.jpg)
正确率40.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-y^{2}=1$$的左$${、}$$右两个焦点，若双曲线的左支上存在一点$${{P}}$$，使得$$( \overrightarrow{O P}+\overrightarrow{O F_{1}} ) \cdot\overrightarrow{F_{1} P}=0 ( O$$为坐标原点$${{)}}$$，设$$\angle P F_{1} F_{2}=\alpha，$$则$${{t}{a}{n}{α}}$$的值为
B
A.$${{6}{+}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{5}{+}{2}{\sqrt {6}}}$$
C.$${{6}{−}{\sqrt {5}}}$$
D.$${{5}{−}{2}{\sqrt {6}}}$$
2、['抛物线的顶点、焦点、准线'， '平面向量共线的坐标表示'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，抛物线$$y^{2}=\frac{2} {5} x$$与双曲线$${{C}}$$交于纵坐标为$${{1}}$$的点$${{M}}$$，直线$${{F}_{1}{M}}$$与抛物线的准线交于点$${{N}}$$，若$$\overrightarrow{F_{1} N}=\frac{2 9} {5 5} \overrightarrow{F_{1} M}，$$则双曲线的方程为
D
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
3、['双曲线的渐近线'， '三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线$${{C}}$$过点$$P ( 4， 3 )$$，且其渐近线方程为$$y=\pm\frac{3} {2} x$$.记双曲线$${{C}}$$的两个顶点分别为$${{M}{，}{N}}$$，则$${{△}{P}{M}{N}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
C
A.$${{1}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{1}{6}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
4、['双曲线的标准方程']正确率60.0%已知方程$$\frac{x^{2}} {1+m}-\frac{y^{2}} {m-2}=1$$表示双曲线，则$${{m}}$$的取值范围是（）
C
A.$${{m}{>}{−}{1}}$$
B.$${{m}{>}{2}}$$
C.$${{m}{<}{−}{1}}$$或$${{m}{>}{2}}$$
D.$$- 1 < m < 2$$
5、['双曲线的离心率'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$右顶点与抛物线$$y^{2}=8 x$$焦点重合且离心率$$e=\frac{3} {2}$$，则该双曲线方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{y^{2}} {4}-\frac{x^{2}} {5}=1$$
D.$$\frac{y^{2}} {5}-\frac{x^{2}} {4}=1$$
6、['双曲线的标准方程']正确率60.0%已知方程$$\frac{x^{2}} {m+2}+\frac{y^{2}} {m-1}=1$$表示双曲线，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$$- 2 < m < 1$$
B.$${{m}{>}{1}}$$
C.$${{m}{<}{−}{2}}$$
D.$${{m}{>}{1}}$$或$${{m}{<}{−}{2}}$$
7、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$的焦点为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，则焦距$$| F_{1} F_{2} |=( \textit{} )$$
C
A.$${{1}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{6}}$$
9、['一元二次不等式的解法'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%若方程$$\frac{x^{2}} {m-2}+\frac{y^{2}} {6-m}=1$$表示双曲线，则$${{m}}$$的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{m}{<}{2}}$$或$${{m}{>}{6}}$$
B.$$2 < m < 6$$
C.$${{m}{<}{−}{6}}$$或$${{m}{>}{−}{2}}$$
D.$$- 6 < m <-2$$
10、['椭圆的标准方程'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%若椭圆$$\frac{x^{2}} {4}+\frac{y^{2}} {m}=1$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {m}-\frac{y^{2}} {2}=1$$有相同的焦点，则实数$${{m}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{1}}$$
B.$${{1}}$$或$${{3}}$$
C.$${{1}}$$或$${{3}}$$或$${{−}{2}}$$
D.$${{3}}$$
1. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$$，可得 $$a = 2$$，$$b = 1$$，$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5}$$。因此，焦点为 $$F_{1} = (-\sqrt{5}, 0)$$，$$F_{2} = (\sqrt{5}, 0)$$。
设 $$P = (x, y)$$ 在双曲线的左支上，满足 $$x \leq -2$$。由题意：
$$(\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OF_{1}}) \cdot \overrightarrow{F_{1}P} = 0$$
展开得：
$$(x - \sqrt{5}, y) \cdot (x + \sqrt{5}, y) = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) + y^{2} = x^{2} - 5 + y^{2} = 0$$
结合双曲线方程 $$x^{2} = 4(1 + y^{2})$$，代入得：
$$4(1 + y^{2}) - 5 + y^{2} = 0 \Rightarrow 5y^{2} = 1 \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{5}$$
因此，$$x^{2} = 4\left(1 + \frac{1}{5}\right) = \frac{24}{5}$$，$$x = -\frac{2\sqrt{30}}{5}$$（取负值）。
计算 $$\angle PF_{1}F_{2} = \alpha$$ 的正切值：
向量 $$\overrightarrow{F_{1}P} = \left(-\frac{2\sqrt{30}}{5} + \sqrt{5}, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$$，$$\overrightarrow{F_{1}F_{2}} = (2\sqrt{5}, 0)$$。
利用向量夹角公式：
$$\tan \alpha = \frac{|\overrightarrow{F_{1}P} \times \overrightarrow{F_{1}F_{2}}|}{\overrightarrow{F_{1}P} \cdot \overrightarrow{F_{1}F_{2}}} = \frac{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}}{\frac{2\sqrt{5} \left(-\frac{2\sqrt{30}}{5} + \sqrt{5}\right)}{1}} = 5 + 2\sqrt{6}$$
答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 解析：
抛物线 $$y^{2} = \frac{2}{5}x$$ 与双曲线的交点 $$M$$ 纵坐标为 $$1$$，代入得 $$x = \frac{5}{2}$$，即 $$M = \left(\frac{5}{2}, 1\right)$$。
抛物线准线为 $$x = -\frac{1}{5}$$。设双曲线焦点 $$F_{1} = (-c, 0)$$，$$F_{2} = (c, 0)$$。
直线 $$F_{1}M$$ 的斜率为 $$\frac{1}{\frac{5}{2} + c}$$，方程为 $$y = \frac{1}{\frac{5}{2} + c}(x + c)$$。
与准线 $$x = -\frac{1}{5}$$ 的交点 $$N$$ 为 $$\left(-\frac{1}{5}, \frac{1}{\frac{5}{2} + c}\left(-\frac{1}{5} + c\right)\right)$$。
由题意 $$\overrightarrow{F_{1}N} = \frac{29}{55} \overrightarrow{F_{1}M}$$，即：
$$\left(\frac{4}{5}, \frac{-\frac{1}{5} + c}{\frac{5}{2} + c}\right) = \frac{29}{55} \left(\frac{5}{2} + c, 1\right)$$
解得 $$c = 3$$。由双曲线定义，$$a^{2} + b^{2} = 9$$，且 $$M$$ 在双曲线上：
$$\frac{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}} = 1$$
结合 $$a^{2} + b^{2} = 9$$，解得 $$a^{2} = 5$$，$$b^{2} = 4$$，双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
3. 解析：
双曲线渐近线为 $$y = \pm \frac{3}{2}x$$，设双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} = k$$。
代入点 $$P(4, 3)$$ 得：
$$\frac{16}{4} - \frac{9}{9} = 4 - 1 = 3 = k$$，故双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{27} = 1$$。
顶点为 $$M = (2\sqrt{3}, 0)$$，$$N = (-2\sqrt{3}, 0)$$。
计算 $$\triangle PMN$$ 的面积：
底边 $$MN = 4\sqrt{3}$$，高为 $$P$$ 的纵坐标 $$3$$，面积为 $$\frac{1}{2} \times 4\sqrt{3} \times 3 = 6\sqrt{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
4. 解析：
方程 $$\frac{x^{2}}{1 + m} - \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$$ 表示双曲线，需满足分母异号：
$$(1 + m)(m - 2) < 0 \Rightarrow -1 < m < 2$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
5. 解析：
抛物线 $$y^{2} = 8x$$ 的焦点为 $$(2, 0)$$，双曲线右顶点与之重合，故 $$a = 2$$。
离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$$，得 $$c = 3$$，$$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{5}$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
6. 解析：
方程 $$\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{m - 1} = 1$$ 表示双曲线，需满足分母异号：
$$(m + 2)(m - 1) < 0 \Rightarrow -2 < m < 1$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 解析：
双曲线 $$x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$ 的 $$a = 1$$，$$b = \sqrt{2}$$，$$c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{3}$$。
焦距 $$|F_{1}F_{2}| = 2c = 2\sqrt{3}$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
9. 解析：
方程 $$\frac{x^{2}}{m - 2} + \frac{y^{2}}{6 - m} = 1$$ 表示双曲线，需满足分母异号：
$$(m - 2)(6 - m) < 0 \Rightarrow m < 2$$ 或 $$m > 6$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
10. 解析：
椭圆 $$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$$ 的焦点为 $$(\pm \sqrt{4 - m}, 0)$$（$$m < 4$$）。
双曲线 $$\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{2} = 1$$ 的焦点为 $$(\pm \sqrt{m + 2}, 0)$$。
两者焦点相同，故 $$\sqrt{4 - m} = \sqrt{m + 2}$$，解得 $$m = 1$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。