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正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$有相同的左右焦点$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$为椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$在第一象限内的一个公共点，设椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{e}_{1}{，}{{e}_{2}}}$$，且$$\frac{e_{1}} {e_{2}}=\frac{1} {3}，$$若$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}，$$则双曲线$${{C}_{2}}$$的渐近线方程为（）
C
A.$$x \pm y=0$$
B.$$x \pm\frac{\sqrt{3}} {3} y=0$$
C.$$x \pm\frac{\sqrt{2}} {2} y=0$$
D.$$x \pm2 y=0$$
2、['双曲线的渐近线'， '双曲线的定义']正确率60.0%设$${{P}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {9}=1$$左支上一点，该双曲线的一条渐近线方程是$$3 x+4 y=0$$，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线的左，右焦点，若$$| P F_{1} |=1 0$$，则$${{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$等于（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${{2}}$$或$${{1}{8}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{1}{6}}$$
3、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '抛物线的顶点、焦点、准线']正确率60.0%已知$${{F}}$$是抛物线$$C_{\colon} \， \， y^{2}=4 x \， ( p > 0 )$$的焦点，抛物线$${{C}}$$的准线与双曲线$$\Gamma_{\colon} \ \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两条渐近线交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{△}{A}{B}{F}}$$为等边三角形，则$${{Γ}}$$的离心率$${{e}{=}{（}}$$）
D
A.$$\frac{\sqrt3} {2}$$
B.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
C.$$\frac{\sqrt{2 1}} {7}$$
D.$$\frac{\sqrt{2 1}} {3}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的右焦点为$${{F}}$$，离心率为$$\frac{\sqrt{5}} {2}，$$若以$${{O}{F}}$$为直径的圆与双曲线$${{C}}$$的一条渐近线相交于点$${{M}}$$，且$${{△}{O}{M}{F}}$$的面积为$${{1}{6}}$$，则双曲线方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {2 5 6}-\frac{y^{2}} {6 4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {6 4}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}+y^{2}=1$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']正确率60.0%若双曲线$$C_{1} : \frac{y^{2}} {a^{2}}-\frac{x^{2}} {b^{2}}=1$$与双曲线$$C_{2} : \frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$的渐近线相同，则$${{C}_{1}}$$的离心率为
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${{2}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线上点的横坐标与纵坐标的范围']正确率80.0%已知中点在原点的双曲线$${{C}}$$的右焦点为$$F ~ ( \textbf{3}， \textbf{0} )$$，离心率等于$$\frac{3} {2}，$$则双曲线的虚轴长为（）
C
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{5}}$$
C.$${{2}}$$$${\sqrt {5}}$$
D.$${{1}{0}}$$
7、['双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， \， ( \cdot a > 0， \cdot b > 0 )$$的一条渐近线方程为$$y=\frac{\sqrt{5}} {2} x$$，且半焦距$${{c}{=}{3}}$$，则双曲线$${{C}}$$的方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {1 0}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {5}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '圆的定义与标准方程'， '直线和圆相切']正确率40.0%若双曲线$$x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( b > 0 )$$的一条渐近线与圆$$x^{2} ~+~ ( y-2 )^{\rho^{2}}=1$$有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
C
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
9、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左焦点为$${{F}}$$，直线$$x=c ( c$$为半焦距长)与$${{C}}$$的渐近线的交点为$${{A}{，}{B}}$$，若$${{△}{F}{A}{B}}$$为等腰直角三角形，则$${{C}}$$的离心率为（）
C
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$$\frac{1+\sqrt{5}} {2}$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线']正确率60.0%已知双曲线$$C : x^{2}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$的一条渐近线过点$$( b， 4 )$$，则$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
C
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
C.$${\sqrt {5}}$$
D.$${{3}}$$
1. 已知椭圆$$C_1$$与双曲线$$C_2$$有相同焦点$$F_1, F_2$$，公共点$$P$$在第一象限，且$$\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$$，$$\angle F_1 P F_2 = \frac{\pi}{3}$$。设椭圆参数$$a_1, c$$，双曲线参数$$a_2, c$$，则$$e_1 = \frac{c}{a_1}$$，$$e_2 = \frac{c}{a_2}$$。
由$$\frac{e_1}{e_2} = \frac{1}{3}$$得$$\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{3}$$，即$$a_1 = 3a_2$$。
椭圆定义：$$|PF_1| + |PF_2| = 2a_1 = 6a_2$$；双曲线定义：$$||PF_1| - |PF_2|| = 2a_2$$。
设$$|PF_1| = m$$，$$|PF_2| = n$$，则$$m + n = 6a_2$$，$$|m - n| = 2a_2$$，不妨设$$m > n$$，则$$m - n = 2a_2$$。
解得$$m = 4a_2$$，$$n = 2a_2$$。
在$$\triangle F_1 P F_2$$中，由余弦定理：$$|F_1 F_2|^2 = m^2 + n^2 - 2mn \cos \frac{\pi}{3} = 16a_2^2 + 4a_2^2 - 2 \times 4a_2 \times 2a_2 \times \frac{1}{2} = 20a_2^2 - 8a_2^2 = 12a_2^2$$。
又$$|F_1 F_2| = 2c$$，且$$c^2 = a_2^2 + b_2^2$$，故$$4c^2 = 12a_2^2$$，即$$c^2 = 3a_2^2$$。
双曲线渐近线斜率$$k = \pm \frac{b_2}{a_2} = \pm \sqrt{\frac{c^2 - a_2^2}{a_2^2}} = \pm \sqrt{\frac{3a_2^2 - a_2^2}{a_2^2}} = \pm \sqrt{2}$$。
但选项无此形式，检查计算：$$b_2^2 = c^2 - a_2^2 = 3a_2^2 - a_2^2 = 2a_2^2$$，故$$\frac{b_2}{a_2} = \sqrt{2}$$，渐近线$$y = \pm \sqrt{2} x$$，即$$x \pm \frac{\sqrt{2}}{2} y = 0$$。
对应选项C。
2. 双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1$$，渐近线$$3x + 4y = 0$$即$$y = -\frac{3}{4}x$$，故$$\frac{b}{a} = \frac{3}{4}$$，又$$b = 3$$，得$$a = 4$$。
$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$。
$$P$$在左支，$$|PF_2| - |PF_1| = 2a = 8$$，已知$$|PF_1| = 10$$，故$$|PF_2| = 10 + 8 = 18$$。
选项C。
3. 抛物线$$y^2 = 4x$$，焦点$$F(1, 0)$$，准线$$x = -1$$。
双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$渐近线$$y = \pm \frac{b}{a}x$$。
准线$$x = -1$$与渐近线交于$$A(-1, \frac{b}{a})$$，$$B(-1, -\frac{b}{a})$$。
$$\triangle ABF$$为等边三角形，$$AB$$垂直$$x$$轴，$$F(1,0)$$。
$$|AB| = 2 \cdot \frac{b}{a}$$，$$|AF| = \sqrt{(-1-1)^2 + (\frac{b}{a}-0)^2} = \sqrt{4 + \frac{b^2}{a^2}}$$。
等边故$$|AF| = |AB|$$，即$$\sqrt{4 + \frac{b^2}{a^2}} = 2 \cdot \frac{b}{a}$$。
平方得$$4 + \frac{b^2}{a^2} = 4 \cdot \frac{b^2}{a^2}$$，即$$4 = 3 \cdot \frac{b^2}{a^2}$$，$$\frac{b^2}{a^2} = \frac{4}{3}$$。
离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{4}{3}} = \sqrt{\frac{7}{3}} = \frac{\sqrt{21}}{3}$$。
选项D。
4. 双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，$$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$，故$$c = \frac{\sqrt{5}}{2} a$$。
以$$OF$$为直径的圆，圆心$$(\frac{c}{2}, 0)$$，半径$$R = \frac{c}{2}$$。
渐近线$$y = \frac{b}{a} x$$，与圆交于$$M$$。
圆方程：$$(x - \frac{c}{2})^2 + y^2 = (\frac{c}{2})^2$$。
代入$$y = \frac{b}{a} x$$得$$(x - \frac{c}{2})^2 + (\frac{b}{a} x)^2 = \frac{c^2}{4}$$。
展开：$$x^2 - c x + \frac{c^2}{4} + \frac{b^2}{a^2} x^2 = \frac{c^2}{4}$$，即$$(1 + \frac{b^2}{a^2}) x^2 - c x = 0$$。
$$x \neq 0$$，解得$$x = \frac{c}{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{c a^2}{a^2 + b^2} = \frac{c a^2}{c^2} = \frac{a^2}{c}$$。
则$$y = \frac{b}{a} \cdot \frac{a^2}{c} = \frac{a b}{c}$$。
$$\triangle OMF$$面积$$S = \frac{1}{2} |OF| \cdot |y_M| = \frac{1}{2} \cdot c \cdot \frac{a b}{c} = \frac{a b}{2} = 16$$，故$$a b = 32$$。
又$$c^2 = a^2 + b^2 = \frac{5}{4} a^2$$，得$$b^2 = \frac{5}{4} a^2 - a^2 = \frac{1}{4} a^2$$，即$$b = \frac{a}{2}$$。
代入$$a b = 32$$：$$a \cdot \frac{a}{2} = 32$$，$$a^2 = 64$$，$$a = 8$$，$$b = 4$$。
双曲线方程$$\frac{x^2}{64} - \frac{y^2}{16} = 1$$。
选项B。
5. 双曲线$$C_2: \frac{x^2}{3} - y^2 = 1$$渐近线$$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} x$$。
$$C_1: \frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$渐近线$$y = \pm \frac{a}{b} x$$。
渐近线相同，故$$\frac{a}{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$，即$$b = a \sqrt{3}$$。
$$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$$，$$c = 2a$$。
离心率$$e = \frac{c}{a} = 2$$。
选项D。
6. 双曲线中心原点，右焦点$$F(3,0)$$，故$$c = 3$$。
离心率$$e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}$$，得$$a = 2$$。
$$b^2 = c^2 - a^2 = 9 - 4 = 5$$，$$b = \sqrt{5}$$。
虚轴长$$2b = 2\sqrt{5}$$。
选项C。
7. 双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，渐近线$$y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$$，故$$\frac{b}{a} = \frac{\sqrt{5}}{2}$$。
半焦距$$c = 3$$，$$c^2 = a^2 + b^2 = a^2 + \frac{5}{4} a^2 = \frac{9}{4} a^2 = 9$$，得$$a^2 = 4$$，$$b^2 = \frac{5}{4} \times 4 = 5$$。
双曲线方程$$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1$$。
选项D。
8. 双曲线$$x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，渐近线$$y = \pm b x$$。
圆$$x^2 + (y-2)^2 = 1$$，圆心$$(0,2)$$，半径$$1$$。
渐近线与圆相切，距离$$d = \frac{|0 - 2|}{\sqrt{1 + b^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 + b^2}} = 1$$。
解得$$\sqrt{1 + b^2} = 2$$，$$b^2 = 3$$。
离心率$$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 3} = 2$$。
选项C。
9. 双曲线$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，左焦点$$F(-c,0)$$。
直线$$x = c$$与渐近线$$y = \pm \frac{b}{a} x$$交于$$A(c, \frac{b}{a} c)$$，$$B(c, -\frac{b}{a} c)$$。
$$\triangle FAB$$为等腰直角三角形，$$FA = FB$$，且$$\angle AFB = 90^\circ$$。
$$|FA| = \sqrt{(c + c)^2 + (\frac{b}{a} c - 0)^2} = \sqrt{4c^2 + \frac{b^2}{a^2} c^2} = c \sqrt{4 + \frac{b^2}{a^2}}$$。
$$|AB| = 2 \cdot \frac{b}{a} c$$。
等腰直角，故$$|FA| = \frac{\sqrt{2}}{2} |AB|$$，即$$c \sqrt{4 + \frac{b^2}{a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 \cdot \frac{b}{a} c = \sqrt{2} \cdot \frac{b}{a} c$$。
约去$$c$$（$$c > 0$$），平方得$$4 + \frac{b^2}{a^2} = 2 \cdot \frac{b^2}{a^2}$$，即$$4 = \frac{b^2}{a^2}$$，$$b^2 = 4a^2$$。
$$c^2 = a^2 + b^2 = 5a^2$$，$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$。
选项C。
10. 双曲线$$x^2 - \frac{y^2}{b^2} = 1$$，渐近线$$y = \pm b x$$。
点$$(b, 4)$$在渐近线上，故$$4 = b \cdot b = b^2$$，即$$b = 2$$。
$$a^2 = 1$$，$$c^2 = a^2 + b^2 = 1 + 4 = 5$$，$$c = \sqrt{5}$$。
离心率$$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$。
选项C。