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正确率19.999999999999996%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为左右焦点的双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a， b > 0 )$$和圆$${{x}^{2}{+}{{y}^{2}}{=}{{a}^{2}}{+}{{b}^{2}}}$$在第一象限交于点$${{A}}$$．若平面内一点$${{P}}$$，满足$$\overrightarrow{P A}=\overrightarrow{A F_{2}}， \overrightarrow{P F_{1}} \cdot\overrightarrow{F_{2} F_{1}}=2 \sqrt{3} \left( a^{2}+b^{2} \right)$$，则双曲线（）
D
A.实轴长$${{2}{\sqrt {2}}}$$
B.焦距为$${{4}}$$
C.渐近线方程为$${{y}{=}{±}{\sqrt {3}}{x}}$$
D.离心率为$${\sqrt {2}}$$
2、['两点间的距离'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%$${\sqrt {{x}^{2}{+}{(}{y}{−}{2}}{{)}^{2}}{−}{\sqrt {{x}^{2}{+}{(}{y}{+}{2}}}{{)}^{2}}{=}{2}}$$表示的曲线方程为（）
C
A.$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{1}{(}{x}{⩽}{−}{1}{)}}$$
B.$${{x}^{2}{−}{{y}^{2}}{=}{1}{(}{x}{⩾}{−}{1}{)}}$$
C.$${{y}^{2}{−}{{x}^{2}}{=}{1}{(}{y}{⩽}{−}{1}{)}}$$
D.$${{y}^{2}{−}{{x}^{2}}{=}{1}{(}{y}{⩾}{1}{)}}$$
3、['双曲线的离心率'， '抛物线的顶点、焦点、准线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%抛物线$${{y}^{2}{=}{−}{4}{x}}$$的焦点恰好是双曲线$$\frac{x^{2}} {m}+n y^{2}=1$$的实轴端点，又双曲线的离心率为$${{2}}$$，则实数$${{n}}$$的值为（）
D
A.$${{1}}$$
B.$$\frac{1} {3}$$
C.$${{−}{3}}$$
D.$$- \frac{1} {3}$$
4、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {3 6}-\frac{y^{2}} {6 4}=1$$上一点$${{P}}$$到双曲线的一个焦点距离为$${{1}{5}}$$，则点$${{P}}$$到另外一个焦点的距离为（）
C
A.$${{3}}$$或$${{2}{7}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{2}{7}}$$
D.$${{5}}$$
5、['双曲线的渐近线'， '直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的两条渐近线均和圆$${{C}{：}{{x}^{2}}{+}{{y}^{2}}{−}{4}{x}{+}{1}{=}{0}}$$相切，且双曲线的右焦点为圆$${{C}}$$的圆心，则该双曲线的方程为（）
B
A.$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {5}-y^{2}=1$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知双曲线$${{8}{k}{{x}^{2}}{−}{k}{{y}^{2}}{=}{8}}$$的一个焦点为$${{(}{0}{，}{3}{)}}$$，则$${{k}}$$的值为$${{(}{)}}$$
D
A.$$\frac{\sqrt{6 5}} {3}$$
B.$$- \frac{\sqrt{6 5}} {3}$$
C.$${{1}}$$
D.$${{−}{1}}$$
7、['点到直线的距离'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$${{C}}$$的一条渐近线方程为$${{y}{=}{2}{x}}$$，且双曲线经过点$${{(}{1}{，}{\sqrt {5}}{)}}$$，则该双曲线一个焦点到渐近线的距离为（）
A
A.$$\frac{1} {2}$$
B.$${{1}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${{4}}$$
10、['双曲线的标准方程']正确率40.0%如果方程$$\frac{x^{2}} {m+2}+\frac{y^{2}} {m+1}=1$$表示双曲线，则实数$${{m}}$$的取值范围是（）
A
A.$${{(}{−}{2}{，}{−}{1}{)}}$$
B.$${{(}{−}{∞}{，}{−}{2}{)}{∪}{(}{−}{1}{，}{∞}{)}}$$
C.$${{(}{−}{1}{，}{−}{1}{)}}$$
D.$${{(}{−}{3}{，}{−}{2}{)}}$$
1. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$，圆的方程为 $$x^{2}+y^{2}=a^{2}+b^{2}$$。在第一象限交点 $$A$$ 满足双曲线和圆的方程。
由双曲线性质，$$F_1(-c,0)$$ 和 $$F_2(c,0)$$，其中 $$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$。
根据题意，$$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{AF_2}$$，即 $$P$$ 是 $$A$$ 关于 $$F_2$$ 的对称点。设 $$A(x_0,y_0)$$，则 $$P(2c-x_0,-y_0)$$。
向量 $$\overrightarrow{PF_1}=(-3c+x_0,y_0)$$，$$\overrightarrow{F_2F_1}=(-2c,0)$$。
由点积条件：$$\overrightarrow{PF_1} \cdot \overrightarrow{F_2F_1}=(-3c+x_0)(-2c)=6c^{2}-2c x_0=2\sqrt{3}(a^{2}+b^{2})=2\sqrt{3}c^{2}$$。
解得 $$x_0=3c-\sqrt{3}c$$。
将 $$A(x_0,y_0)$$ 代入圆的方程：$$(3c-\sqrt{3}c)^{2}+y_0^{2}=c^{2}$$，解得 $$y_0^{2}=c^{2}-(3-\sqrt{3})^{2}c^{2}=(-8+6\sqrt{3})c^{2}$$。
将 $$A$$ 代入双曲线方程：$$\frac{(3-\sqrt{3})^{2}c^{2}}{a^{2}}-\frac{(-8+6\sqrt{3})c^{2}}{b^{2}}=1$$。
利用 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，化简可得 $$\frac{(3-\sqrt{3})^{2}(a^{2}+b^{2})}{a^{2}}-\frac{(-8+6\sqrt{3})(a^{2}+b^{2})}{b^{2}}=1$$。
设 $$k=\frac{b}{a}$$，代入化简后解得 $$k=\sqrt{3}$$，即 $$b=\sqrt{3}a$$。
因此双曲线的实轴长为 $$2a$$，焦距为 $$2c=2\sqrt{a^{2}+3a^{2}}=4a$$，渐近线方程为 $$y=\pm \sqrt{3}x$$，离心率 $$e=\frac{c}{a}=2$$。
题目中选项 C 正确。
2. 解析：
方程 $$\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}-\sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}}=2$$ 表示点到 $$(0,2)$$ 和 $$(0,-2)$$ 的距离差为 2。
由双曲线定义，这是双曲线的下半支，焦距 $$2c=4$$，距离差 $$2a=2$$，故 $$a=1$$，$$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3}$$。
双曲线方程为 $$\frac{y^{2}}{1}-\frac{x^{2}}{3}=1$$，且 $$y \leq -1$$。
选项 C 正确。
3. 解析：
抛物线 $$y^{2}=-4x$$ 的焦点为 $$(-1,0)$$，双曲线 $$\frac{x^{2}}{m}+n y^{2}=1$$ 的实轴端点为 $$(\sqrt{m},0)$$ 或 $$(-\sqrt{m},0)$$。
由题意，$$\sqrt{m}=1$$，即 $$m=1$$。
双曲线离心率 $$e=2$$，由公式 $$e=\sqrt{1+\frac{1}{n}}$$，解得 $$n=-\frac{1}{3}$$（因为 $$n$$ 必须为负，使双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{1/3}=1$$）。
选项 D 正确。
4. 解析：
双曲线 $$\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$$ 的 $$a=6$$，$$b=8$$，$$c=\sqrt{36+64}=10$$。
由双曲线性质，点 $$P$$ 到两焦点的距离差为 $$2a=12$$。已知一个距离为 15，则另一个距离为 $$15 \pm 12$$，即 3 或 27。
选项 A 正确。
5. 解析：
圆 $$C$$ 的方程为 $$(x-2)^{2}+y^{2}=3$$，圆心为 $$(2,0)$$，半径 $$\sqrt{3}$$。
双曲线的右焦点为 $$(2,0)$$，故 $$c=2$$。
双曲线的渐近线 $$y=\pm \frac{b}{a}x$$ 与圆相切，由距离公式 $$\frac{2b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{3}$$。
结合 $$c^{2}=a^{2}+b^{2}=4$$，解得 $$a=1$$，$$b=\sqrt{3}$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{3}=1$$。
选项 B 正确。
6. 解析：
双曲线方程化为 $$\frac{x^{2}}{1/k}-\frac{y^{2}}{8/k}=1$$，焦点在 $$y$$ 轴上，故 $$c^{2}=\frac{8}{k}-\frac{1}{k}=\frac{7}{k}$$。
已知焦点为 $$(0,3)$$，故 $$c=3$$，$$\frac{7}{k}=9$$，解得 $$k=\frac{7}{9}$$。
但选项中没有此答案，可能是题目描述有误。假设双曲线方程为 $$8k x^{2}-k y^{2}=8$$，即 $$\frac{x^{2}}{1/k}-\frac{y^{2}}{8/k}=1$$，重新计算得 $$k=1$$ 或 $$k=-1$$。
验证 $$k=1$$ 时，$$c^{2}=8-1=7$$ 不符合；$$k=-1$$ 时，$$c^{2}=8+1=9$$ 符合。
选项 D 正确。
7. 解析：
双曲线渐近线为 $$y=2x$$，设双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4a^{2}}=1$$。
经过点 $$(1,\sqrt{5})$$，代入得 $$\frac{1}{a^{2}}-\frac{5}{4a^{2}}=1$$，解得 $$a^{2}=1$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1$$，焦点为 $$(\pm \sqrt{5},0)$$。
一个焦点到渐近线 $$2x-y=0$$ 的距离为 $$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$$。
选项 C 正确。
10. 解析：
方程 $$\frac{x^{2}}{m+2}+\frac{y^{2}}{m+1}=1$$ 表示双曲线时，分母异号，即 $$(m+2)(m+1)<0$$。
解得 $$-2 选项 A 正确。