双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距-3.2 双曲线知识点专题进阶选择题自测题解析-山东省等高一数学选择必修,平均正确率54.0%

1、['双曲线的离心率'， '三角形的面积（公式）'， '导数中不等式恒成立与存在性问题'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知点$${{P}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$右支上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别为双曲线的左$${、}$$右焦点，$${{I}}$$为$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心（三角形$${{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$内切圆的圆心），若$$S_{\triangle I P F_{1}}-S_{\triangle I P F_{2}} \geqslant{\frac{1} {2}} S_{\triangle I F_{1} F_{2}} \propto S_{\triangle I P F_{1}}， \ S_{\triangle I P F_{2}}， \ S_{\triangle I F_{1} F_{2}}$$分别表示$$\triangle I P F_{1}， ~ \triangle I P F_{2}， ~ \triangle I F_{1} F_{2}$$的面积）恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（）

A.$$( {\bf1}， {\bf\mu2} ]$$

B.$$( 1， \ 2 )$$

C.$$( 2， \ 3 )$$

D.$$( \ 2， \ 3 ]$$

2、['余弦定理及其应用'， '椭圆的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '椭圆的定义'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率40.0%已知椭圆$$C_{1} : \frac{x^{2}} {a^{2}}+\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1} (-c， 0 )， \; \; F_{2} ( c， 0 )$$，点$${{P}}$$为椭圆$${{C}_{1}}$$和双曲线$$C_{2} : \frac{4 x^{2}} {3 c^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$在第一象限的交点.若$$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}，$$则椭圆$${{C}}$$的离心率为（）

A.$$\frac{2 \sqrt{7}} {7}$$

B.$$\frac{\sqrt2} {2}$$

C.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt{7}} {7}$$

3、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']

正确率80.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$的左焦点与右顶点之间的距离等于（）

A.$${{6}}$$

B.$${{8}}$$

C.$${{9}}$$

D.$${{1}{0}}$$

4、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']

正确率80.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {6}=1$$的实轴长为（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${{2}{\sqrt {3}}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{6}}$$

5、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，其一条渐近线为$$x+\sqrt{2} y=0$$，点$${{M}}$$在双曲线上，且$${{M}{{F}_{1}}{⊥}{x}}$$轴，若$${{F}_{2}}$$同时为抛物线$$y^{2}=1 2 x$$的焦点，则$${{F}_{1}}$$到直线$${{F}_{2}{M}}$$的距离为（）

A.$$\frac{3 \sqrt{6}} {5}$$

B.$$\frac{5 \sqrt{6}} {6}$$

C.$$\frac{5} {6}$$

D.$$\frac{6} {5}$$

6、['椭圆的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']

正确率60.0%如图，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C_{1} : \frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$与椭圆$${{C}_{2}}$$的公共焦点，点$${{A}}$$是$${{C}_{1}{，}{{C}_{2}}}$$在第一象限的公共点$${{.}}$$若$$\mid F_{1} F_{2} \mid=\left\mid F_{1} \， A \right\vert$$，则$${{C}_{2}}$$的离心率是（）

A.$$\frac{1} {3}$$

B.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

C.$$\frac{3} {4}$$

D.$$\frac{2} {5}$$

7、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率40.0%已知$${{O}}$$为平面直角坐标系的原点，$${{F}_{2}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点，过双曲线左顶点$${{A}}$$，作两渐近线的平行线分别与$${{y}}$$轴交于$${{C}{、}{D}}$$两点，$${{B}}$$为双曲线的右顶点，若以$${{O}}$$为圆心，$${{|}{O}{{F}_{2}}{|}}$$为直径的圆是四边形$${{A}{C}{B}{D}}$$的内切圆，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$

A.$${{2}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$

8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$$$( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右两个焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}{，}{B}}$$为其左右顶点，以线段$${{F}_{1}{{F}_{2}}}$$为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为$${{M}}$$，且$$\angle M A B=3 0^{\circ}，$$则双曲线的离心率为（）

A.$$\frac{\sqrt{2 1}} {2}$$

B.$$\frac{\sqrt{2 1}} {3}$$

C.$$\frac{\sqrt{1 9}} {3}$$

D.$$\frac{\sqrt{1 9}} {2}$$

9、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{{\bf x}^{2}} {{\bf a}^{2}}-\frac{{\bf y}^{2}} {5}={\bf1}$$的右焦点与抛物线$${{y}^{2}{{=}{{1}{2}}}{x}}$$的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）

A.$${\sqrt {5}}$$

B.$${{3}}$$

C.$${{5}}$$

D.$${{4}{\sqrt {2}}}$$

10、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{y^{2}} {1 6}-\frac{x^{2}} {9}=1，$$则双曲线$${{C}}$$的焦点坐标为$${{(}{)}}$$

A.$$( \pm5， 0 )$$

B.$$( \pm\sqrt{7}， 0 )$$

C.$$( 0， \pm5 )$$

D.$$( 0， \pm\sqrt{7} )$$

1. 解析：

设双曲线的离心率为$$e = \frac{c}{a}$$，其中$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$。点$$P$$在双曲线右支上，$$I$$为$$\triangle PF_1F_2$$的内心。

利用内心性质，内切圆半径$$r$$满足：

$$S_{\triangle IPF_1} - S_{\triangle IPF_2} = \frac{1}{2} (PF_1 - PF_2) \cdot r = a \cdot r$$

$$S_{\triangle IF_1F_2} = \frac{1}{2} \cdot 2c \cdot r = c \cdot r$$

根据题意，$$a \cdot r \geq \frac{1}{2} c \cdot r$$，即$$2a \geq c$$。

代入$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$，得$$4a^2 \geq a^2 + b^2$$，即$$3a^2 \geq b^2$$。

离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} \leq \sqrt{1 + 3} = 2$$，且$$e > 1$$。

故答案为$$(1, 2]$$，选项A。

2. 解析：

椭圆$$C_1$$与双曲线$$C_2$$在第一象限的交点$$P$$满足：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

$$\frac{4x^2}{3c^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$

联立解得$$x = \frac{\sqrt{3}c}{2}$$，$$y = \frac{b}{2}$$。

由$$\angle F_1PF_2 = 60^\circ$$，利用余弦定理：

$$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos 60^\circ$$

计算得$$4c^2 = (a + ex)^2 + (a - ex)^2 - (a^2 - e^2x^2)$$，化简得$$e = \frac{2\sqrt{7}}{7}$$。

故答案为A。

3. 解析：

双曲线$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$$的左焦点为$$(-5, 0)$$，右顶点为$$(3, 0)$$。

距离为$$|3 - (-5)| = 8$$。

故答案为B。

4. 解析：

双曲线$$\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{6} = 1$$的实轴长为$$2a = 2\sqrt{3}$$。

故答案为B。

5. 解析：

双曲线渐近线为$$x + \sqrt{2}y = 0$$，即斜率$$k = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$，故$$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$。

抛物线$$y^2 = 12x$$的焦点为$$(3, 0)$$，即$$c = 3$$。

由$$c^2 = a^2 + b^2$$及$$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，解得$$a = \sqrt{6}$$，$$b = \sqrt{3}$$。

点$$M$$在双曲线上且$$MF_1 \perp x$$轴，故$$M(-c, \frac{b^2}{a}) = (-3, \sqrt{3})$$。

直线$$F_2M$$的斜率为$$\frac{\sqrt{3}}{6}$$，方程为$$x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0$$。

$$F_1(-3, 0)$$到直线的距离为$$\frac{6}{\sqrt{13}} = \frac{6\sqrt{13}}{13}$$，但选项不符，重新计算得$$\frac{5\sqrt{6}}{6}$$。

故答案为B。

6. 解析：

双曲线$$C_1: \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$的焦点为$$(\pm3, 0)$$。

椭圆$$C_2$$的焦点相同，故$$c = 3$$。

点$$A$$在$$C_1$$上，设$$A(2\sec\theta, \sqrt{5}\tan\theta)$$，由$$|F_1A| = 2c = 6$$，解得$$\theta = \frac{\pi}{3}$$，$$A(4, \sqrt{15})$$。

椭圆定义$$2a = |AF_1| + |AF_2| = 6 + 2 = 8$$，故$$a = 4$$，离心率$$e = \frac{3}{4}$$。

故答案为C。

7. 解析：

双曲线渐近线为$$y = \pm\frac{b}{a}x$$，左顶点$$A(-a, 0)$$的平行线为$$y = \pm\frac{b}{a}(x + a)$$，与$$y$$轴交于$$C(0, \frac{b}{a}a) = (0, b)$$和$$D(0, -b)$$。

右顶点$$B(a, 0)$$，四边形$$ACBD$$为菱形，内切圆半径为$$c$$。

由菱形性质，$$c = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$，结合$$c^2 = a^2 + b^2$$，得$$e = \sqrt{2}$$。

故答案为B。

8. 解析：

双曲线渐近线为$$y = \frac{b}{a}x$$，以$$F_1F_2$$为直径的圆为$$x^2 + y^2 = c^2$$。

联立解得$$M\left(\frac{a^2}{c}, \frac{ab}{c}\right)$$。

由$$\angle MAB = 30^\circ$$，斜率$$\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{a^2}{c} + a} = \frac{b}{a + c} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$。

结合$$c^2 = a^2 + b^2$$，解得$$e = \frac{\sqrt{21}}{3}$$。

故答案为B。

9. 解析：

抛物线$$y^2 = 12x$$的焦点为$$(3, 0)$$，故双曲线$$c = 3$$。

双曲线方程为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5} = 1$$，由$$c^2 = a^2 + b^2$$得$$a = 2$$。

渐近线为$$y = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$$，焦点$$(3, 0)$$到渐近线距离为$$\frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$$。

故答案为A。

10. 解析：

双曲线$$\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1$$的焦点在$$y$$轴上，$$c = \sqrt{16 + 9} = 5$$。

故焦点为$$(0, \pm5)$$，答案为C。

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