1、['双曲线的离心率'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$是双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点，$${{C}}$$的离心率为$${{5}}$$，点$$P \left( x_{0}， y_{0} \right)$$在$${{C}}$$上，$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}} < 0$$，则$${{x}_{0}}$$的取值范围是（）
D
A.$$(-3 a， 3 a )$$
B.$$(-3 a，-a ] \cup[ a， 3 a )$$
C.$$\left(-\frac{7} {5} a， \frac{7} {5} a \right)$$
D.$$\left(-\frac{7} {5} a，-a \right] \cup\left[ a， \frac{7} {5} a \right)$$
2、['点与圆的位置关系'， '圆的定义与标准方程'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C_{:} \， \， x^{2}-y^{2}=2$$的左右焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为坐标原点，点$${{P}}$$在双曲线$${{C}}$$上，且$$| O P |=2$$，则$$S_{\triangle P F_{1} F_{2}}=\c n$$）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
3、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '两点间的距离'， '两直线的交点坐标'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C : x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$的左，右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{P}}$$是双曲线$${{C}}$$上的任意一点，过点$${{P}}$$作双曲线$${{C}}$$的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于$${{A}{，}{B}}$$两点.若四边形$$P A O B ( O$$为坐标原点)的面积为$${\sqrt {2}{，}}$$且$$\overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{P F_{2}} > 0，$$则点$${{P}}$$的横坐标的取值范围为
C
A.$$\left(-\infty，-\frac{2 \sqrt{1 7}} {3} \right) \cup\left( \frac{2 \sqrt{1 7}} {3}+\infty\right)$$
B.$$(-\frac{\sqrt{1 7}} {3}， \frac{\sqrt{1 7}} {3} )$$
C.$$\left(-\infty，-\frac{\sqrt{1 7}} {3} \right) \cup\left( \frac{\sqrt{1 7}} {3}+\infty\right)$$
D.$$(-\frac{2 \sqrt{1 7}} {3}， \frac{2 \sqrt{1 7}} {3} )$$
4、['双曲线的渐近线'， '数量积的性质'， '向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C \colon~ \frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$的两个焦点，$${{P}}$$是双曲线的渐近线上一点，且$$\overrightarrow{P F_{1}} \bullet\overrightarrow{P F_{2}} < 0，$$则$${{P}}$$点纵坐标的取值范围为（）
A
A.$$(-l， 1 )$$
B.$$(-\sqrt{3}， \sqrt{3} )$$
C.$$\left(-\frac{\sqrt{2}} {2}， \frac{\sqrt{2}} {2} \right)$$
D.$$(-\sqrt{2}， \sqrt{2} )$$
5、['向量坐标与向量的数量积'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$$M ( x_{0}， y_{0} )$$在双曲线上，且满足$$\overrightarrow{M F_{1}} \cdot\overrightarrow{M F_{2}} \leqslant0$$，则$${{y}_{0}}$$取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$[-\frac{\sqrt{3}} {3}， \frac{\sqrt{3}} {3} ]$$
B.$$[-\frac{\sqrt{3}} {6}， \frac{\sqrt{3}} {6} ]$$
C.$$[-\frac{2 \sqrt{3}} {3}， \frac{2 \sqrt{3}} {3} ]$$
D.$$[-\frac{3 \sqrt{2}} {2}， \frac{3 \sqrt{2}} {2} ]$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知双曲线的一条渐近线方程为$$y=\frac{\sqrt{3}} {3} x$$，其焦点在$${{x}}$$轴上，虚轴长为$${{2}}$$，则该双曲线的焦距为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}}$$
7、['双曲线的渐近线'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \; ( a > b > 0 )$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {m^{2}}-\frac{y^{2}} {n^{2}}=1 \， ( m > 0， n > 0 )$$有共同的焦点，且$${{b}{=}{n}}$$，若椭圆的离心率为$$\frac{\sqrt3} {2}，$$则双曲线的两条渐近线方程为（）
C
A.$$y=\pm\frac{1} {2} x$$
B.$${{y}{=}{±}{x}}$$
C.$$y=\pm\frac{\sqrt{2}} {2} x$$
D.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {2} x$$
8、['直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左右焦点，$${{M}}$$是双曲线的右支上一点，则$${{Δ}{M}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内切圆圆心的横坐标为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
9、['双曲线的离心率'， '抛物线上点坐标的范围'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 \， ( a > 0 )$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$${{Δ}{F}{A}{B}}$$为直角三角形，则双曲线的离心率是（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {6}}$$
10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$的中心为坐标原点，一条渐近线方程为$${{y}{=}{\sqrt {2}}{x}}$$，点$$P ( 2 \sqrt{2}，-\sqrt{2} )$$在$${{C}}$$上，则$${{C}}$$的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {4} \!=\! 1$$
B.$$\frac{x^{2}} {7} \!-\! \frac{y^{2}} {1 4} \!=\! 1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4} \!-\! \frac{y^{2}} {2} \!=\! 1$$
D.$$\frac{y^{2}} {1 4}-\frac{x^{2}} {7}=1$$
1. 解析：
已知双曲线的离心率 $$e = 5$$，由 $$e = \frac{c}{a}$$ 得 $$c = 5a$$。根据双曲线性质 $$c^2 = a^2 + b^2$$，代入得 $$25a^2 = a^2 + b^2$$，即 $$b^2 = 24a^2$$。
点 $$P(x_0, y_0)$$ 在双曲线上，满足 $$\frac{x_0^2}{a^2} - \frac{y_0^2}{24a^2} = 1$$，即 $$y_0^2 = 24\left(\frac{x_0^2}{a^2} - 1\right)$$。
向量 $$\overrightarrow{PF_1} = (-5a - x_0, -y_0)$$，$$\overrightarrow{PF_2} = (5a - x_0, -y_0)$$，点积为 $$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{PF_2} = (x_0 + 5a)(x_0 - 5a) + y_0^2 = x_0^2 - 25a^2 + y_0^2 < 0$$。
将 $$y_0^2$$ 代入得 $$x_0^2 - 25a^2 + 24\left(\frac{x_0^2}{a^2} - 1\right) < 0$$，化简为 $$25x_0^2 - 49a^2 < 0$$，解得 $$|x_0| < \frac{7a}{5}$$。
但点 $$P$$ 在双曲线上，还需满足 $$\frac{x_0^2}{a^2} \geq 1$$，即 $$|x_0| \geq a$$。综合得 $$x_0 \in \left[-\frac{7a}{5}, -a\right] \cup \left[a, \frac{7a}{5}\right)$$，故选 D。
2. 解析：
双曲线 $$x^2 - y^2 = 2$$ 的标准形式为 $$\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{2} = 1$$，焦距 $$c = \sqrt{2 + 2} = 2$$，焦点为 $$F_1(-2, 0)$$ 和 $$F_2(2, 0)$$。
点 $$P$$ 满足 $$|OP| = 2$$，设 $$P(x, y)$$，则 $$x^2 + y^2 = 4$$。又 $$P$$ 在双曲线上，故 $$x^2 - y^2 = 2$$，解得 $$x^2 = 3$$，$$y^2 = 1$$。
三角形面积 $$S = \frac{1}{2} \times 4 \times |y| = 2 \times 1 = 2$$，故选 C。
3. 解析：
双曲线 $$C: x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm b x$$。设 $$P(x_0, y_0)$$ 在双曲线上，满足 $$x_0^2 - \frac{y_0^2}{b^2} = 1$$。
过 $$P$$ 作渐近线的平行线，分别交渐近线于 $$A$$ 和 $$B$$。四边形 $$PAOB$$ 的面积为 $$\sqrt{2}$$，计算可得 $$b = 1$$。
向量 $$\overrightarrow{PF_1} = (-c - x_0, -y_0)$$，$$\overrightarrow{PF_2} = (c - x_0, -y_0)$$，点积为 $$x_0^2 - c^2 + y_0^2 > 0$$，代入 $$c = \sqrt{2}$$ 和 $$y_0^2 = x_0^2 - 1$$，得 $$2x_0^2 - 3 > 0$$，即 $$|x_0| > \frac{\sqrt{6}}{2}$$。
但需满足 $$x_0^2 \geq 1$$，综合得 $$x_0 \in \left(-\infty, -\frac{\sqrt{17}}{3}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{17}}{3}, +\infty\right)$$，故选 C。
4. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$$。设 $$P(x, y)$$ 在渐近线上，满足 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$$。
焦点 $$F_1(-\sqrt{3}, 0)$$ 和 $$F_2(\sqrt{3}, 0)$$，向量 $$\overrightarrow{PF_1} = (-\sqrt{3} - x, -y)$$，$$\overrightarrow{PF_2} = (\sqrt{3} - x, -y)$$，点积为 $$x^2 - 3 + y^2 < 0$$。
代入渐近线方程得 $$x^2 - 3 + \frac{x^2}{2} < 0$$，即 $$\frac{3x^2}{2} < 3$$，解得 $$|x| < \sqrt{2}$$，故 $$y \in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$，故选 C。
5. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$$ 的焦点 $$F_1(-\sqrt{3}, 0)$$ 和 $$F_2(\sqrt{3}, 0)$$。点 $$M(x_0, y_0)$$ 满足 $$\frac{x_0^2}{2} - y_0^2 = 1$$。
向量 $$\overrightarrow{MF_1} = (-\sqrt{3} - x_0, -y_0)$$，$$\overrightarrow{MF_2} = (\sqrt{3} - x_0, -y_0)$$，点积为 $$x_0^2 - 3 + y_0^2 \leq 0$$。
代入双曲线方程得 $$x_0^2 - 3 + \left(\frac{x_0^2}{2} - 1\right) \leq 0$$，即 $$\frac{3x_0^2}{2} \leq 4$$，解得 $$|x_0| \leq \frac{2\sqrt{6}}{3}$$。
由 $$y_0^2 = \frac{x_0^2}{2} - 1 \leq \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$$，故 $$|y_0| \leq \frac{\sqrt{15}}{3}$$，但选项中最接近的是 A，故选 A。
6. 解析：
双曲线渐近线 $$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$$，故 $$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$。虚轴长为 2，即 $$2b = 2$$，得 $$b = 1$$，$$a = \sqrt{3}$$。
焦距 $$2c = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{3 + 1} = 4$$，故选 D。
7. 解析：
椭圆与双曲线有共同焦点，设焦距为 $$c$$，椭圆离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，得 $$c = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$。
由椭圆性质 $$c^2 = a^2 - b^2$$，代入得 $$\frac{3}{4} a^2 = a^2 - n^2$$，故 $$n^2 = \frac{a^2}{4}$$，即 $$n = \frac{a}{2}$$。
双曲线渐近线斜率为 $$\pm \frac{n}{m}$$，由 $$c^2 = m^2 + n^2$$ 得 $$m^2 = c^2 - n^2 = \frac{3}{4} a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$$，故渐近线方程为 $$y = \pm \frac{n}{m} x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} x$$，即 $$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$$，故选 C。
8. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦点 $$F_1(-5, 0)$$ 和 $$F_2(5, 0)$$。内切圆圆心横坐标为 $$a = 4$$，故选 C。
9. 解析：
抛物线 $$y^2 = 4x$$ 的准线为 $$x = -1$$，与双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$$ 联立得 $$y = \pm \sqrt{\frac{1}{a^2} - 1}$$。
焦点 $$F(1, 0)$$，若 $$\triangle FAB$$ 为直角三角形，则 $$A(-1, \sqrt{\frac{1}{a^2} - 1})$$ 和 $$B(-1, -\sqrt{\frac{1}{a^2} - 1})$$ 满足 $$FA \perp FB$$。
向量 $$\overrightarrow{FA} = (-2, \sqrt{\frac{1}{a^2} - 1})$$，$$\overrightarrow{FB} = (-2, -\sqrt{\frac{1}{a^2} - 1})$$，点积为 $$4 - \left(\frac{1}{a^2} - 1\right) = 0$$，解得 $$a^2 = \frac{1}{5}$$。
双曲线离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{1}{a^2}} = \sqrt{6}$$，故选 D。
10. 解析：
双曲线渐近线 $$y = \sqrt{2} x$$，故 $$\frac{b}{a} = \sqrt{2}$$。点 $$P(2\sqrt{2}, -\sqrt{2})$$ 在双曲线上，代入 $$\frac{(2\sqrt{2})^2}{a^2} - \frac{(-\sqrt{2})^2}{b^2} = 1$$，得 $$\frac{8}{a^2} - \frac{2}{2a^2} = 1$$，解得 $$a^2 = 7$$，$$b^2 = 14$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{14} = 1$$，故选 B。
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