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，其方程为 $$y = k(x - 1)$$。与渐近线交点 $$P$$ 和 $$Q$$ 满足： $$y = k(x - 1)$$ 与 $$y = x$$ 联立得 $$P\left(\frac{k}{k - 1}, \frac{k}{k - 1}\right)$$； 与 $$y = -x$$ 联立得 $$Q\left(\frac{k}{k + 1}, -\frac{k}{k + 1}\right)$$。 由 $$\overrightarrow{PA} = 2\overrightarrow{AQ}$$，得坐标关系： $$\left(1 - \frac{k}{k - 1}, -\frac{k}{k - 1}\right) = 2\left(\frac{k}{k + 1} - 1, -\frac{k}{k + 1}\right)$$。 解得 $$k = 3$$，故选 D。
3. 双曲线焦点为 $$F_{1}(-\sqrt{5}, 0)$$，设 $$P(x, y)$$，由中点条件得 $$x = \sqrt{5}$$，$$y = 4$$。代入双曲线标准方程 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，结合 $$c^{2} = a^{2} + b^{2} = 5$$，解得 $$a^{2} = 4$$，$$b^{2} = 1$$。故方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$$，选 A。
5. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{t} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}}x$$。点 $$(\sqrt{6}, 2)$$ 在渐近线上，代入得 $$2 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{t}} \cdot \sqrt{6}$$，解得 $$t = 3$$。实轴长为 $$2\sqrt{t} = 2\sqrt{3}$$，选 A。
7. 双曲线 $$mx^{2} - y^{2} = 1$$ 可化为 $$\frac{x^{2}}{1/m}} - y^{2} = 1$$。焦距为 $$2c = 2\sqrt{\frac{1}{m} + 1}$$，虚轴长为 $$2b = 2$$。由题意 $$2\sqrt{\frac{1}{m} + 1} = 4 \times 2$$，解得 $$m = \frac{1}{15}$$。渐近线方程为 $$y = \pm \sqrt{15}x$$，选 A。
10. 双曲线 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$$，右支上点 $$P$$ 满足 $$|PF_{2}| - |PF_{1}| = 2a = 6$$，故 $$a = 3$$，$$c = 5$$。离心率 $$e = \frac{5}{3}$$。左准线为 $$x = -\frac{a^{2}}{c} = -\frac{9}{5}$$。设 $$P(x, y)$$，则 $$x + \frac{9}{5} = \frac{34}{5}$$，得 $$x = 5$$。由双曲线定义 $$|PF_{1}| = 2a + |PF_{2}| = 6 + |PF_{2}|$$，又 $$\frac{|PF_{1}|}{x + \frac{9}{5}}} = e = \frac{5}{3}$$，解得 $$|PF_{2}| = \frac{16}{3}$$，选 B。
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