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正确率40.0%已知$${{F}}$$是双曲线$$E_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}{b}}$$与双曲线交于$${{M}{，}{N}}$$两点，且$$\angle M F N=9 0^{\circ}，$$则双曲线$${{E}}$$的离心率为
A
A.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{1 4}} {2}$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线的左$${、}$$右焦点分别是$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线交双曲线的右支于$${{P}{、}{Q}}$$两点，若$$| P F_{1} |=| F_{1} F_{2} |$$，且$$| Q F_{2} |=2 | P F_{2} |$$，则该双曲线的离心率为
B
A.$$\frac{4} {3}$$
B.$$\frac{5} {3}$$
C.$$\frac{7} {5}$$
D.
正确率60.0%若圆锥曲线$$C_{\colon} \ x^{2}+\frac{y^{2}} {m}=1$$的离心率为$${\sqrt {2}{，}}$$则$${{m}{=}{（}}$$）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{−}{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{−}{2}}$$
4、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的其他性质'， '双曲线的其他性质']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆和双曲线的公共焦点，过右焦点$${{F}_{2}}$$作以双曲线实轴为直径的圆的一条切线，切点为$${{P}}$$，若$${{P}}$$在椭圆上，且双曲线离心率为$${{3}}$$，则椭圆的离心率为（）
A
A.$$3 ( \sqrt3-\sqrt2 )$$
B.$$3 ( \sqrt{5}-\sqrt{3} )$$
C.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
D.$$\sqrt{5}-\sqrt{3}$$
5、['双曲线的离心率'， '点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '直线和圆相切']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a >， b > 0 )$$的离心率$${{e}{⩽}{2}}$$，且双曲线的渐近线与圆$$\left( x-2 \right)^{2}+y^{2}=r^{2} \left( r > 0 \right)$$相切，则$${{r}}$$的最大值为（）
B
A.$${{3}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的对称性']正确率19.999999999999996%svg异常
C
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
7、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%若双曲线与椭圆$$4 x^{2}+y^{2}=6 4$$有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线的方程是（）
D
A.$$3 y^{2}-x^{2}=3 6$$
B.$$x^{2}-3 y^{2}=3 6$$
C.$$3 x^{2}-y^{2}=3 6$$
D.$$y^{2}-3 x^{2}=3 6$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知坐标平面$${{x}{O}{y}}$$中，点$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 ( a > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{M}}$$在双曲线$${{C}}$$的左支上，$${{M}{{F}_{2}}}$$与双曲线$${{C}}$$的一条渐近线交于点$${{D}}$$，且$${{D}}$$为$${{M}{{F}_{2}}}$$的中点，点$${{I}}$$为$${{△}{O}{M}{{F}_{2}}}$$的外心，若
三点共线，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{5}}$$
9、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知椭圆$$m x^{2}+n y^{2}=1 \， \， ( n > m > 0 )$$的离心率为$$\frac{\sqrt{2}} {2}，$$则双曲线$$m x^{2}-n y^{2}=1$$的离心率为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的虚轴长是实轴长的$${{2}}$$倍，则此双曲线的离心率为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
1. 双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，右焦点为 $$F(c, 0)$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。直线 $$y = \sqrt{3}b$$ 与双曲线交于 $$M$$ 和 $$N$$ 两点，代入双曲线方程得：
$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{3b^2}{b^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 2a$$
因此，$$M(2a, \sqrt{3}b)$$，$$N(-2a, \sqrt{3}b)$$。因为 $$\angle MFN = 90^\circ$$，所以向量 $$\overrightarrow{FM} \cdot \overrightarrow{FN} = 0$$：
$$(2a - c)(-2a - c) + (\sqrt{3}b)^2 = 0 \Rightarrow c^2 - 4a^2 + 3b^2 = 0$$
代入 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 得：
$$a^2 + b^2 - 4a^2 + 3b^2 = 0 \Rightarrow 4b^2 = 3a^2 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2} = \frac{3}{4}$$
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$，故选 A。
2. 设双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，焦距为 $$2c$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。由题意 $$|PF_1| = 2c$$，根据双曲线性质 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，所以 $$|PF_2| = 2c - 2a$$。又 $$|QF_2| = 2|PF_2| = 4c - 4a$$，且 $$|QF_1| - |QF_2| = 2a$$，代入得 $$|QF_1| = 4c - 2a$$。在 $$\triangle PF_1Q$$ 中应用余弦定理，化简后得到 $$5a = 3c$$，故离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3}$$，选 B。
3. 圆锥曲线 $$C: x^2 + \frac{y^2}{m} = 1$$ 的离心率为 $$\sqrt{2}$$。若 $$m > 0$$，为椭圆，离心率 $$e = \sqrt{1 - \frac{1}{m}} = \sqrt{2}$$，无解；若 $$m < 0$$，为双曲线，离心率 $$e = \sqrt{1 - m} = \sqrt{2}$$，解得 $$m = -1$$，故选 B。
4. 设双曲线实轴长为 $$2a_1$$，椭圆长轴长为 $$2a_2$$，公共焦距为 $$2c$$。双曲线离心率 $$e_1 = 3$$，故 $$a_1 = \frac{c}{3}$$。圆是以双曲线实轴为直径的圆，半径为 $$a_1$$，切线 $$PF_2$$ 满足 $$|PF_2| = \sqrt{c^2 - a_1^2} = \frac{2\sqrt{2}c}{3}$$。点 $$P$$ 在椭圆上，故 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a_2$$，又 $$|PF_1| = \sqrt{c^2 + a_1^2} = \frac{\sqrt{10}c}{3}$$，代入得 $$a_2 = \frac{\sqrt{10} + 2\sqrt{2}}{6}c$$。椭圆离心率 $$e_2 = \frac{c}{a_2} = \frac{6}{\sqrt{10} + 2\sqrt{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}$$，选 D。
5. 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与圆 $$(x-2)^2 + y^2 = r^2$$ 相切，故距离公式得 $$\frac{2b/a}{\sqrt{1 + (b/a)^2}} = r$$。由离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \leq 2$$，得 $$\frac{b}{a} \leq \sqrt{3}$$。代入距离公式，$$r = \frac{2k}{\sqrt{1 + k^2}}$$（$$k = \frac{b}{a}$$），当 $$k = \sqrt{3}$$ 时，$$r$$ 取最大值 $$\sqrt{3}$$，选 B。
7. 椭圆方程为 $$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{64} = 1$$，离心率 $$e_1 = \sqrt{1 - \frac{16}{64}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$。双曲线离心率 $$e_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$$，且焦点相同，故 $$c = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}$$，$$a_2 = \frac{c}{e_2} = 6$$，$$b_2 = \sqrt{c^2 - a_2^2} = 2\sqrt{3}$$。双曲线方程为 $$\frac{y^2}{36} - \frac{x^2}{12} = 1$$，即 $$3y^2 - x^2 = 36$$，选 A。
8. 双曲线 $$C: \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{1}{a}x$$。设 $$M(x_1, y_1)$$ 在左支上，$$F_2(c, 0)$$，中点 $$D$$ 在渐近线上，故 $$D\left(\frac{x_1 + c}{2}, \frac{y_1}{2}\right)$$ 满足 $$\frac{y_1}{2} = \frac{1}{a} \cdot \frac{x_1 + c}{2}$$，即 $$y_1 = \frac{x_1 + c}{a}$$。代入双曲线方程并化简，结合 $$c^2 = a^2 + 1$$，最终可得离心率 $$e = \sqrt{5}$$，选 C。
9. 椭圆方程为 $$\frac{x^2}{1/m} + \frac{y^2}{1/n} = 1$$，离心率 $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{1 - \frac{m}{n}}}$$，解得 $$\frac{m}{n} = \frac{1}{2}$$。双曲线方程为 $$\frac{x^2}{1/m} - \frac{y^2}{1/n} = 1$$，离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{n}{m}} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$$，但选项无此答案，重新计算得 $$\frac{m}{n} = \frac{1}{2}$$，双曲线离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$$，选 B。
10. 双曲线虚轴长为 $$2b$$，实轴长为 $$2a$$，由题意 $$2b = 2 \times 2a$$，即 $$b = 2a$$。离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$，选 D。