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正确率60.0%已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在$${{y}}$$轴上，双曲线与直线$$2 x+y=0$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$$| A B |=2 \sqrt{1 5}，$$则该双曲线的方程为（）
C
A.$$y^{2}-x^{2}=2 5$$
B.$$y^{2}-x^{2}=1 6$$
C.$$y^{2}-x^{2}=9$$
D.$$y^{2}-x^{2}=6$$
2、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，两条渐近线分别为$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$，过$${{F}_{1}}$$作$$F_{1} A \perp l_{1}$$于点$${{A}}$$，过$${{F}_{2}}$$作$$F_{2} B \perp l_{2}$$于点$${{B}{，}{O}}$$为原点，若$${{△}{A}{B}{O}}$$是边长为$${\sqrt {3}}$$的等边三角形，则双曲线的方程为（）
C
A.$$\frac{x^{2}} {2 1}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {2 1}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
3、['两点间的斜率公式'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知$${{A}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右顶点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，若点$${{P}}$$关于双曲线中心$${{O}}$$的对称点$${{Q}}$$满足$$k_{A P} \times k_{A Q}={\frac{1} {4}}$$，则双曲线的离心率为（）
B
A.$$\sqrt{5}+1$$
B.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\sqrt{5}-1$$
4、['一元二次方程根与系数的关系'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的对称性'， '两条直线平行'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%过抛物线$$C : y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$的焦点作一条直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$的一条渐近线平行，且$${{l}}$$交抛物线$${{C}}$$于$${{A}{、}{B}}$$两点，若$$| A F |=2 > | B F | \，，$$则$${{p}}$$的值为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{2}{−}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{2}{+}{\sqrt {3}}}$$
C.$$\sqrt3-1$$
D.$${\sqrt {3}{{+}{1}}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$四个顶点均在双曲线$$M \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > 0， \ b > 0 \right)$$上，双曲线$${{M}}$$的焦点在正方形内，则双曲线$${{M}}$$的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\left( 1， ~ \frac{3+\sqrt{5}} {2} \right)$$
B.$$( \sqrt{2}， ~+\infty)$$
C.$${{(}{{1}{，}{\sqrt {2}}}{)}}$$
D.$$\left( \sqrt{2}， \ \frac{\sqrt{5}+1} {2} \right)$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的对称性'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知抛物线$$y^{2}=2 p x ( p > 0 )$$交双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的渐近线于$${{A}{，}{B}}$$两点(异于坐标原点$${{O}{)}}$$，若双曲线的离心率为$$\sqrt{5}， ~ \triangle A O B$$的面积为$${{3}{2}}$$，则抛物线的焦点为$${{(}{)}}$$
B
A.$$( 2， 0 )$$
B.$$( 4， 0 )$$
C.$$( 6， 0 )$$
D.$$( 8， 0 )$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，双曲线$${{C}}$$与圆$$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$在第一象限的交点为$$P， \， \， \bot P F_{1} F_{2}$$的角平分线与$${{P}{{F}_{2}}}$$交于点$${{Q}}$$，若$$4 \left| P Q \right|=3 \left| F_{2} Q \right|$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${{6}{+}{2}{\sqrt {7}}}$$
B.$${{3}{+}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{6}{−}{2}{\sqrt {7}}}$$
D.$${{4}{−}{\sqrt {7}}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一个焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$作双曲线$${{C}}$$的渐近线的垂线，垂足为$${{A}}$$，且交$${{y}}$$轴于$${{B}}$$，若$${{A}}$$为$${{B}{F}}$$的中点，则双曲线的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点，若点$${{F}_{2}}$$关于双曲线渐近线的对称点$${{A}}$$满足$$\angle F_{1} \， A O=\angle A O F_{1}$$($${{O}}$$为坐标原点)，则双曲线的离心率$${{e}{=}}$$（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，直线$${{y}{=}{\sqrt {3}}{x}}$$与$${{C}}$$相交于$${{A}}$$，$${{B}}$$两点，若四边形$${{A}{{F}_{1}}{B}{{F}_{2}}}$$是矩形，则双曲线$${{C}}$$的离心率$${{e}{=}}$$（）
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\sqrt{2}+1$$
D.$$\sqrt3+1$$
1. 设双曲线方程为$$y^2 - x^2 = a^2$$。与直线$$2x + y = 0$$联立，代入$$y = -2x$$得$$4x^2 - x^2 = a^2$$，即$$3x^2 = a^2$$，解得$$x = \pm \frac{a}{\sqrt{3}}$$。两点$$A$$和$$B$$的距离为$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{5} \cdot \frac{2a}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{15}$$，解得$$a = 3$$。因此双曲线方程为$$y^2 - x^2 = 9$$，选项C正确。
3. 设$$P(x, y)$$，则$$Q(-x, -y)$$。$$A(a, 0)$$，斜率$$k_{AP} = \frac{y}{x - a}$$，$$k_{AQ} = \frac{-y}{-x - a} = \frac{y}{x + a}$$。由题意$$\frac{y^2}{x^2 - a^2} = \frac{1}{4}$$。又$$P$$在双曲线上，即$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，联立解得$$\frac{b^2}{a^2} = 4$$，离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{5}$$，选项C正确。
5. 设正方形边长为$$2d$$，双曲线方程为$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$。正方形的顶点在双曲线上，代入得$$\frac{d^2}{a^2} - \frac{d^2}{b^2} = 1$$。双曲线的焦点$$(c, 0)$$在正方形内，故$$c > d$$。由$$c^2 = a^2 + b^2$$和离心率$$e = \frac{c}{a}$$，解得$$e \in (\sqrt{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$$，选项D正确。
7. 设$$P(x, y)$$在圆上，满足$$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$$。由角平分线定理，$$\frac{|PQ|}{|F_2Q|} = \frac{3}{4}$$，利用向量分析得离心率$$e = 3 + \sqrt{7}$$，选项B正确。
9. 设$$F_2(c, 0)$$，渐近线为$$y = \frac{b}{a}x$$。对称点$$A$$满足$$AO = OF_1$$，即$$A(-c, 0)$$。由对称性得$$b = a$$，离心率$$e = \sqrt{2}$$，选项A正确。