双曲线的标准方程-3.2 双曲线知识点回顾进阶自测题解析-湖北省等高一数学选择必修,平均正确率52.0%

1、['椭圆的离心率'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '命题的真假性判断'， '函数零点的概念'， '双曲线的标准方程']

正确率40.0%下列命题为假命题的是（）

A.函数$$f \left( \begin{matrix} {x} \\ \end{matrix} \right) ~=2^{x}+1$$无零点

B.抛物线$$y^{2}=4 x$$的准线方程为$${{x}{=}{−}{1}}$$

C.椭圆的离心率越大，椭圆越圆

D.双曲线$$x^{2}-y^{2}=2$$的实轴长为$${{2}{\sqrt {2}}}$$

2、['充分、必要条件的判定'， '双曲线的标准方程']

正确率60.0%若$${{k}{∈}{R}{，}}$$则$$\omega k > 5^{\prime\prime}$$是$${{“}}$$方程$$\frac{x^{2}} {k-5}-\frac{y^{2}} {k+2}=1$$表示双曲线$${{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3、['双曲线的离心率'， '平面上中点坐标公式'， '直线与圆锥曲线的其他应用'， '双曲线的标准方程'， '直线的斜率']

正确率40.0%已知倾斜角为$${{1}{3}{5}^{∘}}$$的直线交双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若线段$${{A}{B}}$$的中点为$$P \ ( \ 2， \ \ -1 )$$，则双曲线的离心率是（）

A.$${\sqrt {3}}$$

B.$${\sqrt {2}}$$

C.$$\frac{\sqrt6} {2}$$

D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$

4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%设$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左$${、}$$右焦点，若点$${{P}}$$在双曲线上，且$$| P F_{1} |=3$$，则$$| P F_{2} |=$$（）

A.$${{5}}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{3}}$$

D.$${{1}}$$或$${{5}}$$

5、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知两定点$$F_{1} ( 5， 0 )， F_{2} (-5， 0 )$$，曲线上的点$${{P}}$$到$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$的距离之差的绝对值是$${{6}}$$，则该曲线的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$

C.$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {3 6}=1$$

D.$$\frac{y^{2}} {2 5}-\frac{x^{2}} {3 6}=1$$

6、['充分、必要条件的判定'， '双曲线的标准方程']

正确率60.0%$$` ` a > 0， \; b > 0 "$$是$${{“}}$$方程$$a x^{2}-b y^{2}=1$$表示的曲线是双曲线$${{”}}$$的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '直线的斜率']

正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的离心率为$${\sqrt {5}{，}}$$则斜率为正的渐近线的斜率为$${{(}{)}}$$

A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$

B.$$\frac{1} {2}$$

C.$${\sqrt {3}}$$

D.$${{2}}$$

8、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']

正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，点$${{M}}$$在双曲线的左支上，$$| M F_{2} |=1 8$$，$${{N}}$$为线段$${{M}{{F}_{2}}}$$的中点，$${{O}}$$为坐标原点，则$${{|}{N}{O}{|}}$$等于（）

A.$$\begin{array} {l l} {\frac{2} {3}} \\ \end{array}$$

B.$${{1}}$$

C.$${{2}}$$

D.$${{4}}$$

9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']

正确率19.999999999999996%已知以$$y=\pm\frac{3} {4} x$$为渐近线的双曲线过点$$( 3，-4 ) \;，$$则此双曲线的离心率$${{e}}$$等于（）

A.$$\frac{5} {4}$$

B.$$\frac{4} {3}$$

C.$$\frac{5} {3}$$

D.$$\frac{4} {5}$$

10、['双曲线的离心率'， '椭圆的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']

正确率60.0%已知离心率为$${{2}}$$的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$与椭圆$$\frac{x^{2}} {8}+\frac{y^{2}} {4}=1$$有公共焦点，则双曲线的方程为（）

A.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {1 2}=1$$

B.$$\frac{x^{2}} {1 2}-\frac{y^{2}} {4}=1$$

C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$

D.$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$

1. 解析：

选项A：函数$$f(x)=2^x+1$$的值域为$$(1,+\infty)$$，因此无零点，命题为真。

选项B：抛物线$$y^2=4x$$的准线方程为$$x=-1$$，命题为真。

选项C：椭圆的离心率越大，椭圆越扁，命题为假。

选项D：双曲线$$x^2-y^2=2$$可化为$$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$$，实轴长为$$2\sqrt{2}$$，命题为真。

因此，假命题是C。

2. 解析：

方程$$\frac{x^2}{k-5}-\frac{y^2}{k+2}=1$$表示双曲线的条件是$$(k-5)(k+2)>0$$，解得$$k<-2$$或$$k>5$$。

而$$k>5$$仅是充分条件，不是必要条件，因此是充分不必要条件，选A。

3. 解析：

直线斜率为$$\tan135^\circ=-1$$，方程为$$y+1=-1(x-2)$$，即$$y=-x+1$$。

将其代入双曲线方程，利用中点条件及韦达定理，可求得$$a^2=2$$，$$b^2=1$$，离心率$$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$，选C。

4. 解析：

双曲线的定义$$|PF_1|-|PF_2|=2a=2$$，已知$$|PF_1|=3$$，则$$|PF_2|=1$$或$$5$$，但需满足$$|PF_1|+|PF_2|\geq2c=2\sqrt{10}$$，因此$$|PF_2|=5$$，选A。

5. 解析：

由题意，曲线为双曲线，$$2a=6$$，$$a=3$$，$$c=5$$，$$b=\sqrt{c^2-a^2}=4$$，方程为$$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$$，选A。

6. 解析：

方程$$ax^2-by^2=1$$表示双曲线的条件是$$a>0$$且$$b>0$$或$$a<0$$且$$b<0$$。

因此$$a>0$$且$$b>0$$是充分不必要条件，选A。

7. 解析：

离心率$$e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{5}$$，解得$$\frac{b}{a}=2$$，斜率为正的渐近线斜率为$$2$$，选D。

8. 解析：

双曲线中$$a=5$$，$$c=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}$$，$$|MF_1|=18-2a=8$$。

由中线定理，$$|NO|=\frac{1}{2}|MF_1|=4$$，选D。

9. 解析：

设双曲线方程为$$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=k$$，代入点$$(3,-4)$$得$$k=1$$。

离心率$$e=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$$，选A。

10. 解析：

椭圆的焦点为$$(\pm2,0)$$，双曲线的$$c=2$$，离心率$$e=2$$，则$$a=1$$，$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{3}$$。

双曲线方程为$$x^2-\frac{y^2}{3}=1$$，选C。

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