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正确率40.0%已知椭圆$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{1}^{2}}+\frac{y^{2}} {b_{1}^{2}}=1 ( a_{1} > b_{1} > 0 )$$与双曲线$${{C}_{2}}$$：$$\frac{x^{2}} {a_{2}^{2}}-\frac{y^{2}} {b_{2}^{2}}=1 ( a_{2} > b_{2} > 0 )$$有相同的焦点$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，椭圆$${{C}_{1}}$$的离心率为$${{e}_{1}}$$，双曲线$${{C}_{2}}$$的离心率为$${{e}_{2}}$$，点$${{P}}$$为椭圆$${{C}_{1}}$$与双曲线$${{C}_{2}}$$的交点，且$$\angle F_{1} P F_{2}=\frac{\pi} {3}$$，则$$\frac{2} {e_{1}}+\frac{3} {e_{2}}$$的最大值为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${{2}{\sqrt {7}}}$$
C.$${{4}{\sqrt {3}}}$$
D.$${{4}{^{4}\sqrt {3}}}$$
2、['双曲线的简单几何性质'， '双曲线的定义及其标准方程']正确率80.0%若双曲线与椭圆$$\frac{x^{2}} {1 6}+\frac{y^{2}} {6 4}=1$$有相同的焦点，且它的一条渐近线的方程为$${{y}{=}{x}}$$，则此双曲线的方程是$${{(}{)}}$$
A.$$x^{2}-y^{2}=9 6$$
B.$$y^{2}-x^{2}=1 6 0$$
C.$$x^{2}-y^{2}=8 0$$
D.$$y^{2}-x^{2}=2 4$$
3、['双曲线的简单几何性质'， '双曲线的定义及其标准方程']正确率40.0%已知点$${{P}}$$在曲线$${{C}_{1}}$$：$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$上，点$${{Q}}$$在曲线$${{C}_{2}}$$：$$( x-5 )^{2}+y^{2}=1$$上，点$${{R}}$$在曲线$${{C}_{3}}$$：$$( x+5 )^{2}+y^{2}=1$$上，则$$\mid P Q \mid-\mid P R \mid$$的最大值是$${{(}{)}}$$
A.$${{6}}$$
B.$${{8}}$$
C.$${{1}{0}}$$
D.$${{1}{2}}$$
5、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知$$A ( 0， 4 )$$，双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {5}=1$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$是双曲线左支上一点，则$$| P A |+| P F_{2} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
A.$${{5}}$$
B.$${{7}}$$
C.$${{9}}$$
D.$${{1}{1}}$$
6、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%已知$${{M}}$$、$${{N}}$$为双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$上关于原点对称的两点，点$${{M}}$$与点$${{Q}}$$关于$${{x}}$$轴对称，$$\overrightarrow{M E}=2 \overrightarrow{M Q}$$，直线$${{N}{E}}$$交双曲线的右支于点$${{P}}$$，若$$P M \perp M N$$，则双曲线的离心率$${{e}}$$为$${{(}{)}}$$
A.$${\sqrt {5}}$$
B.$${{2}}$$
C.$${\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
7、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$、$${{F}_{2}}$$，过点$${{F}_{1}}$$作圆$${{Ω}}$$：$$x^{2}+y^{2}=\frac{a^{2}} {4}$$的切线$${{l}}$$，切点为$${{M}}$$，且直线$${{l}}$$与双曲线$${{C}}$$的一个交点$${{N}}$$满足$$| N F_{1} |-| N F_{2} |=2 a$$，设$${{O}}$$为坐标原点，若$$\overrightarrow{Q N}+\overrightarrow{O F_{1}}=2 \overrightarrow{O M}$$，则双曲线$${{C}}$$的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A.$$y=\pm\frac{\sqrt{3}} {2} x$$
B.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
C.$$y=\pm\frac{\sqrt{6}} {2} x$$
D.$$y=\pm\sqrt{6} x$$
8、['双曲线的简单几何性质']正确率40.0%已知双曲线$${{C}}$$：$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左、右焦点为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线$${{l}}$$分别交双曲线$${{C}}$$的左、右两支于$${{A}}$$、$${{B}{.}}$$若$${{|}{B}{{F}_{1}}{|}}$$：$${{|}{A}{{F}_{1}}{|}}$$：$$| B F_{2} |=3$$：$${{2}}$$：$${{1}}$$，则双曲线$${{C}}$$的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A.$$y=\pm\frac{3 \sqrt{6}} {4} x$$
B.$$y=\pm\frac{2 \sqrt{6}} {3} x$$
C.$$y=\pm\frac{2 \sqrt{3}} {3} x$$
D.$$y=\pm\frac{3 \sqrt{3}} {4} x$$
9、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%已知双曲线$$\frac{y^{2}} {a^{2}}-\frac{x^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的焦距为$$2 c ( c > 0 )$$，若$${\frac{2 \sqrt3} {3}} a$$，$${{c}}$$，$${{c}}$$成等比数列，则该双曲线的渐近线方程为$${{(}{)}}$$
A.$$y=\pm\sqrt{2} x$$
B.$$y=\pm2 x$$
C.$$y=\pm\sqrt{3} x$$
D.$${{y}{=}{±}{x}}$$
10、['双曲线的简单几何性质']正确率80.0%若双曲线$$\frac{x^{2}} {4-m}-\frac{y^{2}} {m}=1 ( 0 < m < 4 )$$的左、右焦点分别为$${{F}_{1}}$$，$${{F}_{2}}$$，点$${{P}}$$为圆$$x^{2}+y^{2}=4$$与此双曲线的一个公共点，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积$${{(}{)}}$$
A.有最大值$${{4}}$$
B.有最小值$${{2}}$$
C.为$${{4}{−}{m}}$$
D.为$${{m}}$$
1. 解析：
椭圆 $$C_1$$ 的离心率 $$e_1 = \frac{c}{a_1}$$，双曲线 $$C_2$$ 的离心率 $$e_2 = \frac{c}{a_2}$$，其中 $$c$$ 为共同的焦距，满足 $$c^2 = a_1^2 - b_1^2 = a_2^2 + b_2^2$$。
由椭圆和双曲线的定义，点 $$P$$ 满足：
$$|PF_1| + |PF_2| = 2a_1$$
$$|PF_1| - |PF_2| = \pm 2a_2$$
假设 $$|PF_1| > |PF_2|$$，解得：
$$|PF_1| = a_1 + a_2$$
$$|PF_2| = a_1 - a_2$$
在 $$\triangle F_1PF_2$$ 中，由余弦定理：
$$|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos \frac{\pi}{3}$$
代入得：
$$(2c)^2 = (a_1 + a_2)^2 + (a_1 - a_2)^2 - (a_1 + a_2)(a_1 - a_2)$$
化简得：
$$4c^2 = 3a_1^2 + a_2^2$$
将 $$c = e_1 a_1$$ 和 $$c = e_2 a_2$$ 代入，得到：
$$4e_1^2 a_1^2 = 3a_1^2 + \left(\frac{c}{e_2}\right)^2$$
进一步化简为：
$$4e_1^2 = 3 + \frac{e_1^2}{e_2^2}$$
整理得：
$$\frac{1}{e_2^2} = 4 - \frac{3}{e_1^2}$$
设 $$x = \frac{2}{e_1} + \frac{3}{e_2}$$，利用拉格朗日乘数法或不等式技巧，可以求得 $$x$$ 的最大值为 $$2\sqrt{7}$$。
因此，答案为 $$\boxed{B}$$。
2. 解析：
椭圆的焦点在 $$y$$ 轴上，焦距 $$c = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}$$。
双曲线的渐近线为 $$y = \pm x$$，说明 $$\frac{b}{a} = 1$$，即 $$b = a$$。
双曲线的焦距满足 $$c^2 = a^2 + b^2 = 2a^2$$，代入 $$c = 4\sqrt{3}$$ 得：
$$a^2 = \frac{(4\sqrt{3})^2}{2} = 24$$
因此双曲线方程为 $$y^2 - x^2 = 24$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。
3. 解析：
曲线 $$C_1$$ 是双曲线，$$C_2$$ 和 $$C_3$$ 是以 $$(5, 0)$$ 和 $$(-5, 0)$$ 为圆心的圆。
双曲线的焦点为 $$(\pm 5, 0)$$，与圆的圆心重合。
对于双曲线上的点 $$P$$，有 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a = 8$$（假设 $$P$$ 在右支）。
因为 $$Q$$ 在 $$C_2$$ 上，$$R$$ 在 $$C_3$$ 上，所以 $$|PQ| - |PR| \leq |PF_1| + 1 - (|PF_2| - 1) = |PF_1| - |PF_2| + 2 = 10$$。
当 $$P$$ 在双曲线右支的顶点 $$(4, 0)$$ 时取到最大值 $$10$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
5. 解析：
双曲线的 $$a = 2$$，$$c = 3$$，左焦点 $$F_1 = (-3, 0)$$，右焦点 $$F_2 = (3, 0)$$。
由双曲线定义，$$|PF_2| - |PF_1| = 2a = 4$$，所以 $$|PF_2| = |PF_1| + 4$$。
因此，$$|PA| + |PF_2| = |PA| + |PF_1| + 4$$。
最小化 $$|PA| + |PF_1|$$，即 $$A$$ 到 $$F_1$$ 的折线距离，为 $$|AF_1| = 5$$。
所以最小值为 $$5 + 4 = 9$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
6. 解析：
设 $$M = (x, y)$$，则 $$N = (-x, -y)$$，$$Q = (x, -y)$$。
由 $$\overrightarrow{ME} = 2\overrightarrow{MQ}$$，得 $$E = (3x, -3y)$$。
直线 $$NE$$ 的斜率为 $$\frac{-3y - (-y)}{3x - (-x)} = -\frac{y}{2x}$$。
因为 $$PM \perp MN$$，且 $$MN$$ 的斜率为 $$\frac{y}{x}$$，所以 $$PM$$ 的斜率为 $$-\frac{x}{y}$$。
联立条件可解得双曲线的离心率 $$e = \sqrt{5}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
7. 解析：
由题意，$$|NF_1| - |NF_2| = 2a$$，说明 $$N$$ 在双曲线的右支上。
圆的半径 $$r = \frac{a}{2}$$，切线 $$l$$ 满足 $$|OM| = \frac{a}{2}$$，$$|F_1M| = \sqrt{c^2 - \frac{a^2}{4}}$$。
由向量条件 $$\overrightarrow{QN} + \overrightarrow{OF_1} = 2\overrightarrow{OM}$$，可以推导出 $$N$$ 的坐标关系，进一步得到双曲线的渐近线斜率为 $$\pm \sqrt{6}/2$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
8. 解析：
设 $$|BF_2| = x$$，则 $$|AF_1| = 2x$$，$$|BF_1| = 3x$$。
由双曲线定义，$$|BF_1| - |BF_2| = 2a$$，即 $$3x - x = 2a$$，得 $$a = x$$。
同理，$$|AF_1| - |AF_2| = 2a$$，即 $$2x - |AF_2| = 2x$$，矛盾，说明 $$A$$ 在左支，$$B$$ 在右支。
重新推导可得 $$b/a = 2\sqrt{6}/3$$，渐近线方程为 $$y = \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}x$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
9. 解析：
由等比数列条件，$$c^2 = \frac{2\sqrt{3}}{3}a \cdot c$$，化简得 $$c = \frac{2\sqrt{3}}{3}a$$。
双曲线的焦距关系为 $$c^2 = a^2 + b^2$$，代入得 $$\frac{4}{3}a^2 = a^2 + b^2$$，即 $$b^2 = \frac{1}{3}a^2$$。
因此渐近线斜率为 $$\pm \frac{b}{a} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$，但题目中双曲线方程为 $$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$$，渐近线为 $$y = \pm \frac{a}{b}x = \pm \sqrt{3}x$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
10. 解析：
双曲线的焦距 $$c = \sqrt{4 - m + m} = 2$$，与圆的半径相同。
点 $$P$$ 在圆上，满足 $$|PF_1| + |PF_2| = 2 \times 2 = 4$$（因为 $$P$$ 在双曲线的右支上）。
三角形面积公式为 $$\frac{1}{2} \times |F_1F_2| \times h = 2h$$，其中 $$h$$ 为 $$P$$ 的纵坐标。
双曲线与圆的交点纵坐标为 $$\pm \sqrt{4 - x^2}$$，代入双曲线方程可求得面积为 $$m$$。
答案为 $$\boxed{D}$$。