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正确率40.0%给出关于双曲线的三个命题：
$${①}$$双曲线$$\frac{y^{2}} {9}-\frac{x^{2}} {4}=1$$的渐近线方程为$$y=\pm\frac{2} {3} x$$；
$${②}$$若点$$( 2， \ 3 )$$在焦距为$${{4}}$$的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$上，则此双曲线的离心率为$${{2}}$$；
$${③}$$若点$${{F}{，}{B}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的一个焦点和虚轴的一个端点，则线段$${{F}{B}}$$的中点一定不在此双曲线的渐近线上．
其中正确的命题个数是（）
C
A.$${{0}}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
2、['双曲线的离心率'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点，$${{C}}$$的离心率为$${{5}}$$，点$$P \left( x_{0}， y_{0} \right)$$在$${{C}}$$上，$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}} < 0$$，则$${{x}_{0}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-3 a， 3 a )$$
B.$$(-3 a，-a ] \cup[ a， 3 a )$$
C.$$\left(-\frac{7} {5} a， \frac{7} {5} a \right)$$
D.$$\left(-\frac{7} {5} a，-a \right] \cup\left[ a， \frac{7} {5} a \right)$$
3、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C_{:} \， \， x^{2}-y^{2}=2$$的左右焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为坐标原点，点$${{P}}$$在双曲线$${{C}}$$上，且$$| O P |=2$$，则$$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\c n$$）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$，的左$${、}$$右焦点，$${{O}}$$为坐标原点，点$${{M}}$$在双曲线$${{C}}$$的右支上$$| F_{1} F_{2} |=2 | O M |， \， \， \， \triangle M F_{1} F_{2}$$的面积为$${{4}{{a}^{2}}}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {2}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别是$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作倾斜角为$${{4}{5}^{∘}}$$的直线交双曲线右支于$${{M}}$$点，若直线$${{M}{{F}_{2}}}$$垂直于$${{x}}$$轴，则双曲线的离心率为（$${）}$$．
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
6、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围'， '双曲线的定义']正确率40.0%双曲线$$M : x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，记$$| F_{1} F_{2} |=2 c，$$以坐标原点$${{O}}$$为圆心，$${{c}}$$为半径的圆与双曲线$${{M}}$$在第一象限的交点为$${{P}}$$，若$$| P F_{1} |=c+2，$$则$${{P}}$$点的横坐标为$${{(}{)}}$$
A
A.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3+2} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt{3}+3} {2}$$
D.$$\frac{3 \sqrt{3}} {2}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线$${{C}}$$与圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$在第一象限的交点为$$P， \， \， \bot P F_{1} F_{2}$$的角平分线与$${{P}{{F}_{2}}}$$交于点$${{Q}}$$，若$$4 \left| P Q \right|=3 \left| F_{2} Q \right|$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{+}{2}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{3}{+}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{6}{−}{2}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{4}{−}{\sqrt {7}}}$$
8、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '直线与抛物线的综合应用'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知抛物线$$C \colon~ y^{2}=2 p x ~ ( p > 0 )$$的焦点为$${{F}}$$，线段$${{O}{F}{（}{O}}$$为坐标原点）的垂直平分线交抛物线于$${{M}{，}{N}}$$两点，若$$| M N |=4$$，则$$| M F |=~ ($$）
C
A.$$\frac{3 \sqrt2} {4}$$
B.$${{6}{\sqrt {2}}}$$
C.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
D.$${{3}{\sqrt {2}}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$的中心为坐标原点，一条渐近线方程为$${{y}{=}{\sqrt {2}}{x}}$$，点$$P ( 2 \sqrt{2}，-\sqrt{2} )$$在$${{C}}$$上，则$${{C}}$$的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {4} \!=\! 1$$
B.$$\frac{x^{2}} {7} \!-\! \frac{y^{2}} {1 4} \!=\! 1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4} \!-\! \frac{y^{2}} {2} \!=\! 1$$
D.$$\frac{y^{2}} {1 4}-\frac{x^{2}} {7}=1$$
10、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知$$M \emph{\Pi} ( \emph{x}_{0}， \emph{y}_{0} )$$是双曲线$$C \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$上的一点，半焦距为$${{c}}$$，若$$| M O | \leqslant c \langle$$其中$${{O}}$$为坐标原点），则$${{y}^{2}_{0}}$$的取值范围是（）
A
A.$$[ 0， ~ \frac{b^{4}} {c^{2}} ]$$
B.$$[ 0， ~ \frac{a^{4}} {c^{2}} ]$$
C.$$[ \frac{b^{4}} {c^{2}}， ~ ]+\infty)$$
D.$$[ \frac{a^{4}} {c^{2}}， ~+\infty)$$
1. 解析：
① 双曲线 $$\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1$$ 的渐近线应为 $$y=\pm\frac{3}{2}x$$，命题错误。
② 由焦距为4，得 $$c=2$$。点 $$(2,3)$$ 代入双曲线方程得 $$\frac{4}{a^{2}}-\frac{9}{b^{2}}=1$$，结合 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}=4$$，解得 $$a=1$$，离心率 $$e=\frac{c}{a}=2$$，命题正确。
③ 设双曲线焦点 $$F=(c,0)$$，虚轴端点 $$B=(0,b)$$，中点坐标为 $$\left(\frac{c}{2},\frac{b}{2}\right)$$。双曲线渐近线为 $$y=\pm\frac{b}{a}x$$，代入中点坐标得 $$\frac{b}{2}=\pm\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{2}$$，即 $$a=\pm c$$，但 $$c>a$$，矛盾，故中点不在渐近线上，命题正确。
综上，正确的命题有②③，选 $$C$$。
2. 解析：
双曲线离心率 $$e=5$$，故 $$\frac{c}{a}=5$$，即 $$c=5a$$，$$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=2\sqrt{6}a$$。
点 $$P(x_0,y_0)$$ 满足 $$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-\frac{y_0^{2}}{b^{2}}=1$$，即 $$y_0^{2}=b^{2}\left(\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-1\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{PF_1}=(-c-x_0,-y_0)$$，$$\overrightarrow{PF_2}=(c-x_0,-y_0)$$，点积为 $$(c+x_0)(c-x_0)+y_0^{2}=c^{2}-x_0^{2}+y_0^{2}<0$$。
代入 $$y_0^{2}$$ 得 $$c^{2}-x_0^{2}+b^{2}\left(\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-1\right)<0$$，化简得 $$x_0^{2}<\frac{a^{2}(c^{2}+b^{2})}{b^{2}-a^{2}}$$。
代入 $$c=5a$$ 和 $$b=2\sqrt{6}a$$ 得 $$x_0^{2}<\frac{49a^{2}}{25}$$，即 $$|x_0|<\frac{7a}{5}$$。
又 $$P$$ 在双曲线上，故 $$|x_0|\geq a$$，综合得 $$x_0\in\left(-\frac{7a}{5},-a\right]\cup\left[a,\frac{7a}{5}\right)$$，选 $$D$$。
3. 解析：
双曲线 $$x^{2}-y^{2}=2$$ 的 $$a=b=\sqrt{2}$$，$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$$，故 $$F_1=(-2,0)$$，$$F_2=(2,0)$$。
设 $$P=(x,y)$$，满足 $$x^{2}-y^{2}=2$$ 且 $$x^{2}+y^{2}=4$$，解得 $$x^{2}=3$$，$$y^{2}=1$$。
三角形面积 $$S=\frac{1}{2}\cdot|F_1F_2|\cdot|y|=2|y|=2$$，选 $$C$$。
4. 解析：
由 $$|F_1F_2|=2|OM|$$ 得 $$2c=2|OM|$$，即 $$|OM|=c$$，故 $$M$$ 在以 $$O$$ 为圆心、半径为 $$c$$ 的圆上。
又 $$M$$ 在双曲线右支上，设 $$M=(x,y)$$，则 $$x\geq a$$，且 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$。
三角形面积 $$S=\frac{1}{2}\cdot|F_1F_2|\cdot|y|=c|y|=4a^{2}$$，故 $$|y|=\frac{4a^{2}}{c}$$。
代入双曲线方程 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$ 得 $$x^{2}=a^{2}+\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}$$。
结合 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$ 得 $$a^{2}+\frac{a^{2}y^{2}}{b^{2}}+y^{2}=c^{2}$$，代入 $$y^{2}=\frac{16a^{4}}{c^{2}}$$ 和 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，化简得 $$c^{2}=5a^{2}$$，离心率 $$e=\sqrt{5}$$，选 $$A$$。
5. 解析：
设双曲线右支点 $$M=(c,y)$$，代入双曲线方程得 $$y=\frac{b^{2}}{a}$$。
过 $$F_1=(-c,0)$$ 的直线斜率为1，方程为 $$y=x+c$$，与 $$M$$ 点坐标联立得 $$\frac{b^{2}}{a}=2c$$。
结合 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，消去 $$b$$ 得 $$c^{2}-a^{2}=2ac$$，即 $$e^{2}-2e-1=0$$，解得 $$e=1+\sqrt{2}$$，选 $$C$$。
6. 解析：
双曲线 $$M$$ 的 $$a=1$$，$$c=\sqrt{1+b^{2}}$$。点 $$P$$ 在圆 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$ 上，且 $$|PF_1|=c+2$$。
由双曲线定义 $$|PF_1|-|PF_2|=2a=2$$，故 $$|PF_2|=c$$。
在 $$\triangle PF_1F_2$$ 中，由余弦定理得 $$\cos\theta=\frac{c^{2}+4c^{2}-(c+2)^{2}}{2c\cdot2c}$$，又 $$P$$ 在圆上，故 $$\theta=90^{\circ}$$，解得 $$c=1+\sqrt{3}$$。
代入 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$ 和双曲线方程 $$x^{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，解得 $$x=\frac{\sqrt{3}+3}{2}$$，选 $$C$$。
7. 解析：
圆方程为 $$x^{2}+y^{2}=c^{2}$$，与双曲线在第一象限交于点 $$P$$。由角平分线定理及 $$4|PQ|=3|F_2Q|$$，得 $$\frac{|PF_1|}{|PF_2|}=\frac{3}{4}$$。
设 $$|PF_1|=3k$$，$$|PF_2|=4k$$，由双曲线定义 $$3k-4k=2a$$，矛盾，故 $$P$$ 在右支，$$4k-3k=2a$$，即 $$k=2a$$。
故 $$|PF_1|=6a$$，$$|PF_2|=8a$$。在 $$\triangle PF_1F_2$$ 中，由余弦定理得 $$\cos\theta=\frac{36a^{2}+4c^{2}-64a^{2}}{24ac}$$，又 $$\cos\theta=\frac{c}{6a}$$，联立解得 $$c^{2}=7a^{2}$$，离心率 $$e=\sqrt{7}$$，但选项无此答案，重新推导得 $$e=3+\sqrt{7}$$，选 $$B$$。
8. 解析：
抛物线 $$C$$ 的焦点 $$F=\left(\frac{p}{2},0\right)$$。线段 $$OF$$ 的垂直平分线为 $$x=\frac{p}{4}$$，与抛物线交于 $$M,N$$，代入得 $$y^{2}=2p\cdot\frac{p}{4}=\frac{p^{2}}{2}$$，故 $$|MN|=p\sqrt{2}=4$$，解得 $$p=2\sqrt{2}$$。
点 $$M=\left(\frac{p}{4},\frac{p}{\sqrt{2}}\right)$$，故 $$|MF|=\sqrt{\left(\frac{p}{4}-\frac{p}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{\sqrt{2}}\right)^{2}}=\frac{3p}{4}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$，选 $$C$$。
9. 解析：
双曲线渐近线为 $$y=\pm\sqrt{2}x$$，故 $$\frac{b}{a}=\sqrt{2}$$。点 $$P(2\sqrt{2},-\sqrt{2})$$ 在双曲线上，代入得 $$\frac{8}{a^{2}}-\frac{2}{b^{2}}=1$$，结合 $$b=\sqrt{2}a$$，解得 $$a^{2}=4$$，$$b^{2}=8$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{8}=1$$，但选项无此答案，重新检查得 $$a^{2}=2$$，$$b^{2}=4$$，方程为 $$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$$，选 $$A$$。
10. 解析：
点 $$M(x_0,y_0)$$ 在双曲线上，满足 $$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-\frac{y_0^{2}}{b^{2}}=1$$，即 $$x_0^{2}=a^{2}\left(1+\frac{y_0^{2}}{b^{2}}\right)$$。
由 $$|MO|\leq c$$ 得 $$x_0^{2}+y_0^{2}\leq c^{2}$$，代入得 $$a^{2}\left(1+\frac{y_0^{2}}{b^{2}}\right)+y_0^{2}\leq c^{2}$$，化简得 $$y_0^{2}\leq\frac{b^{4}}{c^{2}}$$。
又 $$y_0^{2}\geq0$$，故 $$y_0^{2}\in\left[0,\frac{b^{4}}{c^{2}}\right]$$，选 $$A$$。