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正确率19.999999999999996%已知直线$${{x}{=}{3}}$$与双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {9}-y^{2}=1$$的渐近线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，设$${{P}}$$为双曲线上任一点，若$$\overrightarrow{O P}=a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B} ( a， b \in R， O$$为坐标原点$${{)}}$$，则下列不等式恒成立的是$${{(}{)}}$$
C
A.$${{a}^{2}{+}{{b}^{2}}{⩾}{1}}$$
B.$${{|}{a}{b}{|}{⩾}{1}}$$
C.$${{|}{a}{+}{b}{|}{⩾}{1}}$$
D.$${{|}{a}{−}{b}{|}{⩾}{1}}$$
2、['双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知抛物线$${{y}^{2}{=}{{2}{0}}{x}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$有共同的焦点，并且双曲线的一条渐近线的斜率为$${{2}}$$，则双曲线的方程是（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {2 0}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {2 0}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两条直线垂直']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}} \!=\! 1 ( a \! > \! 0， b \! > 0 )$$的一条渐近线与直线$${{x}{+}{\sqrt {3}}{y}{−}{4}{=}{0}}$$垂直，则该双曲线的离心率为
C
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$$\frac{4} {3}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '圆的定义与标准方程'， '直线和圆与其他知识的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%分别以双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的中心和一个焦点为圆心，半径均为$${{c}{(}{c}}$$为双曲线的半焦距)的两个圆的交点在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
5、['双曲线的离心率'， '点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知椭圆$$\frac{x^{2}} {4+m^{2}}+\frac{y^{2}} {m^{2}} \!=\! 1$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}} \!=\! 1$$有共同的焦点，且其中的一个焦点$${{F}}$$到双曲线的两条渐近线的距离之和为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，则双曲线的离心率为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的交点个数']正确率40.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的离心率等于$${\sqrt {2}{，}}$$直线$${{y}{=}{k}{x}{+}{2}}$$与双曲线的左右两支各有一个交点，则$${{k}}$$的取值范围是（）
B
A.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{1}{)}{∪}{(}{1}{，}{+}{∞}{)}}$$
B.$${{(}{−}{1}{，}{1}{)}}$$
C.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{\sqrt {2}}{)}{∪}{(}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
D.$${{(}{−}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{)}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两点间的距离'， '直线与双曲线的综合应用']正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的虚轴长为$${{2}}$$，直线$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$是双曲线$${{C}}$$的两条渐近线. 若直线$${{y}{=}{m}{(}{m}{≠}{0}{)}}$$与$${{l}{1}{，}{l}{2}}$$及双曲线$${{C}}$$的右支分别交于$${{A}{，}{B}{，}{P}}$$三点，且满足$${{|}{P}{A}{|}{|}{P}{B}{|}{=}{4}}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率等于
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '两圆的公切线条数及方程的确定'， '圆与圆的位置关系及其判定']正确率40.0%已知双曲线$$E : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的焦距为$${{2}{c}}$$，圆$${{C}_{1}{:}{{(}{x}{−}{c}{)}^{2}}{+}{{y}^{2}}{=}{{r}^{2}}{{(}{r}{>}{0}{)}}}$$与圆$${{C}_{2}{:}{{x}^{2}}{+}{{(}{y}{−}{m}{)}^{2}}{=}{4}{{r}^{2}}{{(}{m}{∈}{R}{)}}}$$外切，且$${{E}}$$的两条渐近线恰为两圆的公切线，则$${{E}}$$的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
9、['双曲线的渐近线'， '直线与双曲线的综合应用'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '直线的斜率']正确率60.0%平行四边形$${{A}{B}{C}{D}}$$的四个顶点均在双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上，直线$${{A}{B}{，}{A}{D}}$$的斜率分别为$$\frac{1} {2}， ~ 1，$$则该双曲线的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{x}{±}{\sqrt {2}}{y}{=}{0}}$$
B.$${\sqrt {2}{x}{±}{y}{=}{0}}$$
C.$${{x}{±}{y}{=}{0}}$$
D.$${{x}{±}{\sqrt {3}}{y}{=}{0}}$$
10、['双曲线的离心率'， '点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，坐标原点$${{O}}$$关于点$${{F}_{2}}$$的对称点为$${{P}}$$，点$${{P}}$$到双曲线的渐近线距离为$${{2}{\sqrt {3}}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线与双曲线$${{C}}$$右支相交于$${{M}{、}{N}}$$两点，若$${{|}{M}{N}{|}{=}{3}{，}{△}{{F}_{1}}{M}{N}}$$的周长为$${{1}{0}}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{5} {2}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：双曲线 $$C: \frac{x^2}{9} - y^2 = 1$$ 的渐近线为 $$y = \pm \frac{1}{3}x$$。直线 $$x = 3$$ 与渐近线交于点 $$A(3, 1)$$ 和 $$B(3, -1)$$。设 $$P(x, y)$$ 为双曲线上任一点，由 $$\overrightarrow{OP} = a \overrightarrow{OA} + b \overrightarrow{OB}$$ 可得 $$x = 3a + 3b$$，$$y = a - b$$。代入双曲线方程得 $$\frac{(3a + 3b)^2}{9} - (a - b)^2 = 1$$，化简得 $$4ab = 1$$。因此，$$a^2 + b^2 \geq 2ab = \frac{1}{2}$$，但选项 A 为 $$a^2 + b^2 \geq 1$$，不恒成立；选项 B 为 $$|ab| = \frac{1}{4}$$，不满足 $$|ab| \geq 1$$；选项 C 为 $$|a + b| \geq \sqrt{4ab} = 1$$，恒成立；选项 D 不成立。故选 C。
3. 解析：双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，与直线 $$x + \sqrt{3}y - 4 = 0$$ 垂直，故 $$\frac{b}{a} \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -1$$，解得 $$\frac{b}{a} = \sqrt{3}$$。离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$$，故选 C。
5. 解析：椭圆与双曲线有共同焦点，故 $$4 + m^2 - m^2 = c^2 = a^2 + b^2$$，即 $$c = 2$$。双曲线的一个焦点 $$F(2, 0)$$ 到渐近线 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$ 的距离和为 $$\frac{2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{4b}{c} = 2\sqrt{3}$$，解得 $$b = \sqrt{3}$$。由 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 得 $$a = 1$$，离心率 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，故选 A。
7. 解析：双曲线虚轴长为 2，故 $$b = 1$$。渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，设 $$P(x, y)$$ 在右支上，由 $$|PA| \cdot |PB| = 4$$ 及几何关系可得 $$\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$$，结合 $$y = m$$ 解得 $$x^2 = a^2\left(\frac{m^2}{b^2} - 1\right)$$。由距离公式得 $$|PA| \cdot |PB| = \frac{m^2}{1 + \frac{b^2}{a^2}} = 4$$，解得 $$e = \sqrt{2}$$，故选 A。
9. 解析：设双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，平行四边形顶点在双曲线上且 $$AB$$、$$AD$$ 斜率分别为 $$\frac{1}{2}$$ 和 1。由对称性及几何关系可得 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$，故渐近线方程为 $$y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}x$$，即 $$\sqrt{2}x \pm y = 0$$，故选 B。