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正确率40.0%已知点$${{P}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$右支上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线的左$${、}$$右焦点，$${{I}}$$为$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心（三角形$${{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$内切圆的圆心），若$$S_{\triangle I P F_{1}}-S_{\triangle I P F_{2}} \geqslant{\frac{1} {2}} S_{\triangle I F_{1} F_{2}} \propto S_{\triangle I P F_{1}}， \ S_{\triangle I P F_{2}}， \ S_{\triangle I F_{1} F_{2}}$$分别表示$$\triangle I P F_{1}， ~ \triangle I P F_{2}， ~ \triangle I F_{1} F_{2}$$的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）
A
A.$$( {\bf1}， {\bf\mu2} ]$$
B.$$( 1， \ 2 )$$
C.$$( 2， \ 3 )$$
D.$$( \ 2， \ 3 ]$$
2、['双曲线的离心率'， '点与圆的位置关系'， '两点间的距离'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线$${{.}}$$已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是一对相关曲线的焦点，$${{P}}$$是这对相关曲线在第一象限的交点，则点$${{P}}$$与以$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆的位置关系是（）
A
A.在圆外
B.在圆上
C.在圆内
D.不确定
3、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，满足$$\angle P F_{2} F_{1}=\frac{\pi} {2}，$$连接$${{P}{{F}_{1}}}$$交$${{y}}$$轴于点$${{Q}}$$，若$$| Q F_{2} |=\sqrt{2} c$$，则双曲线的离心率是（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%已知双曲线的方程为$$\frac{y^{2}} {4} \!-\! \frac{x^{2}} {9} \!=\! 1，$$则下列关于双曲线说法正确的是（）
D
A.虚轴长为$${{4}}$$
B.焦距为$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.离心率为$$\frac{\sqrt{2 3}} {3}$$
D.渐近线方程为$$2 x \pm3 y=0$$
5、['圆的定义与标准方程'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%$${{P}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的右支上一点，$${{M}{，}{N}}$$分别是圆$$x^{2}+y^{2}+1 0 x+2 1=0$$和$$x^{2}+y^{2}-1 0 x+2 4=0$$上的点，则$$| P M |-| P N |$$的最大值为（）
D
A.$${{6}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{8}}$$
D.$${{9}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线与双曲线的交点个数']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，过坐标原点$${{O}}$$且倾斜角为$${{6}{0}^{∘}}$$的直线与双曲线在第一象限内的交点为$${{P}}$$，当$${{Δ}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为直角三角形时，该双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}} {2}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}} {2}$$或$$\sqrt3+1$$
D.$$\sqrt3+1$$或$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
7、['双曲线的离心率'， '圆的定义与标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%实轴长为$${{2}}$$的双曲线$$C : \frac{y^{2}} {a^{2}}-\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$上恰有$${{4}}$$个不同的点$$P_{i} \ ( i=1， 2， 3， 4 )$$满足$$| P_{i} B |=2 | P_{i} \， A |$$，其中$${{A}{，}{B}}$$分别是双曲线$$x^{2}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右顶点，则$${{C}}$$的离心率的取值范围为
A
A.$$\left( \frac{5 \sqrt{7}} {7}，+\infty\right)$$
B.$$\left( 1， \frac{5 \sqrt{7}} {7} \right)$$
C.$$\left( \frac{7} {5}，+\infty\right)$$
D.$$\left( 1， \frac{7} {5} \right)$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{F}_{1}}$$和$${{F}_{2}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{M}}$$在该双曲线上，且$$M F_{1} \perp M F_{2}$$，若$${{△}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}}$$的面积是$${{4}{{a}^{2}}}$$，则该双曲线的离心率为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
9、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率60.0%若双曲线$$C : \frac{x^{2}} {\lambda^{2}}-\frac{2 y^{2}} {3 \lambda}=1$$的焦距为$${{3}{\sqrt {2}}}$$，则双曲线$${{C}}$$的实轴长为（）
B
A.6
B.3
C.8
D.4
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左，右焦点，$${{O}}$$是坐标原点．过$${{F}_{2}}$$的一条直线与双曲线$${{C}}$$和$${{y}}$$轴分别交于$${{A}{、}{B}}$$两点．若$$| O A |=| O F_{2} |$$，$$| O B |=\sqrt{3} \， | O A |$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为
D
A.$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$$\sqrt3+1$$
1. 解析：设双曲线的离心率为 $$e = \frac{c}{a}$$，其中 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。根据内心性质，面积关系转化为距离关系：
$$S_{\triangle IPF_1} - S_{\triangle IPF_2} = \frac{1}{2} (PF_1 - PF_2) \cdot r = a \cdot r$$
$$S_{\triangle IF_1F_2} = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot r = c \cdot r$$
由题意得 $$a \cdot r \geq \frac{1}{2} c \cdot r$$，即 $$2a \geq c$$，代入 $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ 得 $$4a^2 \geq a^2 + b^2$$，即 $$3a^2 \geq b^2$$。离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \leq \sqrt{1 + 3} = 2$$，又 $$e > 1$$，故范围为 $$(1, 2]$$，选 A。
2. 解析：设椭圆和双曲线的离心率分别为 $$e_1$$ 和 $$e_2$$，且 $$e_1 \cdot e_2 = 1$$。设公共焦点为 $$F_1(-c, 0)$$ 和 $$F_2(c, 0)$$，点 $$P(x, y)$$ 满足椭圆和双曲线方程：
$$\frac{x^2}{a_1^2} + \frac{y^2}{b_1^2} = 1$$（椭圆）
$$\frac{x^2}{a_2^2} - \frac{y^2}{b_2^2} = 1$$（双曲线）
由离心率关系可得 $$a_1 = \frac{c}{e_1}$$，$$a_2 = \frac{c}{e_2} = c e_1$$。计算 $$PF_1 + PF_2 = 2a_1$$ 和 $$|PF_1 - PF_2| = 2a_2$$，解得 $$PF_1 = a_1 + a_2$$，$$PF_2 = a_1 - a_2$$。验证 $$PF_1^2 + PF_2^2 > F_1F_2^2$$，即 $$P$$ 在圆外，选 A。
3. 解析：由题意，$$\angle PF_2F_1 = \frac{\pi}{2}$$，设 $$PF_2 = x$$，则 $$PF_1 = x + 2a$$。由勾股定理：
$$(x + 2a)^2 = x^2 + (2c)^2$$
解得 $$x = \frac{c^2 - a^2}{a}$$。由相似三角形关系，$$|QF_2| = \sqrt{2}c$$ 可得 $$\frac{c}{a} = \sqrt{2}$$，即 $$e = \sqrt{2}$$，选 A。
4. 解析：双曲线 $$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1$$ 的参数：
- 虚轴长为 $$2b = 6$$（A 错误）
- 焦距为 $$2c = 2\sqrt{4 + 9} = 2\sqrt{13}$$（B 错误）
- 离心率 $$e = \frac{\sqrt{13}}{2}$$（C 错误）
- 渐近线方程为 $$y = \pm \frac{2}{3}x$$，即 $$2x \pm 3y = 0$$（D 正确），选 D。
5. 解析：双曲线 $$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$$ 的焦点为 $$F_1(-5, 0)$$ 和 $$F_2(5, 0)$$。圆的圆心分别为 $$C_1(-5, 0)$$ 和 $$C_2(5, 0)$$，半径分别为 $$r_1 = 2$$ 和 $$r_2 = 1$$。$$|PM| - |PN|$$ 的最大值为 $$|PF_1| + r_1 - (|PF_2| - r_2) = 2a + r_1 + r_2 = 6 + 2 + 1 = 9$$，选 D。
6. 解析：设直线 $$OP$$ 的倾斜角为 $$60^\circ$$，则 $$P$$ 的坐标为 $$(r \cos 60^\circ, r \sin 60^\circ)$$。代入双曲线方程得：
$$\frac{r^2 \cos^2 60^\circ}{a^2} - \frac{r^2 \sin^2 60^\circ}{b^2} = 1$$
当 $$\triangle PF_1F_2$$ 为直角三角形时，有两种情况：
1. $$\angle P = 90^\circ$$：解得 $$e = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$$
2. $$\angle F_1$$ 或 $$\angle F_2$$ 为 $$90^\circ$$：解得 $$e = \sqrt{3} + 1$$
综上，选 C。
7. 解析：双曲线 $$C$$ 的实轴长为 $$2$$，即 $$a = 1$$。设 $$P_i(x, y)$$ 满足 $$|P_iB| = 2|P_iA|$$，即：
$$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 \sqrt{(x + 1)^2 + y^2}$$
化简得 $$(x + \frac{5}{3})^2 + y^2 = \frac{16}{9}$$。与双曲线 $$C$$ 的交点需满足 $$4$$ 个不同点，解得离心率范围 $$\left(1, \frac{5\sqrt{7}}{7}\right)$$，选 B。
8. 解析：设 $$MF_1 = d_1$$，$$MF_2 = d_2$$，则 $$|d_1 - d_2| = 2a$$，且 $$d_1^2 + d_2^2 = 4c^2$$。面积为 $$\frac{1}{2} d_1 d_2 = 4a^2$$，联立解得 $$c^2 = 5a^2$$，离心率 $$e = \sqrt{5}$$，选 D。
9. 解析：双曲线 $$C$$ 的标准形式为 $$\frac{x^2}{\lambda^2} - \frac{y^2}{\frac{3\lambda}{2}} = 1$$。焦距 $$2c = 3\sqrt{2}$$，即 $$c = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$。由 $$c^2 = \lambda^2 + \frac{3\lambda}{2}$$，解得 $$\lambda = 3$$。实轴长为 $$2\lambda = 6$$，选 A。
10. 解析：设直线 $$AB$$ 的斜率为 $$k$$，由 $$|OA| = |OF_2| = c$$ 和 $$|OB| = \sqrt{3}c$$，可得直线方程为 $$y = k(x - c)$$。代入双曲线方程并利用向量关系，解得离心率 $$e = \sqrt{2} + 1$$，选 C。