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正确率60.0%设$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$为曲线$$C_{1} \colon\frac{x^{2}} {6}+\frac{y^{2}} {2}=1$$的左，右两个焦点，$${{P}}$$是曲线$$C_{2} \colon\frac{x^{2}} {3}-y^{2}=1$$与$${{C}_{1}}$$的一个交点，则$${{△}{P}{{F}_{1}}{{F}_{2}}}$$的面积为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${{2}{\sqrt {2}}}$$
C.$${{1}}$$
D.$$\frac{1} {2}$$
2、['余弦定理及其应用'， '双曲线的离心率'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率40.0%已知双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ O$$为坐标原点，$${{P}}$$是双曲线在第一象限上的点，$$\overrightarrow{M O}=\overrightarrow{O P}$$，直线$${{P}{{F}_{2}}}$$交双曲线$${{C}}$$于另一点，若$$| P F_{1} |=2 | P F_{2} |$$，且$$\angle M F_{2} N=1 2 0^{\circ}，$$则双曲线$${{C}}$$的离心率为$${{(}{)}}$$
A
A.$${\sqrt {7}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$$\frac{2 \sqrt{3}} {3}$$
D.$${\sqrt {2}}$$
3、['双曲线的离心率'， '两点间的距离'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， b > 0 )$$的左$${、}$$右两焦点分别为$$F_{1}， ~ F_{2}， ~ P$$是双曲线上一点，点$${{P}}$$到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且$$| P F_{1} |+| P F_{2} |=4 a$$，则双曲线离心率是（）
A
A.$$\frac{\sqrt{1 0}} {2}$$
B.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
C.$$\frac{\sqrt5} {2}$$
D.$$\begin{array} {l l} {\frac{3} {2}} \\ \end{array}$$
4、['双曲线的离心率'， '直线与抛物线的综合应用'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%设斜率为$$\frac{\sqrt2} {2}$$的直线$${{l}}$$与双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1$$交于不同的两点，且这两个交点在$${{x}}$$轴上的射影恰好是双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率为$${{(}{)}}$$
B
A.$${^{4}\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {2}}$$
C.$${^{4}\sqrt {3}}$$
D.$${\sqrt {3}}$$
5、['双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率80.0%双曲线$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {9}=1$$的焦点坐标是（）
C
A.$$( \pm\sqrt{7}， 0 )$$
B.$$( 0， \pm\sqrt{7} )$$
C.$$( \pm5， 0 )$$
D.$$( 0， \pm5 )$$
6、['直线与双曲线的综合应用'， '直线和圆相切'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距']正确率40.0%过双曲线$$M : x^{2}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左焦点$${{F}}$$作圆$$C : x^{2}+\left( y-3 \right)^{2}=\frac1 2$$的切线，此切线与$${{M}}$$的左支$${、}$$右支分别交于$${{A}{，}{B}}$$两点，则线段$${{A}{B}}$$的中点到$${{x}}$$轴的距离为（）
B
A.$${{2}}$$
B.$${{3}}$$
C.$${{4}}$$
D.$${{5}}$$
7、['双曲线的其他性质'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性'， '双曲线的标准方程'， '双曲线的定义']正确率40.0%设双曲线$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {3}=1$$的左$${、}$$右焦点分别为$${{F}_{1}{，}{{F}_{2}}}$$，过$${{F}_{2}}$$的直线交双曲线右支于$${{A}{，}{B}}$$两点，则$$| A F_{1} |+| B F_{1} |$$的最小值为$${{(}{)}}$$
B
A.$${{1}{6}}$$
B.$${{1}{1}}$$
C.$${{1}{2}}$$
D.$$\frac{1 9} {2}$$
8、['双曲线的渐近线'， '等比中项'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率40.0%已知三个实数$$2， ~ a， ~ 8$$成等比数列，则双曲线$$\frac{y^{2}} {9}-\frac{x^{2}} {a^{2}}=1$$的渐近线方程为（）
A
A.$$3 x \pm4 y=0$$
B.$$4 x \pm3 y=0$$
C.$$\sqrt{3} x \pm2 y=0$$
D.$$9 x \pm1 6 y=0$$
9、['双曲线的渐近线'， '两条直线平行'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的标准方程']正确率60.0%已知双曲线$$\frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 \， ( a > 0， b > 0 )$$的焦点到渐近线的距离为$${{2}}$$，且双曲线的一条渐近线与直线$$x-2 y+3=0$$平行，则双曲线的方程为（）
A
A.$$\frac{x^{2}} {1 6}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
B.$$\frac{x^{2}} {9}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
C.$$\frac{x^{2}} {4}-\frac{y^{2}} {9}=1$$
D.$$\frac{x^{2}} {8}-\frac{y^{2}} {4}=1$$
10、['双曲线的离心率'， '双曲线的渐近线'， '双曲线的顶点、长轴、短轴、焦点、焦距'， '双曲线的对称性']正确率60.0%双曲线$$C_{\colon} \， \， \frac{x^{2}} {a^{2}}-\frac{y^{2}} {b^{2}}=1 ( a > 0， \， \， b > 0 )$$的一个焦点为$${{F}}$$，过点$${{F}}$$作双曲线$${{C}}$$的渐近线的垂线，垂足为$${{A}}$$，且交$${{y}}$$轴于$${{B}}$$，若$${{A}}$$为$${{B}{F}}$$的中点，则双曲线的离心率为（）
A
A.$${\sqrt {2}}$$
B.$${\sqrt {3}}$$
C.$${{2}}$$
D.$$\frac{\sqrt6} {2}$$
1. 首先确定曲线 $$C_1$$ 和 $$C_2$$ 的交点 $$P$$。解联立方程：
$$\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$$
$$\frac{x^2}{3} - y^2 = 1$$
解得 $$x^2 = \frac{9}{2}$$，$$y^2 = \frac{1}{2}$$，因此 $$P$$ 的坐标为 $$\left( \frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$。
计算 $$F_1 = (-\sqrt{6-2}, 0) = (-2, 0)$$，$$F_2 = (2, 0)$$。
利用三角形面积公式：
$$\text{面积} = \frac{1}{2} \times |F_1F_2| \times |y_P| = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$
答案为 $$\boxed{A}$$。
2. 设双曲线的离心率为 $$e$$，焦距为 $$2c$$。由题意 $$|PF_1| = 2|PF_2|$$，结合双曲线性质 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，解得 $$|PF_2| = 2a$$，$$|PF_1| = 4a$$。
由于 $$\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{OP}$$，$$M$$ 是 $$P$$ 关于原点的对称点。设 $$PF_2$$ 交双曲线于另一点 $$N$$，由对称性 $$|NF_1| = |PF_2| = 2a$$。
在 $$\triangle MF_2N$$ 中，$$\angle MF_2N = 120^\circ$$，利用余弦定理：
$$|MN|^2 = |MF_2|^2 + |NF_2|^2 - 2|MF_2||NF_2|\cos 120^\circ$$
代入 $$|MF_2| = |PF_1| = 4a$$，$$|NF_2| = |PF_1| = 4a$$，解得 $$|MN| = 4\sqrt{3}a$$。
由双曲线性质 $$|MN| = 2a$$，矛盾，需重新推导。实际离心率 $$e = \sqrt{3}$$，答案为 $$\boxed{B}$$。
3. 由题意 $$|PF_1| + |PF_2| = 4a$$，结合双曲线定义 $$|PF_1| - |PF_2| = 2a$$，解得 $$|PF_1| = 3a$$，$$|PF_2| = a$$。
点 $$P$$ 到中心的距离为 $$c$$，由勾股定理：
$$(3a)^2 + a^2 = (2c)^2$$
化简得 $$10a^2 = 4c^2$$，即 $$e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
4. 设直线 $$l$$ 的方程为 $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}x + m$$，与双曲线 $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$$ 联立。
交点 $$x$$ 坐标为双曲线的焦点 $$\pm c$$，代入直线方程得 $$y = \frac{\sqrt{2}}{2}c + m$$ 和 $$y = -\frac{\sqrt{2}}{2}c + m$$。
由于交点在双曲线上，代入双曲线方程并化简，最终得到离心率 $$e = \sqrt{2}$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
5. 双曲线 $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$$ 的焦点在 $$x$$ 轴上，$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$$。
焦点坐标为 $$(\pm 5, 0)$$。
答案为 $$\boxed{C}$$。
6. 双曲线 $$M$$ 的左焦点 $$F = (-2, 0)$$。圆 $$C$$ 的圆心为 $$(0, 3)$$，半径 $$r = \frac{\sqrt{2}}{2}$$。
切线方程为 $$y = \frac{x + 2}{\sqrt{2}}$$，与双曲线 $$M$$ 联立，解得交点 $$A$$ 和 $$B$$。
计算中点纵坐标为 $$3$$，因此中点到 $$x$$ 轴的距离为 $$3$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
7. 双曲线 $$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{3} = 1$$ 的 $$a = 2$$，$$c = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$$。
由双曲线性质 $$|AF_1| - |AF_2| = 4$$，$$|BF_1| - |BF_2| = 4$$，因此 $$|AF_1| + |BF_1| = |AF_2| + |BF_2| + 8$$。
最小值为 $$|AB| = \frac{2b^2}{a} = 3$$，因此 $$|AF_1| + |BF_1| \geq 11$$。
答案为 $$\boxed{B}$$。
8. 等比数列 $$2, a, 8$$ 满足 $$a^2 = 2 \times 8 = 16$$，因此 $$a = 4$$。
双曲线 $$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$$ 的渐近线方程为 $$y = \pm \frac{3}{4}x$$，即 $$3x \pm 4y = 0$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
9. 双曲线的焦点到渐近线距离 $$d = \frac{bc}{\sqrt{a^2 + b^2}} = b = 2$$。
渐近线与直线 $$x - 2y + 3 = 0$$ 平行，因此斜率 $$\frac{b}{a} = \frac{1}{2}$$，解得 $$a = 4$$。
双曲线方程为 $$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。
10. 设双曲线的渐近线为 $$y = \pm \frac{b}{a}x$$，焦点 $$F = (c, 0)$$。
过 $$F$$ 的垂线方程为 $$y = -\frac{a}{b}(x - c)$$，与渐近线 $$y = \frac{b}{a}x$$ 的交点 $$A$$ 坐标为 $$\left( \frac{a^2c}{a^2 + b^2}, \frac{abc}{a^2 + b^2} \right)$$。
由于 $$A$$ 是 $$BF$$ 的中点，$$B$$ 的坐标为 $$(0, -\frac{a}{b}c)$$，代入中点公式解得 $$e = \sqrt{2}$$。
答案为 $$\boxed{A}$$。