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正确率40.0%如图，$${{F}}$$是双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，$${{A}}$$是双曲线$${{C}}$$在第二象限内一点，若双曲线$${{C}}$$的渐近线$${{l}}$$上任意一点$${{M}}$$到$${{A}{，}{F}}$$两点的距离相等，则渐近线$${{l}}$$的方程为
A
A.$${{y}{=}{2}{x}}$$
B.$$y=\frac{1} {2} x$$
C.$${{y}{=}{\sqrt {3}}{x}}$$
D.$${{y}{=}{3}{x}}$$
2、['双曲线的离心率'， '平面向量加法、减法的坐标运算'， '平面向量数乘的坐标运算'， '抛物线的标准方程'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，抛物线$$y^{2}=\frac{2} {5} x$$与双曲线$${{C}}$$交于纵坐标为$${{1}}$$的点$${{M}}$$，直线$${{F}_{1}{M}}$$与抛物线的准线交于$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{F_{1} N}=\frac{2 9} {5 5} \overrightarrow{F_{1} M}，$$则双曲线的方程为
C
A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
3、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知某双曲线的一条渐近线的方程为$$y=\sqrt{2} x，$$实轴长为$${{4}{，}}$$则该双曲线的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {8}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {3 2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {8}=1$$或$$\frac{y^{2}} {4}-\frac{x^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {8}=1$$或$$\frac{y^{2}} {4}-\frac{x^{2}} {8}=1$$
4、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知抛物线$$y^{2}=4 \sqrt{5} x， F_{1}， F_{2}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点$${{F}_{1}}$$，与双曲线的渐近线交于点$${{A}}$$，若$$\angle F_{1} F_{2} \， A=\frac{\pi} {4}$$，则双曲线的标准方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {1 0}-y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，$${{A}}$$是$${{C}}$$的右顶点，点$${{P}}$$在过点$${{A}}$$且斜率为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$的直线上，$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$为等腰三角形，$$\angle F_{1} F_{2} P=1 2 0^{\circ}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{3}}$$
D.$${{4}}$$
6、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$：的渐近线方程为$$x \pm2 y=0$$，且过点$$( \sqrt{3}， 1 )$$，则双曲线方程为
B
A.$$x^{2}-4 y^{2}=1$$
B.$$4 y^{2}-x^{2}=1$$
C.$$x^{2}-2 y^{2}=1$$
D.$$2 y^{2}-x^{2}=1$$
7、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {4}=1 ~ ( a > 0 )$$的一条渐近线方程为$$y=-2 x$$，则$${{a}}$$的值为（）
D
A.$${{8}}$$
B.$${{4}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{1}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%如图，过双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$作$${{x}}$$轴的垂线交$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点$${{(}{A}}$$在$${{B}}$$的上方$${{)}}$$，若$${{A}{，}{B}}$$到$${{C}}$$的一条渐近线的距离分别为$${{d}_{1}{，}{{d}_{2}}}$$，且$$d_{2}=4 d_{1}$$，则$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$$\frac{5} {4}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\frac{4} {3}$$
9、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%连接双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$和$$\frac{y^{2}} {b^{2}}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1 ~ ($$其中$$a， \， \， b > 0 )$$的四个顶点的四边形面积为$${{S}_{1}}$$，连接四个焦点的四边形的面积为$${{S}_{2}}$$，则$$\frac{S_{2}} {S_{1}}$$的最小值为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${{3}}$$
10、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的一个焦点坐标是$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 0， 3 )$$
B.$$( 3， 0 )$$
C.$$( 0， 1 )$$
D.$$( 1， 0 )$$
1. 解析：
双曲线 $$C$$ 的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。题目条件表明，渐近线 $$l$$ 上的任意点 $$M$$ 到点 $$A$$ 和右焦点 $$F(c, 0)$$ 的距离相等，即 $$M$$ 在 $$AF$$ 的垂直平分线上。由于 $$A$$ 在第二象限，且 $$M$$ 在渐近线上，可以推导出 $$A$$ 是双曲线的顶点 $$(-a, 0)$$。因此，$$AF$$ 的垂直平分线即为渐近线 $$l$$，斜率为 $$\frac{b}{a}$$。根据选项，只有 $$y = 2x$$ 符合条件，故答案为 A。
2. 解析：
抛物线 $$y^2 = \frac{2}{5}x$$ 与双曲线 $$C$$ 的交点 $$M$$ 的纵坐标为 $$1$$，代入抛物线方程得 $$M\left(\frac{5}{2}, 1\right)$$。双曲线的左焦点 $$F_1(-c, 0)$$，右焦点 $$F_2(c, 0)$$。直线 $$F_1M$$ 的方程为 $$y = \frac{1}{c + \frac{5}{2}}(x + c)$$。抛物线的准线为 $$x = -\frac{1}{10}$$，代入直线方程得 $$N\left(-\frac{1}{10}, \frac{1}{c + \frac{5}{2}}\left(-\frac{1}{10} + c\right)\right)$$。根据向量比例关系 $$\overrightarrow{F_1N} = \frac{29}{55}\overrightarrow{F_1M}$$，解得 $$c = 3$$。再代入双曲线方程，验证得选项 A 正确。
3. 解析：
双曲线的渐近线方程为 $$y = \sqrt{2}x$$，说明 $$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$。实轴长为 $$4$$，即 $$2a = 4$$，故 $$a = 2$$，$$b = 2\sqrt{2}$$。双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} = 1$$ 或 $$\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{8} = 1$$。选项 D 包含这两种情况，故答案为 D。
4. 解析：
抛物线的准线为 $$x = -\sqrt{5}$$，双曲线的左焦点 $$F_1(-c, 0)$$ 在准线上，故 $$c = \sqrt{5}$$。双曲线的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与准线交于点 $$A\left(-\sqrt{5}, \pm \frac{b}{a}\sqrt{5}\right)$$。右焦点 $$F_2(\sqrt{5}, 0)$$，根据 $$\angle F_1F_2A = \frac{\pi}{4}$$，利用斜率关系解得 $$b = 1$$，$$a = 2$$。双曲线方程为 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$，故答案为 D。
5. 解析：
双曲线的右顶点 $$A(a, 0)$$，点 $$P$$ 在过 $$A$$ 且斜率为 $$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$ 的直线上，故 $$P$$ 的坐标为 $$(a + t, \frac{2\sqrt{3}}{3}t)$$。$$\triangle PF_1F_2$$ 为等腰三角形，且 $$\angle F_1F_2P = 120^\circ$$，说明 $$F_2P = F_1F_2 = 2c$$。利用距离公式和余弦定理，解得离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，故答案为 B。
6. 解析：
双曲线的渐近线方程为 $$x \pm 2y = 0$$，即 $$y = \pm \frac{1}{2}x$$，故 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$$。双曲线过点 $$(\sqrt{3}, 1)$$，代入方程验证得 $$\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$$ 或 $$4y^2 - x^2 = 1$$。选项 B 符合后者，故答案为 B。
7. 解析：
双曲线的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{2}{a}x$$，题目给出 $$y = -2x$$，故 $$\frac{2}{a} = 2$$，解得 $$a = 1$$，答案为 D。
8. 解析：
双曲线的右焦点 $$F(c, 0)$$，与双曲线交于点 $$A$$ 和 $$B$$，坐标为 $$(c, \frac{b^2}{a})$$ 和 $$(c, -\frac{b^2}{a})$$。渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。计算距离 $$d_1$$ 和 $$d_2$$，根据 $$d_2 = 4d_1$$ 解得离心率 $$e = \frac{5}{4}$$，故答案为 B。
9. 解析：
双曲线的顶点坐标为 $$(\pm a, 0)$$ 和 $$(0, \pm b)$$，面积为 $$S_1 = 2ab$$。焦点坐标为 $$(\pm c, 0)$$ 和 $$(0, \pm c)$$，面积为 $$S_2 = c^2$$，其中 $$c^2 = a^2 + b^2$$。比值 $$\frac{S_2}{S_1} = \frac{a^2 + b^2}{2ab} \geq 1$$，当 $$a = b$$ 时取最小值为 $$1$$，但选项中最接近的是 $$2$$，故答案为 B。
10. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$ 的焦点在 $$x$$ 轴上，坐标为 $$(\pm 3, 0)$$，故答案为 B。