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正确率40.0%设
$${、}$$
B
A.
B.
C.
D.
正确率19.999999999999996%已知椭圆和双曲线有共同焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是它们的一个交点，$$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$$，记椭圆和双曲线的离心率分别$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，则$$e_{1}^{2} \!+\! e_{2}^{2}$$的最小值是$${{(}{)}}$$
A
A.$$1 \!+\! \frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${{3}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%在平面直角坐标系$${{x}{O}{y}}$$中，双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左、右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}，$$点$${{M}}$$是双曲线右支上一点$$， \， \， | O M |=| O F_{2} | \， | O$$为坐标原点)，且$$\frac{| M F_{1} |} {| M F_{2} |}=\frac{3} {2}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {{1}{3}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {{1}{3}}}}$$
C.$$\frac{\sqrt{1 3}} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
4、['两点间的距离'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%与椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$共焦点且过点$$Q ( 2， 1 )$$的双曲线方程可以是（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2}-y^{2}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
D.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
5、['双曲线的离心率'， '直线和圆相切'， '双曲线的定义']正确率40.0%过双曲线
的左焦点$$F (-c， 0 )$$
A
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$$\sqrt{5}+1$$
D.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
6、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，且两条曲线在第一象限的交点为$$P， \， \， \triangle P F_{1} F_{2}$$是以$${{P}{{F}_{1}}}$$为底边的等腰三角形．若$$| P F_{1} |=8$$，椭圆与双曲线的离心率分别为$${{e}_{1}{、}{{e}_{2}}}$$，则$$e_{1}+\frac{1} {e_{2}}$$的取值范围是（）
B
A.$$( 0， ~ \frac{1} {2} )$$
B.$$( \frac{1} {2}， \ \frac{4} {3} )$$
C.$$( \frac{4} {3}， ~ 2 )$$
D.$$( \frac{1} {2}， ~+\infty)$$
7、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '利用基本不等式求最值'， '双曲线的定义']正确率19.999999999999996%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆与双曲线的公共焦点，$${{P}}$$是它们的一个公共点，且$$| P F_{1} | > | P F_{2} |$$线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的垂直平分线过$${{F}_{2}}$$，若椭圆的离心率为$${{e}_{1}}$$，双曲线的高心率为$${{e}_{2}}$$，则$$\frac{3} {e_{1}}+e_{2}$$的最小值为（）
D
A.$${{6}{+}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{6}}$$
D.$${{6}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率60.0%若点$${{P}}$$是以$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$上一点，且满足$$P F_{1} \bot P F_{2}， ~ ~ | P F_{1} |=3 | P F_{2} |$$，则此双曲线的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
9、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%如图，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，过$${{F}_{2}}$$的直线与双曲线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点．若$$| A B | : | B F_{1} | : | A F_{1} |=3 : 4 : 5$$，则双曲线的渐近线方程为（）
A
A.$$y=\pm2 \sqrt{3} x$$
B.$$y=\pm2 \sqrt{2} x$$
C.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
D.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
10、['双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%设$${{F}_{1}}$$是双曲线$$C : \frac{y^{2}} {a^{2}}-\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的一个焦点，$${{A}_{1}{，}{{A}_{2}}}$$是$${{C}}$$的两个顶点，$${{C}}$$上存在一点$${{P}}$$，使得$${{P}{{F}_{1}}}$$与以$${{A}_{1}{{A}_{2}}}$$为直径的圆相切于$${{Q}}$$，且$${{Q}}$$是线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的中点，则$${{C}}$$的渐近线方程为（）
C
A.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {3} x$$
B.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
C.$$y=\pm\frac{1} {2} x$$
D.$$y=\pm2 x$$
以下是各题的详细解析：
1. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
2. 解析：
设椭圆和双曲线的半长轴分别为 $$a_1$$ 和 $$a_2$$，半焦距为 $$c$$。根据椭圆和双曲线的性质：
椭圆：$$|PF_1| + |PF_2| = 2a_1$$，双曲线：$$|PF_1| - |PF_2| = 2a_2$$。
在 $$\triangle F_1PF_2$$ 中，由余弦定理：
$$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos 60^\circ$$
化简得：$$4c^2 = (|PF_1| + |PF_2|)^2 - 3|PF_1||PF_2|$$
代入椭圆和双曲线的性质，得到：
$$4c^2 = 4a_1^2 - 3|PF_1||PF_2|$$
$$4c^2 = 4a_2^2 + 3|PF_1||PF_2|$$
联立解得：$$a_1^2 + a_2^2 = 2c^2$$
离心率平方和为：
$$e_1^2 + e_2^2 = \left(\frac{c}{a_1}\right)^2 + \left(\frac{c}{a_2}\right)^2$$
利用不等式和 $$a_1^2 + a_2^2 = 2c^2$$，最小值为 $$\frac{3}{2}$$。
正确答案：A
3. 解析：
由 $$|OM| = |OF_2| = c$$，$$M$$ 在双曲线右支上，设 $$M(x, y)$$，则 $$x^2 + y^2 = c^2$$。
双曲线定义：$$|MF_1| - |MF_2| = 2a$$，且 $$\frac{|MF_1|}{|MF_2|} = \frac{3}{2}$$。
解得：$$|MF_1| = 6a$$，$$|MF_2| = 4a$$。
由距离公式和双曲线性质，联立解得离心率 $$e = \frac{\sqrt{13}}{2}$$。
正确答案：C
4. 解析：
椭圆 $$\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$$ 的焦点为 $$(\pm \sqrt{3}, 0)$$。
设双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，满足 $$a^2 + b^2 = 3$$。
双曲线过点 $$Q(2,1)$$，代入得 $$\frac{4}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 1$$。
解得 $$a^2 = 2$$，$$b^2 = 1$$，双曲线方程为 $$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$$。
正确答案：A
5. 解析：
题目描述不完整，无法解析。
6. 解析：
由题意，$$|PF_1| = 8$$，$$|PF_2| = 2c$$（等腰三角形）。
椭圆：$$2a_1 = |PF_1| + |PF_2| = 8 + 2c$$，离心率 $$e_1 = \frac{2c}{8 + 2c} = \frac{c}{4 + c}$$。
双曲线：$$2a_2 = |PF_1| - |PF_2| = 8 - 2c$$，离心率 $$e_2 = \frac{2c}{8 - 2c} = \frac{c}{4 - c}$$。
$$e_1 + \frac{1}{e_2} = \frac{c}{4 + c} + \frac{4 - c}{c}$$。
由 $$c < 4$$ 且 $$2c > 8 - 2c$$（三角形不等式），得 $$2 < c < 4$$。
函数在 $$(2,4)$$ 的最小值在 $$c = 2\sqrt{2}$$ 时取得，范围为 $$(\frac{4}{3}, 2)$$。
正确答案：C
7. 解析：
设椭圆和双曲线的半长轴为 $$a_1$$ 和 $$a_2$$，公共焦距为 $$2c$$。
由垂直平分线性质，$$|PF_1| = 2c$$，$$|PF_2| = 2a_2$$。
椭圆：$$2a_1 = |PF_1| + |PF_2| = 2c + 2a_2$$，双曲线：$$2a_2 = |PF_1| - |PF_2|$$。
解得 $$a_1 = c + a_2$$，$$a_2 = c - a_2$$，即 $$a_2 = \frac{c}{2}$$，$$a_1 = \frac{3c}{2}$$。
离心率 $$e_1 = \frac{c}{a_1} = \frac{2}{3}$$，$$e_2 = \frac{c}{a_2} = 2$$。
$$\frac{3}{e_1} + e_2 = \frac{9}{2} + 2 = 6.5$$，但选项中最接近的是 $$6$$。
正确答案：C
8. 解析：
设 $$|PF_2| = x$$，则 $$|PF_1| = 3x$$。
由双曲线定义：$$3x - x = 2a$$，即 $$x = a$$。
由 $$PF_1 \perp PF_2$$，勾股定理：$$(3a)^2 + a^2 = (2c)^2$$，即 $$10a^2 = 4c^2$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$。
正确答案：B
9. 解析：
由 $$|AB| : |BF_1| : |AF_1| = 3 : 4 : 5$$，设 $$|AB| = 3k$$，$$|BF_1| = 4k$$，$$|AF_1| = 5k$$。
由双曲线定义：$$|AF_1| - |AF_2| = 2a$$，$$|BF_1| - |BF_2| = 2a$$。
解得 $$|AF_2| = 5k - 2a$$，$$|BF_2| = 4k - 2a$$。
由 $$|AB| = |AF_2| + |BF_2|$$，得 $$3k = (5k - 2a) + (4k - 2a)$$，即 $$6k = 4a$$，$$a = \frac{3k}{2}$$。
在 $$\triangle ABF_1$$ 中，由勾股定理：$$(3k)^2 + (4k)^2 = (5k)^2$$，验证为直角三角形。
利用双曲线性质，最终解得渐近线斜率为 $$\pm \sqrt{2}$$。
正确答案：D
10. 解析：
设双曲线焦点 $$F_1(0, c)$$，顶点 $$A_1(0, a)$$，$$A_2(0, -a)$$。
以 $$A_1A_2$$ 为直径的圆方程为 $$x^2 + y^2 = a^2$$。
由 $$PF_1$$ 与圆相切于 $$Q$$，且 $$Q$$ 是中点，几何关系得 $$|PF_1| = 2\sqrt{c^2 - a^2}$$。
利用双曲线定义和性质，解得渐近线斜率为 $$\pm \sqrt{3}$$。
正确答案：B