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正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的左焦点$${{F}_{1}{（}{−}{c}{，}{0}{）}}$$作圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}}$$的切线，切点为$${{E}}$$，延长$${{F}_{1}{E}}$$交抛物线$${{y}^{2}{=}{4}{c}{x}}$$于点$${{P}}$$，若$$\overrightarrow{F_{1} E}=\frac{1} {2} \overrightarrow{F_{1} P}，$$则双曲线的离心率是（）
A
A.$$\frac{1+\sqrt{5}} {2}$$
B.$$\frac{1+\sqrt{3}} {2}$$
C.$$\frac{3+\sqrt{5}} {2}$$
D.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的对称性']正确率40.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，该双曲线的右支上有一点$${{A}}$$，满足$${{△}{O}{A}{F}}$$是等边三角形$${（{O}}$$为坐标原点），则双曲线的离心率为（）
C
A.$${{4}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
D.$${\sqrt {3}{−}{1}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%点$${{D}}$$是$${{△}{A}{B}{C}}$$的边$${{A}{B}}$$的中点，$$\angle A B C=1 2 0^{\circ}， \， \， \， \frac{| C D |} {| A B |}=\frac{\sqrt{3}} {2}$$，若以$${{A}{、}{B}}$$为焦点的双曲线恰好经过点$${{C}}$$，则该双曲线的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt{7}+1} {3}$$
B.$$\frac{{\sqrt5}+1} {2}$$
C.$${\sqrt {2}{+}{1}}$$
D.$${\sqrt {3}{+}{1}}$$
4、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的$${{3}}$$倍，则双曲线的渐近线方程是（）
C
A.$$y=\pm\frac{\sqrt{2}} {4} x$$
B.$${{y}{=}{±}{\sqrt {2}}{x}}$$
C.$${{y}{=}{±}{2}{\sqrt {2}}{x}}$$
D.$${{y}{=}{±}{3}{x}}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C : \frac{{\bf x^{2}}} {{\bf a^{2}}}-\frac{{\bf y^{2}}} {{\bf b^{2}}} {\bf=} {\bf1} ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，过点$${{F}_{1}}$$作垂直于$${{x}}$$轴的直线交双曲线$${{C}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{{F}_{2}}}$$为锐角三角形，则双曲线$${{C}}$$的离心率的取值范围是$${{(}{)}}$$
A
A.$${{(}{1}{，}{1}{+}{\sqrt {2}}{)}}$$
B.$${{(}{1}{+}{\sqrt {2}}{，}{+}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{1}{−}{\sqrt {2}}{，}{1}{+}{\sqrt {2}}{)}}$$
D.$${{(}{\sqrt {2}}{，}{\sqrt {2}}{+}{1}{)}}$$
6、['双曲线的离心率'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的对称性']正确率40.0%抛物线$${{y}^{2}{=}{8}{x}}$$的准线与$${{x}}$$轴交于点$${{D}}$$，与双曲线$$\frac{x^{2}} {m}-y^{2}=1$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，点$${{F}}$$为抛物线的焦点，若$${{△}{A}{D}{F}}$$为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（）
D
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
C.$${\sqrt {{2}{1}}}$$
D.$$\frac{\sqrt{2 1}} {2}$$
7、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%过双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点$${{F}}$$作一条渐近线的垂线，垂足为$${{A}}$$，延长$${{F}{A}}$$交双曲线的左支于点$${{B}}$$，且$${{|}{F}{B}{|}{=}{2}{{|}{F}{A}{|}}{，}}$$则双曲线的渐近线方程为（）
D
A.$${{y}{=}{±}{\sqrt {2}}{x}}$$
B.$${{y}{=}{±}{\sqrt {3}}{x}}$$
C.$${{y}{=}{±}{4}{x}}$$
D.$${{y}{=}{±}{2}{x}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性']正确率60.0%已知正方形$${{A}{B}{C}{D}}$$四个顶点均在双曲线$$M \colon\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \left( a > 0， \ b > 0 \right)$$上，双曲线$${{M}}$$的焦点在正方形内，则双曲线$${{M}}$$的离心率$${{e}}$$的取值范围是（）
D
A.$$\left( 1， ~ \frac{3+\sqrt{5}} {2} \right)$$
B.$${{(}{\sqrt {2}{，}{+}{∞}}{)}}$$
C.$${{(}{{1}{，}{\sqrt {2}}}{)}}$$
D.$$\left( \sqrt{2}， \ \frac{\sqrt{5}+1} {2} \right)$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知直线$${{y}{=}{k}{x}}$$与双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$相交于不同的两点$${{A}{，}{B}{，}{F}}$$为双曲线$${{C}}$$的左焦点，且满足$${{|}{A}{F}{|}{=}{3}{|}{B}{F}{|}{，}{|}{O}{A}{|}{=}{b}{（}{O}}$$为坐标原点$${）}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率为（）
B
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
10、['双曲线的对称性']正确率60.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {2 5}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的顶点坐标是（）
A
A.$${（{±}{5}{，}{0}{）}}$$
B.$${（{±}{5}{，}{0}{）}}$$或$${（{0}{，}{±}{3}{）}}$$
C.$${（{±}{4}{，}{0}{）}}$$
D.$${（{±}{4}{，}{0}{）}}$$或$${（{0}{，}{±}{3}{）}}$$
1. 解析：
首先，双曲线的左焦点为 $$F_1(-c, 0)$$，圆的方程为 $$x^2 + y^2 = a^2$$，其圆心在原点，半径为 $$a$$。过 $$F_1$$ 作圆的切线，切点为 $$E$$，则 $$F_1E$$ 的长度为 $$\sqrt{c^2 - a^2} = b$$（因为 $$c^2 = a^2 + b^2$$）。
根据题意，$$\overrightarrow{F_1E} = \frac{1}{2} \overrightarrow{F_1P}$$，说明 $$E$$ 是 $$F_1P$$ 的中点。设 $$P(x, y)$$，则 $$E$$ 的坐标为 $$\left(\frac{-c + x}{2}, \frac{0 + y}{2}\right)$$。由于 $$E$$ 在圆上，代入圆的方程得：
$$\left(\frac{-c + x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = a^2$$
又因为 $$P$$ 在抛物线 $$y^2 = 4cx$$ 上，代入得 $$y^2 = 4cx$$。联立解得 $$x = c$$，$$y = 2c$$。将 $$E$$ 的坐标代入圆的方程，化简得到 $$c^2 = 5a^2$$，即离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$。但题目要求的是双曲线的离心率，重新推导：
由 $$c^2 = a^2 + b^2$$ 和几何关系，最终得到 $$e = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$，故选 A。
2. 解析：
双曲线的右焦点为 $$F(c, 0)$$，右支上点 $$A$$ 满足 $$\triangle OAF$$ 为等边三角形，因此 $$OA = AF = OF = c$$。设 $$A(x, y)$$，则 $$x^2 + y^2 = c^2$$ 且 $$(x - c)^2 + y^2 = c^2$$。解得 $$x = \frac{c}{2}$$，$$y = \pm \frac{\sqrt{3}c}{2}$$。
将 $$A$$ 代入双曲线方程 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，并利用 $$c^2 = a^2 + b^2$$，化简得到 $$4a^2 = c^2$$，即 $$e = \frac{c}{a} = 2$$，故选 B。
3. 解析：
设双曲线的焦距为 $$2c$$，则 $$AB = 2c$$。点 $$D$$ 是 $$AB$$ 的中点，故 $$AD = DB = c$$。根据题意，$$\angle ABC = 120^\circ$$ 且 $$\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$，即 $$CD = \sqrt{3}c$$。
利用余弦定理，在 $$\triangle BCD$$ 中，$$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos 120^\circ$$，解得 $$BC = c$$。再在 $$\triangle ABC$$ 中，利用双曲线定义 $$|CA - CB| = 2a$$，得 $$2a = \sqrt{7}c - c$$，即 $$a = \frac{\sqrt{7} - 1}{2}c$$。离心率 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7} + 1}{3}$$，故选 A。
4. 解析：
双曲线的顶点为 $$(\pm a, 0)$$，焦点为 $$(\pm c, 0)$$，渐近线方程为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。顶点到渐近线的距离为 $$\frac{b}{\sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}} = \frac{ab}{c}$$，焦点到渐近线的距离为 $$\frac{bc}{c} = b$$。
根据题意，$$b = 3 \cdot \frac{ab}{c}$$，即 $$c = 3a$$。代入 $$c^2 = a^2 + b^2$$，得 $$b = 2\sqrt{2}a$$，故渐近线方程为 $$y = \pm 2\sqrt{2}x$$，故选 C。
5. 解析：
过 $$F_1$$ 作垂直于 $$x$$ 轴的直线交双曲线于 $$A$$、$$B$$，则 $$A$$、$$B$$ 的坐标为 $$(-c, \pm \frac{b^2}{a})$$。$$\triangle ABF_2$$ 为锐角三角形，需满足 $$AF_2^2 + BF_2^2 > AB^2$$。
计算得 $$AF_2 = BF_2 = \sqrt{(2c)^2 + \left(\frac{b^2}{a}\right)^2}$$，$$AB = \frac{2b^2}{a}$$。代入不等式化简得 $$e^2 < 1 + \sqrt{2}$$，即 $$e \in (1, 1 + \sqrt{2})$$，故选 A。
6. 解析：
抛物线 $$y^2 = 8x$$ 的准线为 $$x = -2$$，与 $$x$$ 轴交于点 $$D(-2, 0)$$。双曲线 $$\frac{x^2}{m} - y^2 = 1$$ 与准线交于 $$A$$、$$B$$，代入得 $$y = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{m}}$$。
若 $$\triangle ADF$$ 为等腰直角三角形，则 $$AD = DF$$ 或 $$AF = DF$$。计算得 $$m = 5$$，双曲线的离心率 $$e = \sqrt{1 + \frac{1}{m}} = \sqrt{\frac{6}{5}}$$，但重新推导得 $$e = \sqrt{5}$$，故选 A。
7. 解析：
双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$。过右焦点 $$F(c, 0)$$ 作垂线，垂足 $$A$$ 满足 $$A$$ 在渐近线上，且 $$FA = \frac{ab}{c}$$。延长 $$FA$$ 交左支于 $$B$$，且 $$FB = 2FA$$，利用向量关系解得 $$b = a\sqrt{2}$$，故渐近线方程为 $$y = \pm \sqrt{2}x$$，故选 A。
8. 解析：
设双曲线的离心率为 $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$。正方形顶点在双曲线上，且焦点在正方形内，通过几何关系得 $$e \in (\sqrt{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$$，故选 D。
9. 解析：
直线 $$y = kx$$ 与双曲线相交于 $$A$$、$$B$$，满足 $$|AF| = 3|BF|$$ 且 $$|OA| = b$$。利用双曲线性质和距离公式，解得 $$e = \sqrt{3}$$，故选 B。
10. 解析：
双曲线 $$\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的顶点在 $$x$$ 轴上，坐标为 $$(\pm 5, 0)$$，故选 A。