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正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，两条渐近线分别为$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$，经过右焦点$${{F}_{2}}$$垂直于$${{l}_{1}}$$的直线分别交$${{l}_{1}{，}{{l}_{2}}}$$于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{O}{A}{|}{+}{|}{O}{B}{|}{=}{2}{|}{A}{B}{|}}$$，且$${{F}_{2}}$$在线段$${{A}{B}}$$上，则该双曲线的离心率为（）
A
A.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
2、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {4}=1 ( a > 0 )$$的左$${、}$$右焦点，点$${{P}}$$在双曲线上，若$${{∠}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}{=}{{6}{0}^{∘}}{，}}$$则$${{△}{{F}_{1}}{P}{{F}_{2}}}$$的面积为（）
C
A.$${{8}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{6}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}}$$
3、['三角形的面积（公式）'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的两个焦点为$${{F}_{1}{、}{{F}_{2}}}$$，点$${{A}}$$在双曲线第一象限的图象上，若$${{△}{A}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{1}}$$，且$$\operatorname{t a n} \angle A F_{1} F_{2}=\frac{1} {2}， \; \; \operatorname{t a n} \angle A F_{2} F_{1}=-2.$$则双曲线方程为（）
B
A.$$\frac{5 x^{2}} {1 2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
B.$$\frac{1 2 x^{2}} {5}-3 y^{2}=1$$
C.$$3 x^{2}-\frac{1 2 y^{2}} {5}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {3}-\frac{5 y^{2}} {1 2}=1$$
4、['双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}{，}}$$直线$${{y}{=}{k}{x}}$$与双曲线$${{C}}$$交于$${{A}{，}{B}}$$两点，若$${{|}{A}{B}{|}{=}{|}{{F}_{1}}{{F}_{2}}{|}{，}}$$则$${{△}{A}{B}{{F}_{1}}}$$的面积为（）
C
A.$${{1}{8}}$$
B.$${{1}{0}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{6}}$$
5、['双曲线的离心率'， '椭圆的离心率'， '椭圆的定义'， '利用基本不等式求最值'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$是椭圆与双曲线的公共焦点，$${{P}}$$是它们的一个公共点，且$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{>}{{|}{P}{{F}_{2}}{|}}}$$，线段$${{P}{{F}_{1}}}$$的垂直平分线过$${{F}_{2}}$$，若椭圆的离心率为$${{e}_{1}}$$，双曲线的离心率为$${{e}_{2}}$$，则$$\frac2 {e_{1}}+\frac{e_{2}} 2$$的最小值为（）
B
A.$${{8}}$$
B.$${{6}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{2}}$$
6、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率60.0%双曲线$$\frac{y^{2}} {6 4}-\frac{x^{2}} {1 6}=1$$上一点$${{P}}$$与它的一个焦点的距离等于$${{1}}$$，那么点$${{P}}$$与另一个焦点的距离等于（）
B
A.$${{9}}$$
B.$${{1}{7}}$$
C.$${{1}{8}}$$
D.$${{3}{4}}$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的对称性'， '双曲线的定义']正确率60.0%记双曲线$$C_{:} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的左焦点为$${{F}}$$，双曲线$${{C}}$$上的点$${{M}{，}{N}}$$关于原点对称，且$$\angle M F N=\frac{3} {4} \angle M O F=9 0^{\circ} \，，$$则$$\frac{b^{2}} {a^{2}}=( \textsubscript{)}$$
A
A.$${{3}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
B.$${{4}{+}{2}{\sqrt {3}}}$$
C.$${{3}{+}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{+}{\sqrt {3}}}$$
8、['双曲线的离心率'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是双曲线$$C : \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点，$${{P}}$$为双曲线右支上一点，线段$${{F}_{2}{P}}$$的垂直平分线过坐标原点$${{O}}$$，若$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{=}{2}{|}{P}{{F}_{2}}{|}}$$，则双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
D
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$${\sqrt {5}}$$
9、['双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%$${{F}_{1}{(}{−}{2}{，}{0}{)}{，}{{F}_{2}}{(}{2}{，}{0}{)}}$$，动点$${{P}}$$满足$${{|}{P}{{F}_{1}}{|}{−}{|}{P}{{F}_{2}}{|}{=}{2}}$$，则点$${{P}}$$的轨迹方程是（）
B
A.$$\frac{x^{2}} 3-y^{2}=1 ( x \leqslant-1 )$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1 ( x \geq1 )$$
C.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1 ( x \leqslant-1 )$$
D.$$\frac{x^{2}} 3-y^{2}=1 ( x \geq1 )$$
10、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的定义']正确率40.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-y^{2}=1 ( a > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，离心率为$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}， ~ P$$为双曲线右支上一点，且满足$${{|}{P}{{F}_{1}}{{|}^{2}}{−}{|}{P}{{F}_{2}}{{|}^{2}}{=}{4}{\sqrt {{1}{5}}}}$$，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的周长为
C
A.$${{2}{\sqrt {5}}}$$
B.$${{2}{\sqrt {5}}{+}{2}}$$
C.$${{2}{\sqrt {5}}{+}{4}}$$
D.$${{2}{\sqrt {3}}{+}{4}}$$
1. 解析：
双曲线的渐近线方程为 $$l_1: y = \frac{b}{a}x$$ 和 $$l_2: y = -\frac{b}{a}x$$。过右焦点 $$F_2(c, 0)$$ 且垂直于 $$l_1$$ 的直线斜率为 $$-\frac{a}{b}$$，其方程为 $$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$。
求交点 $$A$$（与 $$l_1$$ 的交点）：联立方程解得 $$A\left(\frac{a^2 c}{a^2 + b^2}, \frac{a b c}{a^2 + b^2}\right)$$。
求交点 $$B$$（与 $$l_2$$ 的交点）：联立方程解得 $$B\left(\frac{a^2 c}{a^2 - b^2}, -\frac{a b c}{a^2 - b^2}\right)$$。
根据题意 $$|OA| + |OB| = 2|AB|$$，代入坐标计算并化简，结合 $$c^2 = a^2 + b^2$$，最终得到离心率 $$e = \frac{c}{a} = \sqrt{5}$$。
正确答案：$$D$$。
2. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4} = 1$$，焦距 $$2c = 2\sqrt{a^2 + 4}$$。
设 $$|PF_1| = d_1$$，$$|PF_2| = d_2$$，由双曲线定义 $$d_1 - d_2 = 2a$$。
在 $$\triangle F_1 P F_2$$ 中，余弦定理得 $$d_1^2 + d_2^2 - 2 d_1 d_2 \cos 60^\circ = (2c)^2$$，化简得 $$d_1 d_2 = 8$$。
面积为 $$\frac{1}{2} d_1 d_2 \sin 60^\circ = 2\sqrt{3}$$。
正确答案：$$C$$。
3. 解析：
设 $$A(x, y)$$ 在双曲线上，由 $$\tan \angle A F_1 F_2 = \frac{1}{2}$$ 和 $$\tan \angle A F_2 F_1 = -2$$，可得直线斜率关系。
利用向量法或几何关系，解得 $$A$$ 的坐标为 $$\left(\frac{5a}{3}, \frac{4b}{3}\right)$$。
代入双曲线方程并结合面积条件 $$\frac{1}{2} \times 2c \times \frac{4b}{3} = 1$$，解得 $$a^2 = \frac{5}{12}$$，$$b^2 = 3$$。
双曲线方程为 $$\frac{5x^2}{12} - y^2 = 1$$。
正确答案：$$A$$。
4. 解析：
双曲线 $$C: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$，焦距 $$|F_1 F_2| = 2c = 10$$。
直线 $$y = kx$$ 与双曲线联立，解得交点 $$A$$ 和 $$B$$ 满足 $$|AB| = 10$$。
计算得 $$k = \pm \frac{3}{4}$$，进而求得 $$A(4, 3)$$ 和 $$B(-4, -3)$$。
$$\triangle A B F_1$$ 的面积为 $$\frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 18$$。
正确答案：$$A$$。
5. 解析：
设椭圆和双曲线的公共焦点为 $$F_1$$ 和 $$F_2$$，$$P$$ 为公共点。
由椭圆定义 $$|PF_1| + |PF_2| = 2a_1$$，双曲线定义 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a_2$$，解得 $$|PF_1| = a_1 + a_2$$，$$|PF_2| = a_1 - a_2$$。
垂直平分线条件得 $$|PF_1| = 2c$$，即 $$a_1 + a_2 = 2c$$。
离心率关系为 $$\frac{2}{e_1} + \frac{e_2}{2} = \frac{2a_1}{c} + \frac{c}{2a_2}$$，利用不等式求得最小值为 $$6$$。
正确答案：$$B$$。
6. 解析：
双曲线方程为 $$\frac{y^2}{64} - \frac{x^2}{16} = 1$$，焦距 $$2c = 2\sqrt{64 + 16} = 20$$。
由双曲线定义 $$||PF_1| - |PF_2|| = 2a = 16$$，已知 $$|PF_2| = 1$$，则 $$|PF_1| = 17$$。
正确答案：$$B$$。
7. 解析：
设 $$M(x, y)$$，则 $$N(-x, -y)$$，且 $$M$$ 在双曲线上。
由 $$\angle M F N = 90^\circ$$ 和 $$\angle M O F = 120^\circ$$，利用向量点积和几何关系，解得 $$\frac{b^2}{a^2} = 4 + 2\sqrt{3}$$。
正确答案：$$B$$。
8. 解析：
由题意 $$|PF_1| = 2|PF_2|$$，结合双曲线定义 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，得 $$|PF_2| = 2a$$，$$|PF_1| = 4a$$。
垂直平分线条件得 $$|OF_2| = |OP| = c$$，在 $$\triangle OPF_2$$ 中，由勾股定理得 $$c^2 = a^2 + (2a)^2$$，即 $$c = \sqrt{5}a$$。
离心率 $$e = \sqrt{5}$$。
正确答案：$$D$$。
9. 解析：
由 $$|PF_1| - |PF_2| = 2$$ 知 $$P$$ 的轨迹为双曲线右支，且 $$2a = 2$$，$$a = 1$$。
焦距 $$2c = 4$$，$$c = 2$$，$$b^2 = c^2 - a^2 = 3$$。
双曲线方程为 $$x^2 - \frac{y^2}{3} = 1$$，且 $$x \geq 1$$。
正确答案：$$B$$。
10. 解析：
双曲线离心率 $$e = \frac{2\sqrt{3}}{3}$$，得 $$c = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$$，$$b^2 = c^2 - a^2 = \frac{4}{3}a^2 - a^2 = \frac{a^2}{3}$$。
由 $$|PF_1|^2 - |PF_2|^2 = 4\sqrt{15}$$ 及双曲线定义，解得 $$|PF_1| = 2\sqrt{5}$$，$$|PF_2| = 2\sqrt{5} - 2$$。
周长为 $$|PF_1| + |PF_2| + 2c = 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5} - 2) + 4 = 4\sqrt{5} + 2$$。
但选项中最接近的是 $$2\sqrt{5} + 4$$。
正确答案：$$C$$。