直线与双曲线的综合应用-3.2 双曲线知识点月考进阶单选题自测题解析-北京市等高一数学选择必修,平均正确率46.0%

正确率80.0%双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一条渐近线与函数$$y=e \operatorname{l n} x ( e$$为自然对数的底数$${{)}}$$的图象相切，则双曲线$${{C}}$$的离心率等于$${{(}{)}}$$

A

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${\sqrt {5}}$$

正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {1 2}=1 ( a > 0 )，$$过其右焦点$${{F}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$$| A B |=1 6，$$若这样的直线$${{l}}$$有$${{4}}$$条，则实数$${{a}}$$的取值范围是（）

B

A.$$\left( \frac{3} {4}， \， 8 \right)$$

B.$$\left( \frac{3} {2}， \， 8 \right)$$

C.$$\left( 0， ~ \frac{3} {2} \right)$$

D.$$( 0， \ 8 )$$

正确率40.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$分别是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，直线$${{l}}$$是双曲线$${{C}}$$的一条渐近线，$${{F}_{2}}$$关于直线$${{l}}$$对称的点为$${{F}^{′}_{2}}$$，以$${{|}{{F}_{1}}{{F}^{′}_{2}}{|}}$$为直径的圆与直线$${{l}}$$有公共点，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为$${{(}{)}}$$

A.$$[ \sqrt{2}，+\infty)$$

B.$$( \sqrt{2}，+\infty)$$

C.$$( 1， \sqrt{2} ]$$

D.$$( 1， \sqrt{2} )$$

正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右支与焦点为$${{F}}$$的抛物线$$x^{2}=2 p y \ ( p > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，已知双曲线$${{C}}$$的一条渐近线方程为$$y=\frac{\sqrt{2}} {2} x$$，且$$| A F |+| B F |=m | O F |$$，则实数$${{m}}$$的值为（）

D

A.$${{1}}$$

B.$${{2}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{4}}$$

正确率40.0%倾斜角为$${{3}{0}^{∘}}$$的直线$${{l}}$$经过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左焦点$${{F}_{1}{，}}$$交双曲线于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{(}{A}}$$在$${{B}}$$的左侧)，线段$${{A}{B}}$$的垂直平分线过右焦点$${{F}_{2}{，}}$$则此双曲线的渐近线方程为（）

A

A.$${{y}{=}{±}{x}}$$

B.$$y=\pm\frac{1} {2} x$$

C.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {2} x$$

D.$$y=\pm\frac{\sqrt{5}} {2} x$$

正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \， a > 0， \， \， b > 0$$的左焦点为$${{F}}$$，右顶点为$${{E}}$$，过点$${{F}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线与双曲线$${{C}}$$相交于不同的两点$${{A}{，}{B}}$$，若$${{△}{A}{B}{E}}$$为锐角三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为（）

A

A.$$( 1， \ 2 )$$

B.$$( {\bf1}， {\bf\mu2} ]$$

C.$$( \ 2， \ 3 ]$$

D.$$[ 2， \ 3 )$$

正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别是$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作斜率是$$\frac{1} {2}$$的直线交双曲线右支于$${{M}}$$点，若$${{M}{{F}_{2}}}$$垂直于$${{x}}$$轴，则双曲线的离心率为（）

B

A.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$

B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$

C.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$

D.$${{1}{+}{\sqrt {5}}}$$

正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$作平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点$${{P}}$$，若点$${{P}}$$在圆心为$$( c， 0 )$$，半径为$${{2}{a}}$$的圆内，则该双曲线离心率的取值范围是（）

B

A.$$( 1， \sqrt{2} )$$

B.$$( 1， 2 )$$

C.$$( \sqrt{2}，+\infty)$$

D.$$( \sqrt{5}，+\infty)$$

正确率40.0%已知离心率为$${{2}}$$的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点$${{F}_{2}}$$是抛物线$$y^{2}=8 x$$的焦点，过点$${{F}_{2}}$$作一条直线$${{l}}$$与双曲线的右半支交于两点$$P， ~ Q， ~ F_{1}$$为双曲线的左焦点，若$$P F_{1} \perp Q F_{1}$$，则直线$${{l}}$$的斜率为（）

D

A.$$\pm\frac{\sqrt{7}} {3}$$

B.$$\pm\frac{\sqrt{7}} {2}$$

C.$$\pm\frac{\sqrt3} {3}$$

D.$$\pm\frac{3 \sqrt{7}} {7}$$

正确率40.0%直线$$y=\frac{b} {2 a} x$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左支$${、}$$右支分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，$${{F}}$$为右焦点，若$$A B \perp B F$$，则该双曲线的离心率为（）

B

A.$${\sqrt {2}}$$

B.$${\sqrt {3}}$$

C.$${\sqrt {5}}$$

D.$${{2}}$$

1. 双曲线的一条渐近线为 $$y = \frac{b}{a}x$$，与函数 $$y = e \ln x$$ 相切。设切点为 $$(x_0, e \ln x_0)$$，则斜率相等且函数值相等：

解得 $$x_0 = e$$，代入得 $$\frac{b}{a} = 1$$。双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{2}$$，故选 **A**。

2. 双曲线 $$C$$ 的右焦点为 $$F = \sqrt{a^2 + 12}$$。若直线 $$l$$ 与双曲线交于两点且 $$|AB| = 16$$，则需满足双曲线的通径长度小于 16。通径长度为 $$\frac{2b^2}{a} = \frac{24}{a}$$，故 $$\frac{24}{a} < 16$$，即 $$a > \frac{3}{2}$$。同时，$$a$$ 必须小于双曲线的实轴长度 $$2a$$ 的限制，综合得 $$a \in \left( \frac{3}{2}, 8 \right)$$，故选 **B**。

3. 设渐近线为 $$y = \frac{b}{a}x$$，$$F_2 = (c, 0)$$，其关于渐近线的对称点 $$F'_2$$ 的坐标为 $$\left( \frac{a^2}{c}, \frac{2ab}{c} \right)$$。以 $$|F_1 F'_2|$$ 为直径的圆的圆心为 $$\left( \frac{a^2}{2c}, \frac{ab}{c} \right)$$，半径 $$r = \frac{c}{2}$$。圆与渐近线有交点，需满足距离小于等于半径：

化简得 $$e \leq \sqrt{2}$$，又 $$e > 1$$，故 $$e \in (1, \sqrt{2}]$$，选 **C**。

4. 双曲线的渐近线为 $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x$$，故 $$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。抛物线的焦点 $$F = (0, \frac{p}{2})$$。设 $$A(x_1, y_1)$$，$$B(x_2, y_2)$$ 在双曲线右支上，则 $$|AF| + |BF| = y_1 + y_2 + p$$。由抛物线性质，$$y_1 + y_2 = m \cdot \frac{p}{2}$$，结合双曲线方程解得 $$m = 3$$，选 **C**。

5. 直线 $$l$$ 的斜率为 $$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$$，方程为 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + c)$$。设 $$AB$$ 的中点为 $$M$$，垂直平分线为 $$y = -\sqrt{3}(x - c)$$。联立双曲线方程，利用中点条件解得 $$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，故渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}x$$，选 **D**。

6. 设双曲线的左焦点 $$F = (-c, 0)$$，右顶点 $$E = (a, 0)$$。过 $$F$$ 的垂直线与双曲线交于 $$A = (-c, \frac{b^2}{a})$$，$$B = (-c, -\frac{b^2}{a})$$。若 $$\triangle ABE$$ 为锐角三角形，需满足 $$AE^2 + BE^2 > AB^2$$，解得 $$1 < e < 2$$，选 **A**。

7. 双曲线的右支点 $$M = (c, \frac{b^2}{a})$$，过 $$F_1$$ 的直线斜率为 $$\frac{1}{2}$$，故 $$\frac{\frac{b^2}{a}}{2c} = \frac{1}{2}$$，即 $$b^2 = a c$$。结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$，选 **B**。

8. 双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。过右焦点 $$F = (c, 0)$$ 平行于一条渐近线的直线为 $$y = \frac{b}{a}(x - c)$$，与另一条渐近线 $$y = -\frac{b}{a}x$$ 的交点为 $$P = \left( \frac{c}{2}, -\frac{b c}{2a} \right)$$。点 $$P$$ 在圆 $$(x - c)^2 + y^2 = 4a^2$$ 内，代入得 $$\frac{c^2}{4} + \frac{b^2 c^2}{4a^2} < 4a^2$$，化简得 $$e < 2$$，又 $$e > 1$$，故 $$e \in (1, 2)$$，选 **B**。

9. 双曲线的离心率 $$e = 2$$，故 $$c = 2a$$，$$b = \sqrt{3}a$$。抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的焦点为 $$(2, 0)$$，故 $$a = 1$$，$$b = \sqrt{3}$$。设直线 $$l$$ 的斜率为 $$k$$，方程为 $$y = k(x - 2)$$。与双曲线联立，利用 $$PF_1 \perp QF_1$$ 的条件解得 $$k = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$$，选 **A**。

10. 直线 $$y = \frac{b}{2a}x$$ 与双曲线的左支交于 $$A = (-2a, -b)$$，右支交于 $$B = (2a, b)$$。右焦点 $$F = (c, 0)$$，向量 $$\overrightarrow{AB} = (4a, 2b)$$，$$\overrightarrow{BF} = (c - 2a, -b)$$。由 $$AB \perp BF$$，得 $$4a(c - 2a) - 2b^2 = 0$$，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，解得 $$e = \sqrt{5}$$，选 **C**。