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正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的左、右焦点，点$${{M}}$$在此双曲线的右支上，且$$| M F_{1} |=4 \sqrt{3}，$$则$${{△}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
D
A.$${{4}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{2}{\sqrt {{1}{0}}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {{1}{1}}}}$$
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率40.0%椭圆与双曲线共焦点$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，它们的交点$${{P}}$$对两公共焦点$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$的张角为$$\angle F_{1} P F_{2}=2 \theta$$，椭圆与双曲线的离心率分别为$${{e}_{1}}$$、$${{e}_{2}}$$，则（）
B
A.$$\frac{\operatorname{c o s}^{2} \theta} {e_{1}^{2}}+\frac{\operatorname{s i n}^{2} \theta} {e_{2}^{2}}=1$$
B.$$\frac{\operatorname{s i n}^{2} \theta} {e_{1}^{2}}+\frac{\operatorname{c o s}^{2} \theta} {e_{2}^{2}}=1$$
C.$$\frac{e_{1}^{2}} {\operatorname{c o s}^{2} \theta}+\frac{e_{2}^{2}} {\operatorname{s i n}^{2} \theta}=1$$
D.$$\frac{e_{1}^{2}} {\operatorname{s i n}^{2} \theta}+\frac{e_{2}^{2}} {\operatorname{c o s}^{2} \theta}=1$$
3、['三角形的面积（公式）'， '向量的数量积的定义'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {4}=1$$的两个焦点，双曲线上的$${{P}}$$点满足$$\vec{P F_{1}} \cdot\vec{P F_{2}}=0，$$则$${{Δ}{O}{P}{{F}_{1}}}$$的面积为（）
B
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{4}}$$
D.三角形不存在
5、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$有相同的左右焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$为椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$在第一象限内的一个公共点，设椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，且$$\frac{e_{1}} {e_{2}}=\frac{1} {3}，$$若$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$则双曲线$${{C}_{2}}$$的渐近线方程为（）
C
A.$$x \pm y=0$$
B.$$x \pm\frac{\sqrt{3}} {3} y=0$$
C.$$x \pm\frac{\sqrt{2}} {2} y=0$$
D.$$x \pm2 y=0$$
6、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，过点$${{F}_{1}}$$的直线$${{l}}$$与双曲线的左$${、}$$右两支分别交于点$${{B}{，}{A}}$$，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$为等边三角形，则该双曲线的离心率为（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {7}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%双曲线$${{M}}$$的焦点是$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，若双曲线$${{M}}$$上存在点$${{P}}$$，使$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$是有一个内角为$$\frac{2 \pi} {3}$$的等腰三角形，则$${{M}}$$的离心率是（）
C
A.$$\sqrt3+1$$
B.$$\sqrt{2}+1$$
C.$$\frac{\sqrt3+1} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt2+1} {2}$$
8、['直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$E_{:} \ \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的左$${、}$$右焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过点$${{F}_{1}}$$的直线与双曲线$${{E}}$$的左支交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$\overrightarrow{A B} \cdot\overrightarrow{A F_{2}}=0，$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$的内切圆面积为（）
D
A.$${{7}{2}{π}}$$
B.$$( \sqrt{1 4}-2 ) \， \， \pi$$
C.$$( 9-2 \sqrt{1 4} ) ~ \pi$$
D.$$( 1 8-4 \sqrt{1 4} ) ~ \pi$$
9、['双曲线的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知圆锥曲线$$C_{1} : m x^{2}+n y^{2}=1 ( n > m > 0 ) \sqcup C_{2} : p x^{2}-q y^{2}=1 ( p > 0， q > 0 )$$的公共焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$.点$${{M}}$$为$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$的一个公共点，且满足$$\angle F_{1} M F_{2}=9 0^{\circ}，$$若圆锥曲线$${{C}_{1}}$$的离心率为$$\frac{3} {4}，$$则$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$$\frac{9} {2}$$
B.$$\frac{3 \sqrt2} {2}$$
C.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
D.$$\frac{5} {4}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$为双曲线右支上一点，且$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}}=0，$$若$$\angle P F_{1} F_{2} \in( \frac{\pi} {4}， \ \frac{\pi} {3} ]，$$则双曲线离心率的取值范围是（）
B
A.$$[ 1， ~ \sqrt{3}+1 ]$$
B.$$[ \sqrt{3}+1， ~+\infty)$$
C.$$[ 1， ~ 2 \sqrt{3}+1 ]$$
D.$$[ 2 \sqrt{3}+1， ~+\infty)$$
1. 双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$，可得 $$a = \sqrt{3}$$，$$b = \sqrt{2}$$，$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5}$$。根据双曲线定义，$$|MF_1| - |MF_2| = 2a = 2\sqrt{3}$$，已知 $$|MF_1| = 4\sqrt{3}$$，故 $$|MF_2| = 2\sqrt{3}$$。在 $$\triangle MF_1F_2$$ 中，边长分别为 $$4\sqrt{3}$$、$$2\sqrt{3}$$、$$2c = 2\sqrt{5}$$。利用余弦定理求角，再计算面积：
答案为 B。
2. 设椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，点 $$P$$ 满足 $$\angle F_1PF_2 = 2\theta$$。根据椭圆和双曲线的性质，有：
答案为 A。
3. 双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{8} - \frac{y^{2}}{4} = 1$$，可得 $$a = 2\sqrt{2}$$，$$b = 2$$，$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{3}$$。点 $$P$$ 满足 $$\vec{PF_1} \cdot \vec{PF_2} = 0$$，即 $$\angle F_1PF_2 = 90^\circ$$。利用双曲线性质及勾股定理，可求得 $$|PF_1| = 2\sqrt{6}$$，$$|PF_2| = 2\sqrt{2}$$。$$\triangle OPF_1$$ 的面积为：
答案为 B。
5. 设椭圆 $$C_1$$ 和双曲线 $$C_2$$ 的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，点 $$P$$ 满足 $$\angle F_1PF_2 = \frac{\pi}{3}$$。根据题意 $$\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$$，结合椭圆和双曲线的性质，可求得双曲线的渐近线方程为 $$x \pm \frac{\sqrt{2}}{2} y = 0$$。
答案为 C。
6. 双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，过 $$F_1$$ 的直线与双曲线交于 $$A$$ 和 $$B$$，且 $$\triangle ABF_2$$ 为等边三角形。利用双曲线定义及等边三角形的性质，可求得离心率 $$e = \sqrt{7}$$。
答案为 D。
7. 双曲线 $$M$$ 上存在点 $$P$$，使得 $$\triangle PF_1F_2$$ 是有一个内角为 $$\frac{2\pi}{3}$$ 的等腰三角形。分情况讨论，可得离心率为 $$\sqrt{3} + 1$$。
答案为 A。
8. 双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$$，过 $$F_1$$ 的直线与双曲线左支交于 $$A$$ 和 $$B$$，且 $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AF_2} = 0$$。利用双曲线性质及向量垂直条件，可求得 $$\triangle ABF_2$$ 的内切圆面积为 $$(18 - 4\sqrt{14})\pi$$。
答案为 D。
9. 圆锥曲线 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，点 $$M$$ 满足 $$\angle F_1MF_2 = 90^\circ$$。已知 $$C_1$$ 的离心率为 $$\frac{3}{4}$$，利用椭圆和双曲线的性质，可求得 $$C_2$$ 的离心率为 $$\frac{3\sqrt{2}}{2}$$。
答案为 B。
10. 双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$$，点 $$P$$ 满足 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = 0$$，且 $$\angle PF_1F_2 \in \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$$。利用双曲线性质及角度范围，可求得离心率的取值范围为 $$[1, \sqrt{3} + 1]$$。
答案为 A。
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