双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围-3.2 双曲线知识点课后进阶单选题自测题答案-内蒙古自治区等高一数学选择必修,平均正确率40.0%

1、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '命题的真假性判断'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%给出关于双曲线的三个命题：
$${①}$$双曲线$$\frac{y^{2}} {9}-\frac{x^{2}} {4}=1$$的渐近线方程为$$y=\pm\frac{2} {3} x$$；
$${②}$$若点$$( 2， \ 3 )$$在焦距为$${{4}}$$的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$上，则此双曲线的离心率为$${{2}}$$；
$${③}$$若点$${{F}{，}{B}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段$${{F}{B}}$$的中点一定不在此双曲线的渐近线上．
其中正确的命题个数是（）

A.$${{0}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{3}}$$

2、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{:} \， \， x^{2}-y^{2}=2$$的左右焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为坐标原点，点$${{P}}$$在双曲线$${{C}}$$上，且$$| O P |=2$$，则$$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\c n$$）

A.$${{4}}$$

B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {2}}$$

3、['正弦定理及其应用'， '圆锥曲线中求轨迹方程'， '双曲线的定义'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知锐角$${{Δ}{A}{B}{C}}$$中，角$$A， B， C$$所对边分别为$$a， b， c$$，若$$a=4， \， \， \， \operatorname{s i n} B-\operatorname{s i n} C=\frac{1} {2} \operatorname{s i n} A$$，则$${{B}{C}}$$边上中线长的取值范围为

A.$$( 1， \， 3 )$$

B.$$( 2， \， \sqrt{1 3} )$$

C.$$( 2， \， \sqrt{1 0} )$$

D.$$( 1， \， \sqrt{7} )$$

4、['向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$$M ( x_{0}， y_{0} )$$在双曲线上，且满足$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}} \leqslant0$$，则$${{y}_{0}}$$取值范围是$${{(}{)}}$$

A.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$

B.$$[-\frac{\sqrt{3}} {6}， \frac{\sqrt{3}} {6} ]$$

C.$$[-\frac{2 \sqrt{3}} {3}， \frac{2 \sqrt{3}} {3} ]$$

D.$$[-\frac{3 \sqrt{2}} {2}， \frac{3 \sqrt{2}} {2} ]$$

5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线系方程'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '直线的斜率'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围'， '直线与双曲线的交点个数']

正确率40.0%设双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \mathrm{~} a > 0， \mathrm{~} b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$且斜率为$$\frac{1} {3}$$的直线与双曲线的两渐近线分别交于点$${{A}{，}{B}}$$，并且$$| F_{2} \， A |=| F_{2} B |$$，则双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

6、['利用基本不等式求最值'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知方程$$m x^{2}+~ ( m-3 ) ~ y^{2}=1$$表示双曲线，则此双曲线的焦距的最小值为（）

A.$$\frac{4 \sqrt{3}} {3}$$

B.$${\sqrt {6}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

7、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右两焦点，过点$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线的左右两支分别交于$${{P}{，}{Q}}$$两点，若$${{Δ}{P}{Q}{{F}_{2}}}$$是以$${{∠}{P}{Q}{{F}_{2}}}$$为顶角的等腰三角形，其中$$\angle P Q F_{2} \in[ \frac{\pi} {3}， \pi)，$$则双曲线离心率$${{e}}$$的取值范围为

A.$$[ \sqrt{7}， 3 )$$

B.$$[ 1， \sqrt{7} )$$

C.$$[ \sqrt{5}， 3 )$$

D.$$[ \sqrt{5}， \sqrt{7} )$$

8、['双曲线的离心率'， '两点间的距离'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右两个焦点，点$${{P}}$$是双曲线右支上一点，若$${{P}}$$点的横坐标$$x_{0}=\frac{4} {3} a$$时，有$$F_{1} P \bot F_{2} P$$，则该双曲线的离心率$${{e}}$$为$${{(}{)}}$$

A.$${\frac{3} {2}} \sqrt{2}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$

C.$${{2}}$$

D.$$\frac{9} {2}$$

9、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线$${{C}}$$与圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$在第一象限的交点为$$P， \， \， \bot P F_{1} F_{2}$$的角平分线与$${{P}{{F}_{2}}}$$交于点$${{Q}}$$，若$$4 \left| P Q \right|=3 \left| F_{2} Q \right|$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$${{6}{+}{2}{\sqrt {7}}}$$

B.$${{3}{+}{\sqrt {7}}}$$

C.$${{6}{−}{2}{\sqrt {7}}}$$

D.$${{4}{−}{\sqrt {7}}}$$

10、['双曲线的离心率'， '双曲线的其他性质'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']

正确率40.0%已知双曲线的左，右焦点分别为，点$${{P}}$$

以下是各题的详细解析： --- ### 1. 双曲线命题判断 **解析**： - **命题①**：双曲线 $$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$ 的渐近线应为 $$y=\pm\frac{3}{2}x$$，而非 $$y=\pm\frac{2}{3}x$$，故错误。 - **命题②**：由焦距为4得 $$c=2$$。点 $$(2,3)$$ 代入双曲线方程得 $$\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$$，结合 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}=4$$，解得 $$a=1$$，离心率 $$e=\frac{c}{a}=2$$，故正确。 - **命题③**：设双曲线为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，焦点 $$F(c,0)$$，虚轴端点 $$B(0,b)$$。中点坐标为 $$\left(\frac{c}{2},\frac{b}{2}\right)$$。渐近线为 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$，代入中点得 $$\frac{b}{2}\neq\pm\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{2}$$，故中点不在渐近线上，命题正确。 **结论**：2个命题正确，选 **C**。 --- ### 2. 双曲线与三角形面积 **解析**：双曲线 $$x^{2}-y^{2}=2$$ 的焦点为 $$F_{1}(-2,0)$$ 和 $$F_{2}(2,0)$$。点 $$P$$ 满足 $$|OP|=2$$，即 $$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4$$。代入双曲线方程得 $$x_{0}^{2}-y_{0}^{2}=2$$，解得 $$x_{0}^{2}=3$$，$$y_{0}^{2}=1$$。三角形面积： $$ S=\frac{1}{2}\times|F_{1}F_{2}|\times|y_{0}|=\frac{1}{2}\times4\times1=2 $$ **结论**：选 **C**。 --- ### 3. 三角形中线长范围 **解析**：由正弦定理得 $$b-c=2$$，结合 $$a=4$$，利用中线公式： $$ m_{a}=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^{2}+c^{2})-16} $$ 由于 $$b=c+2$$，代入后得 $$m_{a}=\sqrt{(c+1)^{2}+3}$$。因三角形为锐角，约束 $$b^{2}+c^{2}>a^{2}$$，解得 $$c\in(1,3)$$，故 $$m_{a}\in(2,\sqrt{13})$$。 **结论**：选 **B**。 --- ### 4. 双曲线中 $$y_{0}$$ 的范围 **解析**：双曲线 $$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$$ 的焦点为 $$F_{1}(-\sqrt{3},0)$$ 和 $$F_{2}(\sqrt{3},0)$$。由 $$\overrightarrow{MF_{1}}\cdot\overrightarrow{MF_{2}}\leq0$$，得 $$(x_{0}+\sqrt{3})(x_{0}-\sqrt{3})+y_{0}^{2}\leq0$$，即 $$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}\leq3$$。结合双曲线方程 $$x_{0}^{2}=2(1+y_{0}^{2})$$，解得 $$y_{0}^{2}\leq\frac{1}{3}$$。 **结论**：$$y_{0}\in\left[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$，选 **A**。 --- ### 5. 双曲线离心率计算 **解析**：直线斜率为 $$\frac{1}{3}$$，过 $$F_{1}(-c,0)$$，方程为 $$y=\frac{1}{3}(x+c)$$。与渐近线 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$ 联立得交点 $$A$$ 和 $$B$$。由 $$|F_{2}A|=|F_{2}B|$$ 得 $$F_{2}$$ 在 $$AB$$ 的中垂线上，故 $$AB$$ 斜率为 $$-\frac{a^{2}}{b^{2}}$$。结合直线斜率 $$\frac{1}{3}$$，解得 $$e=\sqrt{2}$$。 **结论**：选 **B**。 --- ### 6. 双曲线焦距最小值 **解析**：方程 $$mx^{2}+(m-3)y^{2}=1$$ 表示双曲线，需 $$m(m-3)<0$$，即 $$0 _{题目来源于各渠道收集，若侵权请联系下方邮箱}