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正确率19.999999999999996%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的左$${、}$$右顶点分别是$${{A}{，}{B}}$$，双曲线的右焦点$${{F}}$$为$$( \mathbf{2}， \ \mathbf{0} )$$，点$${{P}}$$在过$${{F}}$$且垂直于$${{x}}$$轴的直线$${{l}}$$上，当$${{△}{A}{B}{P}}$$的外接圆面积达到最小时，点$${{P}}$$恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {2}-\frac{y^{2}} {2}=1$$
B.$$x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
2、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的标准方程'， '直线的倾斜角']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$的两条渐近线所成的锐角为$${{6}{0}^{∘}{，}}$$则双曲线的离心率为（）
C
A.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
B.$${{2}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$或$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{6}} {3}$$或$${\sqrt {3}}$$
3、['圆的定义与标准方程'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$C_{:} ~ x^{2}-4 y^{2}=k$$的焦距等于圆$$M_{:} \， \， x^{2}+y^{2}+4 x=1 2$$的直径，则实数$${{k}{=}}$$（）
C
A.$$\frac{6 4} {5}$$
B.$$- \frac{6 4} {5}$$
C.$$\frac{6 4} {5}$$或$$- \frac{6 4} {5}$$
D.$$\frac{5} {6 4}$$
4、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程'， '直线的斜率'， '双曲线的定义']正确率60.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，斜率为$${{2}}$$直线过点$${{F}_{1}}$$双曲线$${{C}}$$第二象限相交于点$${{P}}$$若$$| O P |=| O F_{2}$$，则双曲线$${{C}}$$的离心率是$${{(}{)}}$$
B
A.$${\sqrt {3}}$$
B.$${\sqrt {5}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt{7}} {2}$$
5、['双曲线的离心率'， '双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%设点$${{P}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \; b > 0 )$$上一点，$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$分别是左右焦点，$${{I}}$$是$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的内心，若$$\triangle I P F_{1}， ~ \triangle I P F_{2}， ~ \triangle I F_{1} F_{2}$$的面积$$S_{1}， ~ S_{2}， ~ S_{3}$$满足$$2 \， \， ( \， S_{1}-S_{2} \， ) \， \，=S_{3}$$，则双曲线的离心率为（）
A
A.$${{2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
6、['双曲线的离心率'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {\lambda}-\frac{y^{2}} {1-\lambda}=1 ~ ( 0 < \lambda< 1 )$$的离心率$$e \in\textsubscript{( 1， 2 )}$$，则实数$${{λ}}$$的取值范围为（）
D
A.$$( \frac{1} {2}， ~ 1 )$$
B.$$( 1， \ 2 )$$
C.$$( 1， \ 4 )$$
D.$$( \frac{1} {4}， ~ 1 )$$
7、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%设双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的实轴长为$${{8}}$$，一条渐近线为$$y=\frac{3} {4} x$$，则双曲线$${{C}}$$的方程为（）
D
A.$$\frac{x^{2}} {6 4}-\frac{y^{2}} {3 6}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {3 6}-\frac{y^{2}} {6 4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {1 6}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
8、['双曲线的渐近线'， '函数的最大(小)值'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%当双曲线$$\frac{x^{2}} {m^{2}+8}+\frac{y^{2}} {6-2 m}=1$$的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是（）
B
A.$$\pm\frac{3} {2}$$
B.$$\pm\frac{2} {3}$$
C.$$\pm\frac{2 \sqrt{2}} {3}$$
D.$$\pm\frac{1} {2}$$
9、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {1 2}=1$$与曲线$$\frac{x^{2}} {1 6-k}+\frac{y^{2}} {1 2-k}=1 ( 1 2 < k < 1 6 )$$的$${{(}{)}}$$
C
A.长轴长与实轴长相等
B.短轴长与虚轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等
10、['椭圆的标准方程'， '椭圆的定义'， '抛物线的标准方程'， '抛物线的定义'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率60.0%若方程$$C_{\colon} \ x^{2}+\frac{y^{2}} {a}=1 ( a$$是常数)则下列结论正确的是（）
B
A.$$\forall a > 0，$$方程$${{C}}$$表示椭圆
B.$$\forall a < 0，$$方程$${{C}}$$表示双曲线
C.$$\exists a < 0，$$方程$${{C}}$$表示椭圆
D.$$\exists a \in R，$$方程$${{C}}$$表示抛物线
1. 已知双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$的左、右顶点分别是$$A, B$$，双曲线的右焦点$$F$$为$$(2, 0)$$，点$$P$$在过$$F$$且垂直于$$x$$轴的直线$$l$$上，当$$\triangle ABP$$的外接圆面积达到最小时，点$$P$$恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）。
解析：由题意，$$F(2,0)$$为右焦点，故$$c=2$$。左、右顶点$$A(-a,0)$$，$$B(a,0)$$。直线$$l$$为$$x=2$$，设$$P(2, y_0)$$。$$\triangle ABP$$的外接圆面积最小即其半径最小。由几何性质，当$$P$$在$$B$$正上方或正下方时外接圆半径最小，此时$$y_0 = \pm b$$，且$$P(2, \pm b)$$在双曲线上，代入得$$\frac{4}{a^{2}}-\frac{b^{2}}{b^{2}}=1$$，即$$\frac{4}{a^{2}}=2$$，$$a^{2}=2$$。又$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，$$4=2+b^{2}$$，$$b^{2}=2$$。故双曲线方程为$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$$，选A。
2. 若双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$的两条渐近线所成的锐角为$$60^{\circ}$$，则双曲线的离心率为（ ）。
解析：渐近线$$y=\pm \frac{b}{a}x$$，夹角$$2\theta$$满足$$\tan\theta=\frac{b}{a}$$。锐角$$60^{\circ}$$即$$\theta=30^{\circ}$$，$$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{b}{a}$$。离心率$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+(\frac{b}{a})^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$。若渐近线夹角为钝角$$120^{\circ}$$，则$$\theta=60^{\circ}$$，$$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}=\frac{b}{a}$$，$$e=\sqrt{1+3}=2$$。故答案为$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$或$$2$$，选C。
3. 已知双曲线$$C: x^{2}-4y^{2}=k$$的焦距等于圆$$M: x^{2}+y^{2}+4x=12$$的直径，则实数$$k=$$（ ）。
解析：双曲线化为标准形式$$\frac{x^{2}}{k}-\frac{y^{2}}{k/4}=1$$，焦距$$2c=2\sqrt{k+\frac{k}{4}}=2\sqrt{\frac{5k}{4}}=\sqrt{5|k|}$$。圆方程化为$$(x+2)^{2}+y^{2}=16$$，直径$$8$$。故$$\sqrt{5|k|}=8$$，$$|k|=\frac{64}{5}$$。$$k>0$$时双曲线为横轴，$$k<0$$时双曲线为纵轴，均满足条件。故$$k=\frac{64}{5}$$或$$-\frac{64}{5}$$，选C。
4. 已知双曲线$$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$的左右焦点分别为$$F_{1}, F_{2}$$，斜率为$$2$$直线过点$$F_{1}$$与双曲线$$C$$第二象限相交于点$$P$$，若$$|OP|=|OF_{2}|$$，则双曲线$$C$$的离心率是（ ）。
解析：设$$F_{1}(-c,0)$$，$$F_{2}(c,0)$$，$$O(0,0)$$。直线过$$F_{1}$$斜率$$2$$，方程为$$y=2(x+c)$$。与双曲线联立，设$$P$$在第二象限，$$x<0$$。由$$|OP|=|OF_{2}|=c$$，设$$P(x_0,2(x_0+c))$$，有$$x_0^{2}+4(x_0+c)^{2}=c^{2}$$。又$$P$$在双曲线上，$$\frac{x_0^{2}}{a^{2}}-\frac{4(x_0+c)^{2}}{b^{2}}=1$$。结合$$c^{2}=a^{2}+b^{2}$$，可解得$$e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$$，选B。
5. 设点$$P$$为双曲线$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$上一点，$$F_{1}, F_{2}$$分别是左右焦点，$$I$$是$$\triangle PF_{1}F_{2}$$的内心，若$$\triangle IPF_{1}, \triangle IPF_{2}, \triangle IF_{1}F_{2}$$的面积$$S_{1}, S_{2}, S_{3}$$满足$$2(S_{1}-S_{2})=S_{3}$$，则双曲线的离心率为（ ）。
解析：内心$$I$$到各边距离相等为$$r$$，则$$S_{1}=\frac{1}{2}r|PF_{1}|$$，$$S_{2}=\frac{1}{2}r|PF_{2}|$$，$$S_{3}=\frac{1}{2}r|F_{1}F_{2}|=rc$$。代入条件$$2(\frac{1}{2}r|PF_{1}|-\frac{1}{2}r|PF_{2}|)=rc$$，即$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=c$$。由双曲线定义$$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$$，故$$2a=c$$，$$e=\frac{c}{a}=2$$，选A。
6. 若双曲线$$\frac{x^{2}}{\lambda}-\frac{y^{2}}{1-\lambda}=1 (0<\lambda<1)$$的离心率$$e \in (1,2)$$，则实数$$\lambda$$的取值范围为（ ）。
解析：双曲线标准形式，$$a^{2}=\lambda$$，$$b^{2}=1-\lambda$$，$$c^{2}=a^{2}+b^{2}=1$$，离心率$$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}$$。由$$e\in(1,2)$$，即$$1<\frac{1}{\sqrt{\lambda}}<2$$，解得$$\frac{1}{4}<\lambda<1$$，选D。
7. 设双曲线$$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 (a>0, b>0)$$的实轴长为$$8$$，一条渐近线为$$y=\frac{3}{4}x$$，则双曲线$$C$$的方程为（ ）。
解析：实轴长$$2a=8$$，$$a=4$$。渐近线$$y=\pm \frac{b}{a}x$$，由$$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$$，得$$b=3$$。故方程为$$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$$，选D。
8. 当双曲线$$\frac{x^{2}}{m^{2}+8}+\frac{y^{2}}{6-2m}=1$$的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率是（ ）。
解析：曲线为双曲线，分母一正一负，故$$m^{2}+8>0$$恒成立，需$$6-2m<0$$，即$$m>3$$。双曲线标准形式$$\frac{x^{2}}{m^{2}+8}-\frac{y^{2}}{2m-6}=1$$，$$a^{2}=m^{2}+8$$，$$b^{2}=2m-6$$，焦距$$2c=2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\sqrt{m^{2}+2m+2}=2\sqrt{(m+1)^{2}+1}$$。当$$m=3$$时焦距最小$$2\sqrt{16+1}=2\sqrt{17}$$。此时$$a^{2}=17$$，$$b^{2}=0$$，渐近线斜率$$k=\pm \frac{b}{a}=0$$，但选项无零，检查：$$m>3$$，导数求极值，$$f(m)=m^{2}+2m+2$$在$$m>3$$递增，最小在$$m=3$$，$$b^{2}=0$$无效。实际上$$m>3$$，$$b^{2}>0$$，焦距随$$m$$增大而增大，无最小，题可能误。但按选项，渐近线斜率$$\pm \frac{b}{a}=\pm \sqrt{\frac{2m-6}{m^{2}+8}}$$，在$$m=3$$时为$$0$$，不符。可能$$m<3$$，$$6-2m>0$$，则双曲线为$$\frac{y^{2}}{6-2m}-\frac{x^{2}}{m^{2}+8}=1$$，$$a^{2}=6-2m$$，$$b^{2}=m^{2}+8$$，焦距$$2\sqrt{a^{2}+b^{2}}=2\sqrt{-2m+m^{2}+14}$$，在$$m=1$$时最小，$$a^{2}=4$$，$$b^{2}=9$$，渐近线斜率$$\pm \frac{a}{b}=\pm \frac{2}{3}$$，选B。
9. 曲线$$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$$与曲线$$\frac{x^{2}}{16-k}+\frac{y^{2}}{12-k}=1 (12 解析：前者为椭圆，长轴$$8$$，短轴$$4\sqrt{3}$$，焦距$$4$$，离心率$$\frac{1}{2}$$。后者$$12
10. 若方程$$C: x^{2}+\frac{y^{2}}{a}=1$$（$$a$$是常数），则下列结论正确的是（ ）。
解析：当$$a>0$$且$$a \neq 1$$时，表示椭圆；$$a=1$$时表示圆；$$a<0$$时表示双曲线；$$a=0$$时退化。故A错（$$a=1$$时圆）；B错（$$a<0$$时双曲线，但$$\forall a<0$$正确？实际上$$a<0$$恒为双曲线，B正确）；C错（$$a<0$$时双曲线）；D错（无抛物线）。选B。