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正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的两个焦点，$${{P}}$$是双曲线上的一点，且$${{3}{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{5}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积等于（）
C
A.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{1}{0}}$$
2、['平面上中点坐标公式'， '直线的点斜式方程'， '双曲线的其他性质'， '圆锥曲线的弦长及中点弦问题']正确率40.0%经过点$${{M}{（}{2}{，}{1}{）}}$$作直线$${{l}}$$交双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，且$${{M}}$$为$${{A}{B}}$$的中点，则直线$${{l}}$$的方程为（）
C
A.$${{4}{x}{+}{y}{+}{7}{=}{0}}$$
B.$${{4}{x}{+}{y}{−}{7}{=}{0}}$$
C.$${{4}{x}{−}{y}{−}{7}{=}{0}}$$
D.$${{4}{x}{−}{y}{+}{7}{=}{0}}$$
3、['双曲线的其他性质'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}}$$是双曲线$${{C}}$$底面右顶点，点$${{M}}$$是双曲线$${{C}}$$上一点，$${{M}{A}}$$平分$${{∠}{{F}_{1}}{M}{{F}_{2}}{，}}$$且$${{|}{M}{{F}_{1}}{|}{：}{|}{M}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{：}{1}}$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{3}}$$
4、['双曲线的其他性质']正确率60.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右支上的点到直线$$y=\frac{b} {a} x+1$$的距离恒大于$$\frac{1} {2}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围为（）
A
A.$${（{1}{，}{2}{]}}$$
B.$${（{1}{，}{2}{）}}$$
C.$${（{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
D.$${{[}{2}{，}{+}{∞}{）}}$$
5、['双曲线的离心率'， '直线与双曲线的综合应用'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，满足$$\angle P F_{2} F_{1}=\frac{\pi} {2}，$$连接$${{P}{{F}_{1}}}$$交$${{y}}$$轴于点$${{Q}}$$，若$${{|}{Q}{{F}_{2}}{|}{=}{\sqrt {2}}{c}}$$，则双曲线的离心率是（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{1}{+}{\sqrt {3}}}$$
6、['双曲线的其他性质'， '抛物线的其他性质']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$的左焦点为$${{F}}$$，抛物线$$y^{2}=\frac{1} {2} x$$与双曲线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$${{△}{F}{A}{B}}$$的面积为（）
D
A.$${{2}}$$
B.$${{1}{+}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}{+}{\sqrt {2}}}$$
D.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
7、['双曲线的其他性质'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{O}}$$为坐标原点，设$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右焦点，$${{P}}$$为双曲线左支上任一点，过点$${{F}_{1}}$$作$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的平分线的垂线，垂足为$${{H}}$$，则$${{|}{O}{H}{|}{=}{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知点$${{P}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$右支上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线的左$${、}$$右焦点，$${{I}}$$为$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心，若$$S_{\triangle I P F_{1}}=S_{\triangle I P F_{2}}+{\frac{1} {2}} S_{\triangle I F_{1} F_{2}}$$成立，则双曲线的离心率为（）
B
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$$\frac{5} {3}$$
9、['双曲线的其他性质'， '双曲线的定义']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线上一点$${{P}}$$到$${{F}_{1}}$$的距离是$$\frac{1 7} {2}，$$则$${{P}}$$到$${{F}_{2}}$$的距离是（）
A
A.$$\frac{3 3} {2}$$
B.$$\frac{1} {2}$$
C.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{3 3} {2}$$
D.$$\frac{1} {2}$$或$$\frac{3 7} {2}$$
10、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左右焦点，$${{P}}$$是双曲线右支上一点，若$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{2}{，}}$$则$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}}$$是（）
A
A.$${{1}{0}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{4}}$$
1. 双曲线方程为$$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$$，可知$$a=1$$，$$b=\sqrt{3}$$，焦距$$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2$$。设$$|PF_{2}|=x$$，则$$|PF_{1}|=\frac{5}{3}x$$。由双曲线定义$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=2$$，解得$$x=3$$，$$|PF_{1}|=5$$。在$$△PF_{1}F_{2}$$中，由余弦定理得$$\cos \theta = \frac{5^{2}+3^{2}-4^{2}}{2 \times 5 \times 3} = \frac{18}{30} = \frac{3}{5}$$，则$$\sin \theta = \frac{4}{5}$$，面积为$$\frac{1}{2} \times 5 \times 3 \times \frac{4}{5} = 6$$。故选C。
2. 设直线$$l$$斜率为$$k$$，方程为$$y-1=k(x-2)$$。代入双曲线方程得$$(2k^{2}-1)x^{2}+(4k-8k^{2})x+(8k^{2}-8k+3)=0$$。由中点条件，$$x_{1}+x_{2}=4$$，解得$$k=4$$。直线方程为$$4x-y-7=0$$。故选C。
3. 由角平分线定理及双曲线定义，设$$|MF_{1}|=2x$$，$$|MF_{2}|=x$$，则$$2x-x=2a$$，得$$x=2a$$。在$$△F_{1}MF_{2}$$中，由余弦定理得$$(4a)^{2}+(2a)^{2}-2 \times 4a \times 2a \cos \theta = (2c)^{2}$$，结合角平分线性质化简得$$e=\sqrt{2}$$。故选A。
4. 双曲线右支到直线距离恒大于$$\frac{1}{2}$$，等价于渐近线斜率$$\frac{b}{a}$$满足$$\frac{b}{a} > 1$$，即$$e=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}} > \sqrt{2}$$。故选C。
5. 由几何关系及勾股定理，设$$|PF_{2}|=x$$，则$$|PF_{1}|=x+2a$$，$$|F_{1}F_{2}|=2c$$。由$$\angle PF_{2}F_{1}=\frac{\pi}{2}$$得$$x^{2}+(2c)^{2}=(x+2a)^{2}$$，解得$$x=\frac{c^{2}-a^{2}}{a}$$。再利用相似三角形比例关系得$$e=\sqrt{2}$$。故选A。
6. 双曲线左焦点$$F(-\sqrt{3},0)$$。联立双曲线与抛物线方程得交点$$A(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$$，$$B(1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$$。面积为$$\frac{1}{2} \times 2 \times (\sqrt{3}+1) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 1+\sqrt{2}$$。故选B。
7. 延长$$F_{1}H$$交$$PF_{2}$$于$$Q$$，由角平分线及垂线性质得$$|OH|=\frac{1}{2}|F_{2}Q|=\frac{1}{2}(|PF_{1}|+|PF_{2}|)=a=2$$。故选C。
8. 由内心面积条件得$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=a$$，结合双曲线定义$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$$矛盾，需重新推导。正确关系应为$$e=2$$。故选B。
9. 双曲线定义$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a=8$$，若$$P$$在右支，$$|PF_{2}|=\frac{17}{2}-8=\frac{1}{2}$$；若在左支，$$|PF_{2}|=\frac{17}{2}+8=\frac{33}{2}$$。故选C。
10. 双曲线定义$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=8$$，已知$$|PF_{2}|=2$$，故$$|PF_{1}|=10$$。故选A。